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Bahnen und Orbits von Satelliten

Es gibt sehr viele verschiedene Satellitenbahnen. Dieser Artikel soll Sie über die Wahl eines Orbits und welche Auswirkungen dies auf die Nutzlast und die Rakete hat aufklären. Außerdem werden die wichtigsten Orbits erklärt, eine kleine Einführung in die Berechnung gegeben und Sie erfahren einiges über die geostationären Orbits und wie man dort hinkommt....

Dies ist der vierte Aufsatz meiner Reihe über Raketen und Raumfahrt im allgemeinen. Die ersten drei behandeln die Themen: Treibstoffe für eine Rakete, zukünftige Antriebe und wie eine Rakete funktioniert. Wenn Sie an den Grundlagen der Raumfahrt interessiert sind, so sollten sie sich auch diese Aufsätze ansehen.

Die Bahnparameter

Inklination, Apogäuhm und PerigäumJede Bahn eines Satelliten um die Erde hat verschiedene Parameter, von denen drei sehr wichtig für die zu erreichende Endgeschwindigkeit, die Aufstiegsbahn und die Umlaufzeit sind:

Die Umlaufszeit ist von den Parametern des erdnächsten und erdfernsten Punktes abhängig. Alle Bahnen von Satelliten um die Erde sind Ellipsen. Eine Kreisbahn ist nur ein Spezialfall einer Ellipse, bei der erdfernster und erdnächster Punkt identisch sind. Weitere Bahnparameter die in diesem Artikel nicht besprochen werden legen die genaue räumliche Lage der Bahn fest, z.B. ob der erdnächste Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt über München oder Tokio liegt. Dies ist z.B. wichtig bei Geosynchronen Transferorbits, wo der erdnächste Punkt über dem Äquator liegen sollte.

In der Astronomie nimmt man insgesamt sechs Parameter um die Bahn zu beschrieben. Sie sind nötig um die Lage der Bahn im dreidimensionalen Raum und die aktuelle Position relativ zu einem Ursprungspunkt zu beschreiben. Doch für die Berechnung von Geschwindigkeiten reichen die obigen drei Parameter.

Wie hängen nun diese Parameter von der Raketenaufstiegsbahn ab?

Beispiel einer Aufstiegsbahn Die Inklination wird von der geographischen Breite des Startortes und der Startrichtung bestimmt. Die Inklination kann niemals viel kleiner als die geographische Breite des Startortes sein (aber durchaus höher). Startet eine Rakete genau nach Osten, so hat sie eine Inklination die der geographischen Breite des Startortes entspricht. startet sie nach Süden oder Norden so hat sie eine höhere Inklination.

 Dies wird offensichtlich wenn man sich die Extreme vorstellt: Ein Start vom Äquator oder vom Pol aus. Startet eine Rakete vom Äquator aus genau nach Osten so verläuft ihre Flugbahn in einem Kreis über den Äquator. Jeder andere Winkel führt zu einer Inklination über 0 Grad.

Beim Start vom Nordpol aus ist es ganz anders, jeder Start führt nach Süden und zu einer Inklination von 90 Grad, egal in welche Richtung er führt. Bedenkt man, das nun der Äquator die geographische Breite 0 hat und der Nordpol die von 90 Grad, so wird klar, das die kleinste mögliche Inklination die ist, die der Startort als geographische Breite aufweist. So ist Cape Canaveral mit einer geographischen Breite von 28.8 Grad schlechter dran als Kourou (5.2 Grad), aber besser als Baikonur (46 Grad). Die Grafik links zeigt die geplante Aufstiegsbahn der "Europa" Rakete. Da der Starts übers Meer erfolgen muss starten Ariane 4+5 mit etwas größerer Inklination als von der geographischen Breite vorgegeben 5.23 Grad. (Sie würden sonst über bewohntes Gebiet fliegen).

Jeder Startort erlaubt auch Starts die eine höhere Inklination ergeben, indem man nach Norden oder Süden startet. In engen Grenzen kann man die Inklination senken, wenn die Rakete (beim Start von der Nordhalbkugel aus) einen leicht südlichen Kurs einschlägt. Während des Aufstiegs gelangt sie dann in einen südlicheren Breitengrad und dadurch verringert sich die Inklination leicht. Der Gewinn ist allerdings gering und liegt bei unter 5 Grad.

Die erste Umlaufbahn wird durch die Aufstiegsbahn bestimmt. Eine Rakete startet zuerst senkrecht und dann langsam in die Waagerechte überzugehen. Senkrecht, weil die Rakete die dichten Atmosphärenschichten wegen des Luftwiderstandes schnell überwinden möchte, aber auch weil die Aufstiegsbahn eine gewisse Mindesthöhe erreichen muss, sonst würde der Satellit in zu niedriger Höhe ausgesetzt werden und bald wieder verglühen. Waagerecht, weil die endgültige Bahn parallel zur Erdoberfläche liegt.

Man unterscheidet zwei Punkte den erdnächsten Punkt der Bahn, das Perigäum und den erdfernsten Punkt der Bahn, das Apogäum. In welcher Höhe diese liegen hat mit der Aufstiegsbahn zu tun. Betrachten wir einmal einige Extreme:

Eine reine Feststoffrakete: Feststoffraketen haben eine sehr kurze Brennzeit. Das bedeutet dass die gesamte Aufstiegsbahn sehr kurz ist, da der Weg nach der Formel Weg = (Beschleunigung x Zeit²) /2 viel stärker von der Brenndauer als von der Beschleunigung abhängt. Die Bahn kann im Extremfall so verlaufen, dass der erdfernste Punkt in der gewünschten Höhe liegt, der erdnächste aber noch in der Nähe der Erdoberfläche. die Bahn ist eigentlich nicht kreisförmig, sondern eine ballistische. Der Satellit muss im Orbit dann seine eigenen Triebwerke zünden und den erdnächsten Punkt anheben. Im amerikanischen heißen solche Bahnen daher "off-perigree", also Bahnen ohne Perigäum. Das Risiko ist jedoch, dass wenn es aus verschiedenen Gründen nicht gelingen sollte eine Zündung im Apogäum zu erreichen der Satellit nach einem Umlauf verglüht. Man findet solche Bahnen daher sehr selten.

Will man dies vermeiden, da dies auch ein kritisches Manöver ist, dann schiebt man eine Freiflugphase ein. Das bedeutet dass man nach dem Ausbrennen einer Stufe nicht sofort die nächste zündet, sondern wartet bis diese an Höhe gewonnen hat. Die Stufe arbeitet dann in einer größeren Höhe und hebt so den erdnächsten Punkt an.

Ein anderes Extrem sind Raketen, bei denen die Oberstufen sehr lange brennen. Durch das lange Brennen heben sie die Bahnhöhe an. Ein Paradebeispiel ist die Ariane 5. Die Hauptstufe EPC erreicht noch eine "Off-Perigree" Bahn von 0 x 200 km Höhe (was ein Verglühen nach etwa 1 Stunde zur Folge hat). Die Oberstufe EPS arbeitet dagegen bis zu 20 Minuten. Dabei steigt die Bahn laufend an, so dass zum Beispiel. geostationäre Satelliten eine 600 x 36000 km Bahn erreichen. Bei der zweiten Oberstufe der Ariane 5, der ECS-A hat man die Brenndauer halbiert, so liegt bei ihr das Perigäum niedriger und geostationäre Satelliten landen in einem 250 x 36000 km Orbit.

Es ist energetisch sehr ungünstig Orbits mit einem hohen erdnächsten Punkt direkt zu erreichen. Denn dabei muss man Hebearbeit leisten. Vereinfacht kann man sich dies so vorstellen: Um einen hohen erdnächsten Punkt zu erreichen muss man zuerst die gesamte Rakete vertikal beschleunigen und diese so anheben. Ist ein Satellit aber schon in einer Umlaufbahn so kann er seine Geschwindigkeit erhöhen und in eine elliptische Bahn gelangen mit dem erdfernsten Punkt in einer größeren Höhe. Wird dort nochmals das Triebwerk gezündet, so kann man einer kreisförmige höhere Umlaufbahn erreichen.

Der erdfernste Punkt wird durch die Startgeschwindigkeit bestimmt: Bei einer Kreisbahn hat der Satellit eine solche Geschwindigkeit, das er beim geraden Flug parallel zur Erdoberfläche sich um × Meter von der sich unter ihm weg krümmenden Oberfläche bewegt. Gleichzeitig fällt er um genau die gleichen × Meter zur Erdoberfläche - er behält also immer den gleichen Abstand und so wird aus der geraden Bewegung eine Kreisbahn.

Bei einer größeren Geschwindigkeit entfernt sich jedoch der Satellit effektiv von der Erde, da er sich nun weiter entfernt, als ihn die Erde anzieht. Jedoch läuft er auch mit dieser Bewegung gegen das Gravitationsfeld an, so das der Zuwachs immer geringer wird und schließlich kommt seine Bewegung zum Ende. Dies ist der erdfernste Punkt, nun nähert sich der Satellit der Erde, gewinnt wieder Geschwindigkeit bis er im erdnächsten Punkt genügend Schwung für den nächsten Umlauf hat.

Arten von Orbits

Ein Satellit kann natürlich jede Bahn um die Erde erreichen, und es gibt auch immer wieder ungewöhnliche Bahnen weil die Mission es erfordert, die meisten Satelliten landen jedoch in einem der folgenden Orbits:

LEO: Diese Abkürzung aus dem englischen steht für Low Earth Orbit, ein erdnaher Orbit. Man versteht darunter Orbits zwischen 200 und 600 km Höhe. In diese Gruppe fallen zwei Nutzlasten: Mit niedriger Inklination und Höhen über 400 km sind dies bemannte Raumstationen und Satelliten, die nicht auf eine bestimmte Umlaufbahn festgelegt sind. Wie astronomische Satelliten und Satelliten mit biologischen oder Materialexperimenten. Man nutzt dann diese Bahn um möglichst viel Nutzlastmasse zu transportieren, da es der energieärmste Orbit ist.

Die zweite Gruppe sind militärische Satelliten welche die Erdoberfläche beobachten. Diese haben Bahnen die über den Nordpol führen, um die ganze Oberfläche abzutasten und der erdnächste Punkt liegt niedrig (200-250 km) um eine möglichst hohe Auflösung zu erreichen, der erdfernste Punkt liegt meist höher (600-900 km), sonst würde die Luftreibung den Satelliten bald abbremsen.

SSO: Der Sonnensynchrone Orbit (Sun Synchronos Orbit) ist eine Bahn die in 700-1000 km Höhe mit Inklinationen von etwas mehr als 90 Grad verläuft. Die Bahn verläuft damit leicht "rückwärts", also entgegen der Erdrotation über die Erdoberfläche. Da sich die Erde in die andere Richtung dreht, bewirkt diese Bahn, dass der Satellit von der Sonne aus gesehen sich nur von oben nach unten bewegt, seine rückläufige Bewegung um die Erde wird kompensiert durch die Erdrotation in der anderen Richtung. Damit erreicht man einen besonderen Effekt: Der Satellit passiert einen Punkt auf der Erdoberfläche immer zur gleichen lokalen Uhrzeit und bei gleichen Sonneneinfallswinkel, bei den ersten Landsat Satelliten z.B. immer zwischen 10 und 10:30 morgens. Der Vorteil ist dabei das so immer der gleiche Sonnenstand und Beleuchtungsverhältnisse herrschen, man also Bilder zu verschiedenen Zeiten miteinander vergleichen kann. Damit wird auch klar, um was es sich für Satelliten handelt: Es sind Erdbeobachtungssatelliten wie Landsat, Spot oder ERS, aber auch meteorologische Satelliten. Manchmal findet man für diesen Orbit auch die Bezeichnung PEO (Polar Earth Orbit)

MEO: Mittlere Erdorbits (Medium Earth Orbits) sind alle Bahnen oberhalb 1000 km bis zur geostationären Bahn. In diese Bahnen fallen zwei Gruppen von Satelliten: Zum einen die Satelliten des GPS Navigationssystems und seinem russischen Gegenstück Glonass. Diese umkreisen die Erde in 18000-20000 km Höhe auf verschieden stark geneigten Bahnen. Die Höhe resultiert daraus, das man immer 3 Satelliten zur Positionsbestimmung benötigt die gleichzeitig sichtbar sein müssen. Je näher man der Erde kommt, desto mehr Satelliten braucht man, damit gleichzeitig 3 sichtbar sind. Je ferner man der Erde ist, desto geringer aber die Nutzlast und desto schwächer das Signal am Boden, d.h. die Sendeanlagen und damit der Satellit werden schwerer. Der Kompromiss ist daher eine mittlere Höhe zu wählen und dabei 24 Satelliten einzusetzen.

Neuere Nutzlasten im MEO Orbit sind kleine Kommunikationssatelliten die direkt vom Benutzer mit etwas größeren Handys angefunkt werden können. Auch hier gilt es einen Kompromiss zwischen der Höhe des Orbits und der Satellitenzahl zu finden. So verwendet Iridium 77 Satelliten in 800 km Höhe, während Globalstar mit 24 Satelliten in 1400 km Höhe auskommt.

GSO: der Geosynchrone Orbit ist eine Kreisbahn um den Äquator (0 Grad Inklination) in einer Höhe von knapp unter 36000 km. In einer solchen Höhe umrundet ein Satellit die Erde genau einmal am Tag. Da sich die Erde auch einmal am Tag um ihre Achse dreht bleibt der Satellit von der Erde aus fest an einem Punkt. Die Bahn über dem Äquator ist notwendig, weil sich sonst der Satellit noch abwechselnd nach Norden oder Süden bewegen würde, von der Erde aus also nicht feststehen würde sondern sich auf und ab in Form einer sehr schmalen "8" bewegen würde. Für die Puristen: es sind exakt 35786.05 km über dem Äquator.

GTO: Der Geotransfer Orbit ist eine Übergangsbahn zum geostationären Orbit (mehr dazu bei den Berechnungen). Der Geosynchrone Orbit kann direkt nur mit enormen Energieverbrauch erreicht werden. Um Energie zu sparen und die Nutzlasten dadurch größer zu machen, bringt man den Satelliten zuerst in einen Orbit dessen erdfernster Punkt bei 36000 km Höhe liegt wie beim geosynchronen Orbit, der erdnächste Punkt aber in 200-800 km Höhe. Diese Höhe kann eine Rakete direkt erreichen. Ist der Satellit in 36000 km Höhe angekommen, so zündet er einen eignen Antrieb und erhöht so die Bahn auf 36000 km Höhe. Der Orbit von 200-36000 Höhe bezeichnet man als geosynchronen Transferorbit.

Bahnhöhe und Lebenszeit eines Satelliten

Die Atmosphäre der Erde bremst einen Satelliten durch Reibung ab. Die Dichte der Atmosphäre nimmt zwar rasch ab, jedoch ist sie auch in 100 km Höhe noch so hoch, das ein Satellit in dieser Höhe so schnell abgebremst wird, das er tiefer sinkt und verglüht. Darüber wird die Atmosphäre rasch dünner und die abbremsende Wirkung nimmt ab. Da die Dichte der Atmosphäre von der Sonnenaktivität abhängt (Sie nimmt bei steigender Aktivität) zu gibt es nur grobe Richtmaße für die Zeit die ein Satellit auf einer Bahn bleiben kann. So wurde für Skylab eine Lebensdauer von 10 Jahren auf einer 435 km hohen Bahn angenommen. Durch steigende Sonnenaktivität Anfang 1979 sank die Bahn aber schnell ab, so das die Raumstation schon nach 6 Jahren verglühte, da Skylab kein Triebwerk zum Anheben der Bahn hatte.
 

Bahnhöhe (Km) Lebensdauer
160 km zirka 1 Tag
185 km zirka 1 Woche
300 km zirka 6 Monate
400 km mehrere Jahre
höher als 600 km über ein Jahrzehnt
höher als 900 km über ein Jahrhundert
36000 km mehrere Millionen Jahre

Die Abbremsung wirkt sich so aus, das die Bahnhöhe eine Satelliten erst langsam, dann immer schneller verringert. Da durch das Absinken gleichzeitig die Reibung zunimmt, beschleunigt sich so der Prozess. Erreicht der Satellit eine kreisförmige Bahn von 100-120 km Höhe, so erreicht die Reibung so große Ausmaße, das er keinen vollständigen Orbit mehr durchläuft sondern rasch noch tiefer absinkt wo er dann verglüht. Die Lebensdauer ist nur ungenau anzugeben, da sie von der Dichte der Atmosphäre und der Form des Satelliten abhängt. Besonders erstere unterliegt sehr starken Fluktuationen durch solare Aktivität, die z.B. zum vorzeitigen Absturz von Skylab führten.

Bei einer elliptischen Bahn verringert sich zuerst immer mehr der erdfernste Punkt, da dieser Satellit mit Geschwindigkeitsüberschuss gestartet ist. So verglühte der am 31.1.1958 gestartete Explorer 1 erst am 31.3.1970, obgleich der erdnächste Punkt seiner Bahn mit 360 × 2549 km sehr nahe an der erde lag. Eine 360 km hohe Kreisbahn wäre zirka 1-2 Jahre stabil gewesen, so verringerte sich aber zuerst das hohe Apogäum bis aus der 360 x 2549 km hohen Bahn eine 360 km hohe Kreisbahn geworden war. Da der Satellit sich aber viel länger im erdfernsten Punkt der Bahn aufhielt dauerte dies 12 Jahre. Spionagesatelliten haben daher oft exzentrische Bahnen mit einem sehr niedrigen erdnächsten Punkt und einem erdfernsten Punkt in weitaus größerer Höhe.

Die Lebensdauer auf eine Bahn ist auch von der Form des Satelliten abhängig. So haben Satelliten mit großen Solarzellenauslegern oder größeren Antennen eine größere Reibung als kleinere oder rundere Satelliten ohne solche Ausleger. Als Extrembeispiel soll der Satellit Echo 1 dienen. Er wurde am 12.8.1960 in eine 1600 km hohe Bahn geschossen. Eine solche hohe Bahn müsste eigentlich über ein Jahrtausend stabil sein. Doch Echo 1 trat schon am 24.5.1968, weniger als 8 Jahre nach dem Start in die Erdatmosphäre ein. Der Grund : Echo 1 war ein Ballonsatellit aus einer hauchdünnen Kunststofffolie. Bei 30.5 m Durchmesser wog er nur 67 kg. Dadurch bremste ihn die Atmosphäre viel stärker als andere Satelliten ab. (Bild links bei einem Entfaltungstest)

Die Bahnhöhe kann natürlich durch regelmäßiges Beschleunigen und damit Anheben der Bahn gehalten werden. Dies verbraucht Treibstoff, der natürlich begrenzt vorhanden ist.

Bei Satelliten im geostationären Orbit ist die Lebensdauer des Orbits limitiert durch den Treibstoff für die Lageregelung. Auch wenn man hier nicht wie in niedrigen Bahnen diese anheben muss. Die Gravitationskraft der Erde aber ist ungleichmäßig verteilt und so beginnen die Satelliten leicht von Ihrer Position weg zu driften. Dies muss immer wieder ausgeglichen werden, denn am Boden will man ja nicht dauernd die Antennen neu ausrichten. Heute verfügen Satelliten im geostationären Orbit genügend Treibstoff um einen Orbit 10-15 Jahre aufrecht zu erhalten. Eine längere Lebensdauer ist beim Einsatz von elektrischen Triebwerken zu erwarten, die seit einigen Jahren verstärkt eingesetzt werden.

Bewegung im Gravitationsfeld

Jeder Körper in einem Gravitationsfeld weist zwei Formen von Energie auf: potentielle und kinetische Energie. Wenn Sie auf einem Berg stehen, so ist ihre potentielle Energie höher als in Meereshöhe. Man verrichtet Arbeit wenn man eine Masse im Gravitationsfeld anhebt. Ein Satellit dagegen umrundet die Erde. Seine Fliehkraft ist gleich groß wie die Anziehungskraft der Erde, daher ist er schwerelos. Er besitzt eine erhebliche kinetische Energie.

Es gilt für die Potentielle Energie :

Epot = (1/r2-1/r1)*GM

r2 und r1sind die Entfernungen vom Erdmittelpunkt bezogen. r1ist das Startniveau und r2 das Zielniveau. Ist r1>r2, wird also eine Last angehoben. so ist die potentielle Energie positiv und man muss Arbeit aufwenden, ist r1<r2 so fällt eine Last im Gravitationsfeld und die potentielle Energie wird negativ und wandelt sich in der Regel in kinetische Energie um.

Für die Kreisbahngeschwindigkeit lernten wir die Formel:

v = Sqrt(1 / r1 * G*M)

kennen. Die kinetische Energie ist in der Physik definiert als

Ekin = 0.5 m * v²

Wir haben bislang immer die Masse weggelassen (oder gleich  Eins gesetzt) und dies wollen wir auch weiterhin tun (genauer gesagt habe ich sie auch bei der potentiellen Energie unterschlagen). So errechnet sich die kinetische Energie zu:

Ekin = 0.5 * (Sqrt(1 / r1 * G*M))²

Ekin = 0.5 * 1/r1*G*M

Die Gesamtenergie ist definiert als :

E = Ekin + Epot

So ergeben sich einige Tatsachen relativ einfach. Die Fluchtgeschwindigkeit zum Beispiel. Befördert man eine Nutzlast auf unendliche Entfernung so wird 1/r = 0. und es ergibt sich :

Epot = 1/r2*GM

Da aber Ekin definiert ist als

Ekin = 1/2 v²

entspricht dies einer Geschwindigkeit von :

v = Sqrt(2/r2*GM)

Mit r2=6371000 m (mittlerer Erdradius) erhalten wir so eine Geschwindigkeit von 11188 m/s. Sie nimmt ab, wenn man von einem höheren Energieniveau aus startet (r2 größer wird). Das ist die Energie die ein freifallender Körper erreicht wenn er auf der Erdoberfläche aufschlägt oder umgekehrt: Die Geschwindigkeit die man aufwenden muss um ihn aus dem Gravitationsfeld des Körpers zu entfernen. (sogenannte zweite kosmische Geschwindigkeit). Sie hängt wie man sehen kann von der Entfernung vom Erdmittelpunkt ab und nimmt ab wenn man von einer Satellitenbahn aus startet.

Auch die unterschiedlichen Bahngeschwindigkeiten werden nun verständlich. Nehmen wir z.B. eine Bahn in 1000 km Höhe nach der Formel:

v = Sqrt(1 / r1 * G*M)

v = Sqrt(1 / (6371000+1000.000) * 6.6726e-11 * 5.976e+24)

errechnen wir eine Geschwindigkeit von 7355 m/s. Die Summe aus dem Geschwindigkeitsquadrat und der potentiellen Energie ist konstant. Um aber in 1000 km Höhe zu gelangen muss man potentielle Energie aufwenden (Hubarbeit) und die ist berechenbar nach:

Epot = (1/r2-1/r1)*G*M

Epot = (1/6371000-1/(637100+1000.000))*GM

Epot = 8.49 MJ

E =Ekin + Epot = const

E = 27,5 MJ (7355 M/s²)+ 8.49 MJ = 35,99 MJ

Nun können wir diese Gesamtenergie wieder in kinetische Energie umrechnen und wir erhalten die Geschwindigkeit in der Ausgangsbahn, bevor man diese anhob:

Ekin = 1/2 mv²

v = Sqrt(Ekin*2/M)

Die Wurzel aus 2 * 35,99x106 ist aber 8484 m/s. Dies ist die Geschwindigkeitsänderung um von 0 km Höhe (ohne Bewegung) eine Umlaufbahn in 1000 km Höhe zu erreichen (mit einer Geschwindigkeit von 7355 m/s). Sie setzt sich zusammen aus der Startgeschwindigkeit für eine Bahn von 0 x 1000 km (8189 m/s) und der Geschwindigkeit die man in 1000 km Höhe aufwenden muss um die Bahn zu zirkularisieren (295 m/s).

Praktisch bleibt die Energie gleich wenn man höhere Bahnen einschlägt. Die Hubarbeit die verrichtet wird, spart man als kinetische Energie ein. Wenn man einen Satelliten in eine "unendliche" Höhe anheben will (sprich die Fluchtgeschwindigkeit erreichen will) braucht man schlussendlich die zweifache kinetische Energie einer Kreisbahn, das entspricht einer Geschwindigkeit von Sqrt(2)*Kreisbahngeschwindigkeit: das ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Nun könnte man meinen, es wäre völlig egal welche Bahn man einschlägt, es wird immer gleich viel Energie benötigt. Doch dem ist nicht so. Eine Rakete verrichtet nicht nur die Hubarbeit für den Satelliten sondern auch für die Rakete. Erst muss die Rakete mit Satellit so beschleunigt werden dass sie eine Gipfelhöhe erreicht welche der Bahnhöhe entspricht und erst dann kann man daran denken die Nutzlast in dieser Höhe zu beschleunigen. Für eine 1000 km Bahn entspricht dies einer Geschwindigkeit von 2913 m/s. Diese Geschwindigkeit muss man zu den 7355 m/s addieren, so dass die Geschwindigkeit für den direkten Transport in diese Höhe 10268 m/s beträgt. Daher ist der direkte Transfer in diese Höhe energetisch schlecht und man strebt zuerst eine niedrige Bahn an, die man dann später verändert um eine höhere Bahn zu erreichen.

Die Abbildung links zeigt den Zusammenhang, nicht ganz korrekt da von der Erdoberfläche aus gemessen wird (so ist die potentielle Energie bei 0 km Höhe natürlich gleich 0, korrekterweise müsste man vom Erdmittelpunkt aus die potentielle Energie bestimmen, sie wäre dann genau doppelt so groß wie die kinetische Energie. Die zweite Abbildung zeigt die Gesamtenergie im Schwerfeld der Erde, nun vom Erdmittelpunkt aus gerechnet. Wie man sieht nimmt sie ab wenn man sich von der Erde entfernt. Diese Energie muss aufgebracht werden.

Berechnungen und die Wahl der Aufstiegsbahn

Um eine Bahn zu erreichen gibt es oft mehrere Möglichkeiten, damit man diese versteht, hier einige Formeln wie man Bahnen berechnen kann. Was zumeist interessiert, sind die Parameter "Welche Geschwindigkeit benötige ich?" und manchmal auch "Welche Umlaufzeit erreiche ich".

Wenn Sie die Beispiele nachrechnen vergessen Sie nicht: Zu ihrer Bahnhöhe (in km) müssen Sie immer den Erdradius von 6371 km hinzuzählen. Bei Winkelberechnungen (Sinus, Cosinus) müssen Sie im 360 Grad System (Einstellung DEG bei den meisten Taschenrechnern) arbeiten.

Die Halbachse

Die Halbachse ist eine wichtige Hilfsgröße für Berechnungen. Die Halbachse entspricht der mittleren Entfernung eines Satelliten von der Erde und wird berechnet nach:

Halbachse = (erdfernster Punkt + erdnächster Punkt) / 2

Zu beachten ist, dass alle Wert vom Erdmittelpunkt aus gelten, d.h. man muss den Erdradius dazu addieren. Beispiel : Ein Orbit von 200 x 36000 km Höhe (GTO Orbit) hat eine Halbachse von:

erdnächster Punkt = 200 km + 6371 km (Erdradius) = 6571 km
erdfernster Punkt = 36000 km + 6371 km (Erdradius) = 42371 km
Halbachse = (6571 + 42371) / 2 = 24471 km

Geschwindigkeitsberechnungen

Geschwindigkeit v für eine Kreisbahn in × km Höhe:

v = Sqrt(GM ÷ x)

SQRT: Quadratwurzel
GM: Produkt aus Gravitationskonstante und Erdmasse: 3.9875 × 1014. (Erdmasse: 5.976x 1024 kg Gravitationskonstante 6.6726 x 10-11)

Für eine Bahn in 200 km Höhe erhalten Sie v=7790 m/s und für 36000 km Höhe erhalten Sie v=3067 m/s.

Die Umlaufszeit t für eine Bahn in × km Abstand beträgt:

t=2000.0 × Pi × Sqrt(x³) ÷ Sqrt(GM)

SQRT: Quadratwurzel
Pi: 3.14159...
GM = 3.9875 × 1011

Für 200 km Höhe sollten Sie 5300 Sekunden (88.3 Minuten) und für 36000 km Höhe 86782 sec (1.004 Tage) erhalten. Bei elliptischen Bahnen ist für x die Halbachse einzusetzen. Bei elliptischen Orbits kann man die Geschwindigkeit V in jeder Entfernung x berechnen:

v=Sqrt(GM × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse)) [1]

No TextFür einen 200 × 36000 km Transferorbit (Halbachse = 24471 km) resultiert bei x=200 km eine Geschwindigkeit von 10250 m/s und bei x=36000 km Höhe eine von 1589 m/s. Es ist leicht zu erkennen, dass bei einem elliptischen Orbit der Satellit mit einer Überschussgeschwindigkeit startet und dann laufend Geschwindigkeit verliert. Das folgende Diagramm zeigt dies an der GTO Bahn. Nur an einem Punkt (wenn der Satellit genauso weit entfernt ist wie die Halbachse der Bahn beträgt) sind beide Größen gleich groß.

Will man von dieser Ellipsenbahn eine Kreisbahn erreichen so kann man im Apogäum erneut zünden und die Differenzgeschwindigkeit aufbringen:

v=Sqrt(GM ÷ x) - Sqrt(GM × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse)) [2]

Will man einen solchen elliptischen Orbit in einen kreisförmigen verwandeln, so muss man die Differenzgeschwindigkeit zum kreisförmigen Orbit aufbringen. Um also von dem 200x36000 km Orbit in einen 200 km kreisförmigen zu erreichen musste man um 7790-10250 m/s = -2460 m/s abbremsen, um einen kreisförmigen Orbit in 36000 km Höhe zu erreichen müsste man um 3067-1589 m/s = 1478 m/s beschleunigen. Für das Beschleunigen zündet man Triebwerke in Flugrichtung, für das Abbremsen gegen die Flugrichtung. Diese beide Punkte sind allerdings besondere, denn in diesen Punkten entspricht der Geschwindigkeitsvektor des Satelliten dem einer Kreisbahn. In jedem anderen Punkt ist er verschieden von einer Kreisbahn und man braucht Energie um ihn in diese Richtung zu drehen.

Dieser Zweiimpuls Transfer ist viel günstiger als durch laufende Zündung kleiner Triebwerke langsam die Bahn anzuheben. Das verdeutlicht die nächste Grafik.

Die blaue Kurve zeigt den dafür notwendigen Geschwindigkeitsbedarf für den Hohmanntransfer und die violette Kurve für den direkten Transfer. Wie man sieht ist dieser immer günstiger. Es gibt sogar ein Maximum, ab welchem die Geschwindigkeit wieder abnimmt. Bei der hier angegebenen Ausgangsbahn liegt dies bei 95200 km. Der direkte Transfer läuft dagegen hyperbolisch an die Kreisbahngeschwindigkeit.

Im Extremfall (Beförderung auf unendliche Distanz) braucht man mit dem Hohmann Transfer nur 2 - 1 der Kreisbahngeschwindigkeit also 0.41427 des direkten Transfers. Dies ist ein Grund warum elektrische Triebwerke nicht gut geeignet sind Raumsonden aus einer Umlaufbahn zu starten.

Geschwindigkeitsberechnung

erdnächster Punkt: km

erdfernster Punkt: km

Geschwindigkeit im erdnächsten Punkt: m/s

Geschwindigkeit im erdfernsten Punkt: m/s

Differenz zur Kreisbahn, erdnächster Punkt: m/s

Differenz zur Kreisbahn, erdfernster Punkt: m/s

Wichtig: Hier geht es nur um die Geschwindigkeiten!

Diese Formeln rechnen nur mit den Absolutwerten der Geschwindigkeit, sie lassen leider völlig unberücksichtigt, das jede Bewegung auch eine Richtung hat. Dies soll an dem Verlauf einer elliptischen Satellitenbahn eines Satelliten für den geostationären Orbit verdeutlicht werden.

Diese hat folgende Parameter:

Erdnächster Punkt: 200 km Höhe Geschwindigkeit 10250 m/s
Kreisbahngeschwindigkeit in 200 km Höhe 7790 m/s
Erdfenster Punkt: 36000 km Höhe, Geschwindigkeit 1589 m/s
Kreisbahngeschwindigkeit in 36000 km Höhe: 3067 m/s
Halbachse: 18100 km Höhe über der Erde: Kreisbahngeschwindigkeit = Satellitengeschwindigkeit

Beim Start zeigt der Geschwindigkeitsvektor des Satelliten parallel zur Erdoberfläche, wie bei einer Kreisbahn. Doch die Geschwindigkeit ist zu hoch, der Satellit entfernt sich. Dabei dreht der Geschwindigkeitsvektor von der Erde weg. Sie können das leicht feststellen wenn Sie einen Stein an einer Schnur im Kreis schleudern und dann Schnur nachlassen. So kommt der Satellit irgendwann in 18100 km Höhe wo seine Geschwindigkeit nun genau für eine Kreisbahn ausreicht, jedoch ist gerade in diesem Punkt seine Bahn senkrecht zur Kreisbahn, zeigt also in eine völlig andere Richtung. Bisher war der Satellit schneller als die Kreisbahngeschwindigkeit, nun ist es genau umgekehrt. Im erdfernsten Punkt von 36000 km Höhe hat er nun noch eine Geschwindigkeit (anders als ein Stein, den man senkrecht nach oben wirft), aber seine Bahn ist nun wieder parallel zur Erdoberfläche ausgerichtet. Hier könnte er also eine Kreisbahn einschlagen - jedoch fehlt ihm nun Geschwindigkeit dafür (bei geostationären Satelliten beschleunigt man diese deswegen gerade in diesem Punkt). Nun dreht die Gravitation den Geschwindigkeitsvektor Richtung Erdmittelpunkt - Der Satellit fällt zur Erde. Dabei bekommt er jedoch die ganze Überschussgeschwindigkeit zurück, so das er je näher er der Erde kommt um so mehr am Erdmittelpunkt "vorbei fällt". Angekommen im erdnächsten Punkt zeigt die Bahn dann wieder parallel zur Erde - dann jedoch wieder mit der Überschussgeschwindigkeit - Das Spiel geht von neuem los.

Das ganze soll eines verdeutlichen: Die Formeln hier sind korrekt, jedoch in der Anwendung beschränkt auf Spezialfälle. Die Formel versagt z.B. wenn man einen Satelliten in einer 200x36000 km Bahn in 10.000 km Höhe in eine Kreisbahn umlenken will, da sie davon ausgeht das man nur mit den Absolutwerten rechnen darf, wenn beide Geschwindigkeiten in dieselbe Richtung zeigen, d.h. im Erdnächsten oder Erdfernsten Punkt.

Bahn vom Smart-1Es gibt auch noch einen zweiten Grund, warum man Bahnänderungen nur am erdfernsten bzw. erdnächsten Punkt durchführt. Eine Geschwindigkeitsänderung im erdnächsten Punkt kann nur den erdfernsten Punkt verändern. Entweder er rückt weiter von der Erde weg (Beschleunigung) oder näher heran (Abbremsung). Entsprechendes gilt für den erdfernsten Punkt. Zündet man irgendwo, so verändert man beide Punkte gleichzeitig und das ist nicht erwünscht.

Befindet sich z.B. ein Satellit in einer Bahn von 200/36000 km Höhe, der schon oft erwähnten geostationären Übergangsbahn (GTO), so genügt im erdfernsten Punkt ein Manöver von 1478 m/s (3071 m/s Kreisbahngeschwindigkeit - 1589 m/s aktuelle Geschwindigkeit) um die Kreisbahn zu erreichen. Würde man entlang der ganzen Bahn beschleunigen, so müsste man die gesamte Geschwindigkeitsdifferenz zwischen der 200 und 36000 km Bahn aufwenden, das sind 7790-3071 m/s = 4719 m/s, also mehr als der dreifache Energiebedarf.

Elektrische Triebwerke beschleunigen während eines Großteils ihres Umlaufs und müssen daher mehr Geschwindigkeit aufwenden als chemische Antriebe. Man nennt dies Gravitationsverluste, da die Ursache letztendlich die Gravitation ist: Ich muss den Treibstoff erst in einer größere Höhe bringen, was Energie kostet. Die Mondsonde Smart-1 hat daher ihr Triebwerk nur in den roten Teilen der Bahn, nahe des erdnächsten Punktes gezündet um den erdfernsten Punkt anzuheben. Man erkennt, dass aber trotzdem der erdnächste Punkt auch angehoben wurde.

Geschwindigkeitsberechnung

erdnächster Punkt: 200 km

erdfernster Punkt: 35786 km

Geschwindigkeit im erdnächsten Punkt: m/s

Geschwindigkeit im erdfernsten Punkt: m/s

Differenz zur Kreisbahn, erdnächster Punkt: m/s

Differenz zur Kreisbahn, erdfernster Punkt: m/s

Änderung um: 1 m/s

Im erdnächsten Punkt

Im erdfernsten Punkt

Umlaufszeiten

Die Umlaufszeit einer Kreisbahn ist sehr einfach zu berechnen: Man teilt einfach den Kreisumfang durch die Umlaufgeschwindigkeit. Beim Radius muss man natürlich den Bahnradius nehmen, also berücksichtigen, dass zur Bahnhöhe noch der Radius der Erde von 6371000 m dazukommt.

t = 2 * PI * Radius / v

Bei einer elliptischen Bahn macht man dasselbe, nur setzt man hier die Halbachse der Bahn (erdnächster + erdfernster Punkt / 2) ein und die Geschwindigkeit die ein Satellit auf einer Kreisbahn in dieser Höhe hat.

t = 2 * PI * Halbachse / v

Für eine Kreisbahn gilt natürlich, dass Radius=Halbachse ist. Kennt man die Umlaufszeit einer bestimmten Bahn z.B. beträgt Sie in 200 km Höhe (Radius 6571000 m) 5300 Sekunden = 88 Minuten 33 Sekunden, so kann man über das dritte Keplersche Gesetz schneller eine Bahn berechnen, denn es gilt: Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Bahnen entsprechen den dritten Potenzen der Bahnradien.

tneu = talt * Sqrt((Radiusneu/Radiusalt)³)

Will man also die Umlaufszeit für die Bahn in 20000 km Höhe berechnen so setzt man an:

tneu = 5300 sec * Sqrt ( 26371000/6571000)³)

tneu = 5300 sec * Sqrt ( 4.01324³)

tneu = 5300 sec * Sqrt (64.367)

tneu = 5300 sec * 8.0397

tneu = 42610 sec = 11 h 50 m 15 sec

Umlaufszeitberechnung

erdnächster Punkt: km

erdfernster Punkt: km

Umlaufszeit:

Verändern der Inklination

Abnahme der Nutzlast bei Veränderung der Inklination Bei den meisten Orbits wird die Inklination schon beim Start festgelegt. Aus gutem Grund - denn diese kann man nur schwer ändern. Warum dies so ist kann man sich folgendermaßen überlegen : Wenn man die Inklination um 180 Grad dreht, so wird die Bahnebene gedreht. Das bedeutet auch, das die Geschwindigkeitsrichtung um 180 Grad gedreht wird. Also erst die gesamte Geschwindigkeit auf 0 gebracht und dann dieselbe Geschwindigkeit in umgekehrter Richtung neu aufgebaut wird. Das entspricht praktisch dem Versuch eines Autofahrers bei 200 km/h die Richtung um 180 Grad abrupt zu wechseln....

Bei einer Bahn ist dies jedoch unumgänglich: Die geosynchronen Bahn muss eine Inklination von 0 Grad haben. Derzeit gibt es nur das Unternehmen Sealaunch das mit einer mobilen Plattform am Äquator diese günstige Startposition einnehmen kann. Alle anderen Startplätze liegen nördlicher, am günstigsten noch Kourou mit 5.3 Grad Nord. Obgleich die Geschwindigkeit im geostationären Orbit nur 3067 m/s beträgt muss man für das Ändern der Inklination von 28.8 Grad schon 15 % der Nutzlast für Treibstoff opfern, so das Satelliten die von Kourou gestartet werden über mehr Treibstoff nach Erreichen des GSO Orbits verfügen oder mehr Nutzlast befördert werden kann.

Das Verändern der Inklination ist berechenbar nach:

vi = 2× sin(Winkel ÷ 2) × v

v: Geschwindigkeit deren Richtung geändert wird
Winkel: Winkelunterschied zwischen neuer und alter Inklination

z.B. um die Geschwindigkeit der geostationären Transferbahn (v=10250) von 28.8 Grad (niedrigste Inklination beim Start von Cape Canaveral) auf 0° (Winkelunterschied 28.8°) zu verändern braucht man eine Geschwindigkeit von 4937 m/s. Die Nutzlast nimmt daher rasch ab wie man an der beiliegenden Grafik sehen kann: Sie zeigt die Nutzlastabnahme der Delta 3 bei einer anderen Inklination als 28.8 Grad in den GTO Orbit. Bei geostationären Satelliten macht man das Manöver daher im erdfernsten Punkt, wenn man die oben errechneten 1478 m/s aufwenden muss und nicht beim Start. So ist ein Start vom Cape nicht um 4937 m/s sondern nur um 300 m/s schlechter als einer von Kourou aus (Inklination 7 Grad). Dies liegt auch daran, dass man gleichzeitig die Bahn umlenkt, so dass sich die Geschwindigkeiten nicht addieren, sondern ihre Vektoren (Richtungen im Raum). Wenn eine Bahn und die Inklination gleichzeitig verändert wird, so gilt diese Formel:

vi = √(vs² + ve² - 2*vi*vs*cos(Winkel))

vi = Geschwindigkeitsänderung

vs: Startgeschwindigkeit

ve: Zielgeschwindigkeit

Dies ist energetisch günstiger als eine getrennte Inklinationsänderung So braucht man in Apogäum einer GTO Bahn (vs= 1689 m/s, Ve = 3074 m/s) folgende Geschwindigkeiten um einen kreisförmigen GEO-Orbit mit 0 Grad Inklination zu erreichen

Startort Startinklination Geschwindigkeitsänderung
CSG 5,2 Grad 1494 m/s
CCAF 28,8 Grad 1844 m/s
Kosmodrom Baikonur 51,5 Grad 2424 m/s

Trotzdem benötigt man sehr viel Treibstoff um die Inklination zu ändern. So hätte die Columbia zum Beispiel nicht die ISS anfliegen können, wenn man bemerkt hätte, dass der Flügel beschädigt ist, da die Columbia mit einer Inklination von 31° flog und die ISS mit 52°. Den Höhenunterschied von 200 km hätte man mit dem Treibstoff ausgleichen können. Die Inklination liegt also beim Start schon fest, wobei jeder Startort auch eine höhere Inklination anfliegen kann als seine geographische Breite beträgt, jedoch selten eine niedrigere, denn auch dafür gilt diese Regel.

Warum man höhere Orbits nicht direkt anfliegt

Abnahme der Nutzlast mit zunehmender Kreisbanhhöhe Wenn Sie das obige Beispiel genau studiert haben so fragen Sie sich bestimmt eines: "Warum fliegt man den Geosynchrone Bahn nicht direkt an?"

Dies erscheint natürlich auf den ersten Blick sinnvoll, denn dort benötigt man nur eine Geschwindigkeit von 3071 m/s, während man für einen Flug über den GTO Orbit insgesamt 11728 m/s benötigt (10250 m/s für die Transferbahn und 1478 m/s für die Änderung GTO » GSO Bahn). Sie können dies an der Grafik links erkennen: Die Linie mit den Punkten ist die des direkten Einschusses in die Höhe, die mit den Kreuzen dagegen die mit dem Umweg: Ellipse » Kreisbahn (der Transfer mit der höchsten Nutzlast wurde vom deutschen Mathematiker Hohmann errechnet und heißt daher Hohmann Transfer).

Es ist ungünstiger, denn zuerst muss die Höhe von 36000 km erreicht werden. Dazu benötigt man nahezu Fluchtgeschwindigkeit (zirka 10800 m/s) und dazu kommen noch die 3071 m/s, zusammen also annähernd 15000 m/s. Dieser Grundsatz gilt im allgemeinen : Es ist rationeller eine große Höhe zu erreichen indem man zuerst eine elliptische Bahn von 200 km erdnächsten Punkt und dem erdfernsten Punkt in der gewünschten Höhe anstrebt, und diesen dann nach einem halben Umlauf - wenn der erdfernste Punkt erreicht ist - in eine Kreisbahn umwandelt. Man kann sich dies auch daran verdeutlichen das Höhenforschungsraketen eine 10 mal schwerere Rakete als die Nutzlast benötigen, nur um eine Höhe von 200-300 km zu erreichen. Auch wird jeder der einmal eine Feuerwerksrakete gestartet hat und beobachtet hat wie schnell diese abgebremst wird, nachdem sie ausgebrannt ist, verstehen, das man zu Erreichung einer großen Höhe eine hohe Geschwindigkeit benötigt.

Manche Raketen können dies nicht, denn dazu muss man die Oberstufe zweimal zünden, einmal um die erste Bahn zu erreichen und ein zweites Mal um die Bahn zu einer Kreisbahn umzuwandeln. Ein prominentes Beispiel ist die Ariane 4. In diesem Fall nimmt die Nutzlastmasse in größeren Höhen rasch ab wie folgender Vergleich zeigt:

Rakete Delta 3 Ariane 4
Nutzlast 200 km 8292 kg 4900 kg
Nutzlast 705 km SSO 6101 kg 3000 kg
Unterschied 26.4 % 38.7%

Bei der Ariane 4 spielte dies beim Entwurf keine große Rolle, da man sie für den geostationären Orbit ausgelegt hatte und dieser mit nur einer Zündung erreichbar ist. Über 90 % aller Nutzlasten von Ariane 4 gingen in diesen Orbit.

Die Hilfe der Erde, und ihre Nachteile

Die Erde hilft beim Start, weil sie rotiert. Die Rotation ist am Äquator am größten und nimmt zu den Polen hin ab. Die Rotationsgeschwindigkeit beträgt am Äquator 463 m/s und kann für einen beliebigen Breitengrad nach

v= 463 × cos(Breitengrad)

berechnet werden. So ist der Gewinn durch die Erdrotation bei Baikonur (46 Grad nördliche Breite) nur noch 321 m/s. Wenn man allerdings einen anderen Startwinkel einschlägt z.B. 90° für eine polare Bahn, so verzichtet man auf diese Hilfe der Erde zum Teil oder ganz. Bei Winkeln über 90 Grad muss man sogar gegen die Rotation starten, also Energie zuführen.

Geschwindigkeit und Nutzlast

Die Nutzlast hängt direkt von der Geschwindigkeit ab die man erreichen will. Der nächste Aufsatz dieser Reihe wird die genauen mathematischen Zusammenhänge erklären. Doch für das Thema dieses Artikels sind zwei Dinge wichtig:

Am Beispiel der Nutzlast der Delta 3 soll dies gezeigt werden. Die angegebene Geschwindigkeit ist die Nettogeschwindigkeit welche die Rakete erreichen muss (ohne die Hilfe der Erdrotation)

Orbit Geschwindigkeit Nutzlast
LEO 185 km 7387 m/s 8292 kg
SSO 705 km 9092 m/s 6101 kg
GTO 28.8° 9847 m/s 3810 kg
GSO 0° (mit zusätzlicher Stufe) zirka 11379 m/s zirka 2100 kg

Eine Geschwindigkeitserhöhung von 54% führt zu einer Verminderung der Nutzlast um 74,6%. Daher ist man bestrebt einen Orbit mit möglichst geringer Geschwindigkeit zu erreichen, sofern dies technisch möglich ist.

Orbits mit definierter Umlaufszeit

Bahnen von LandsatFür manche Missionen braucht man Orbits mit einer bestimmten Umlaufszeit. So umkreisen Wettersatelliten die Erde auf Bahnen bei denen sie diese 12 oder 14 mal pro Tag umrunden: Nach einem halben Tag befindet sich von der Erde aus gesehen der Satellit an der gleichen Stelle. Ein Satellit kann also die Erde 2 mal pro Tag fotografieren. Für die Erdbeobachtung benötigt man nicht so kurze Intervalle, dagegen soll das Gebiet kleiner sein (12 Umläufe pro Tag bedeuten auch, dass am Äquator das Gebiete dass man Ablichten muss 40000 km (Erdumfang) / 12 = 3333 km betragen muss, die Ränder sind dann durch die Erdkrümmung schon verzerrt). Der Landsat Satellit arbeitete z.B. mit 185 km breiten Streifen.

Es wurde schon die Formel für die Berechnung der Umlaufszeit angegeben:

t=2000.0 × Pi × Sqrt(x³) ÷ Sqrt(GM)

Da die Bahnen allerdings den Kepler'schen Gesetzen gehorchen ist es einfacher von bekannten Bahndaten aus zu rechnen:

t = Sqrt((x/6371)^3)*5059.8

Diese Formel wendet das Kepler'sche Gesetz an (Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der Radien zueinander). 6371 km ist der Erdradius und 5059.8 sec ist die Umlaufzeit eines Satelliten der genau über der Erdoberfläche diese umrundet

so erhält man auch die Bahnhöhe bei gegebener Zeit:

x = Sqr3((t/5059.8)²)*6371

setzt man z.B. für 12 Umläufe pro Tag 7200 Sekunden (60 sec*60 min *24 h/12 = 7200) ein so erhält man

x = sqr3(7200/5059.8)²)*6371 = 8060 km. Zieht man nun den Erdradius (6371 km) ab so erhält man eine Bahn von 1689 km Höhe.

Landsat umkreiste die Erde in 915 km Höhe. Seine Umlaufzeit beträgt dann 6188 Sekunden oder 103 min, 8.46 sec. In einem Tag macht der Satellit also 13.962 Umrundungen - Man achte darauf: nicht 14! Die kleine Differenz sorgt dafür, dass sich die Erde um 232 Sekunden dem Satelliten vorauseilt (In Wirklichkeit sogar 468 Sekunden, weil sich die Erde auch um die Sonne dreht und so sich so ihre Bahn gegenüber der Satellitenbahn verschiebt. In 468 Sekunden rotiert die Erde am Äquator aber um 468 * 463 m/s weiter, so dass in 468 Sekunden sich die Bahn um 217 km verschoben hat. Davon erfasst der Satellit einen 185 km breiten Streifen. Nach 19 Tagen macht die genau die Breite aus, um die sich die Erde während eines Umlaufs weiterdreht - Der Satellit beginnt dann einen neuen Aufnahmezyklus.

Diese Regel gilt für fast alle Erdbeobachtungssatelliten: Ihre Bahnen sind so ausgerichtet, dass sie fast eine gerade Anzahl von Umläufen erreichen. Die kleine Differenz führt zur Verschiebung des Aufnahmegebietes um den Bereich denn die Kameras pro Umlauf aufnehmen.

Der Aufstieg einer Rakete

Aufsteigsbahn einer Delta 3 Die Lufthülle der Erde übt einen großen Widerstand während der ersten Startphase aus. Moderne Raketen sind daher sehr schubkräftig, um diese rasch hinter sich zu lassen. Leider hat dies auch Nachteile, denn je höher der Schub, desto stärker die Belastung der Nutzlast. Bei modernen Feststoffboostern die viel Schub abgeben, versucht man daher den Schub nach einiger Zeit wieder herunter zu fahren (Ariane 5) oder zündet sie nacheinander (Delta, siehe Grafik). Kleinere Raketen kann man vom Flugzeug aus starten, was neben einer Anfangsgeschwindigkeit von zirka 250 m/s (900 km/h) auch noch die Einsparung der Luftreibung bis zu einer Höhe von 11 km bringt, so das diese Raketen zirka 600 m/s einsparen können und damit 25 % größere Nutzlasten befördern können.

Der größte Nachteil ist aber das man eine niedrige Parkbahn zuerst erreichen muss. Dieser Anteil ist größer als der welcher auf den Luftwiderstand entfällt. Von den zirka 2000 m/s die eine Rakete mehr benötigt, als die Geschwindigkeit für eine 200 km Bahn entfallen zirka 1600 m/s auf das Erreichen dieser Höhe, nur 400 m/s auf den Luftwiderstand. Für den Direkteinschuss in eine 800 km hohe Bahn sind es schon 3200 m/s. Daher ist man bestrebt zuerst eine niedrige Bahn zu erreichen, wenn dies möglich ist.

Wichtig ist auch das die Geschwindigkeit für elliptischen einen Orbit abhängig von der Brenndauer ist. Obwohl Ariane 5 mit der EPS Oberstufe z.B. für einen geostationären Orbit ca. 10.2 km/s benötig erreicht die Stufe bei Brennschluss nur 9 km/s. Die Brenndauer ist mit 20 min so lange, dass die Stufe Brennschluss erst in 1700 km Höhe hat.

Dies ist jedoch kein Vorteil sondern ein Nachteil, denn um diese Höhe zu erreichen braucht die Stufe mehr Treibstoff als bei einer kürzeren Brenndauer. Die Geschwindigkeit die aufzubringen ist um eine Nutzlast in einen höheren Orbit zu bringen ist im Prinzip potentielle Energie um die Masse weiter weg vom Erdmittelpunkt gegen die Gravitationskraft zu bringen. Diese Energie möchte man natürlich nur für den Satelliten und die leere Oberstufe aufbringen. Beim Aufsteigen während der Brenndauer bringt man diese aber auch für den Treibstoff auf. Bei der Ariane 5 ist optional z.B. ein Zwei Impuls Manöver verfügbar, bei dem die Oberstufe zweimal gezündet wird. Das zweite mal nach 4000 sec, wenn die Stufe wieder den erdnächsten Punkt ereicht hat. Dieses bringt 300 kg oder 2.5 % mehr Nutzlast.

Strategien zur Erreichung eines Orbits:

Übergang GTO» GSO Im Allgemeinen erreicht man die meisten Orbits mit einen Zwei Impuls Transfer: Zuerst einen elliptischen Orbit mit 160-210 km Höhe als Perigäum und dem Apogäum auf der gewünschten Höhe. Dann einer zweiten Zündung im Apogäum um das Perigäum zu erhöhen auf den gewünschten Wert und zugleich wenn erforderlich die Inklination anzupassen. Letzteres ist beim Apogäum am sinnvollsten, da dort die geringste Geschwindigkeit gegeben ist und so am wenigsten Treibstoff für die Änderung der Richtung der Geschwindigkeit nötig ist.

Es gibt jedoch einige Varianten die sich vor allem für das Erreichen des GSO Orbits eingebürgert haben. Bei westlichen Satelliten ist es normal, das der zweite Impuls von einem Triebwerk das im Satelliten integriert ist durchgeführt wird. Da man dieses möglichst leicht bauen will, ist die Schubkraft oft gering. Die Brenndauer daher lang. Dadurch sinkt aber die Bahn von Apogäum wieder leicht ab, und der Satellit befindet sich nicht in der idealen Position mehr und benötigt mehr Treibstoff. Man ersetzt daher bei solchen Satelliten eine lange Brennzeiten durch 2 oder 3 kurze, bei denen sukzessive der Orbit angehoben wird.

GSO ohne Apogäumsantrieb

Die russische Proton hat ein anderes Flugregime. Die Oberstufe wird mit dem Satelliten zuerst in einen 150-250 km hohen Parkorbit ausgesetzt. Nach einiger Zeit wird die Oberstufe zum ersten mal gezündet und erreicht einen Übergangsorbit und beim zweiten Zünden den endgültigen Orbit. Der Satellit verfügt über keinen Antrieb. Durch dieses Manöver findet das Einleiten des geostationären Übergangsorbit näher am Äquator statt, so das dort auch der erdnächste Punkt zu liegen kommt.

Delta 3 GTO Bahn Raketen die von höherer geographischer Breite starten, haben oft zwei Zündsequenzen: Eine um eine nahe Kreisbahn zu erreichen, eine zweite am Äquator um die GTO Transferbahn zu erreichen. Dies wird bei der Delta deutlich: Man kann so die Bahnebene auf den Äquator legen, ansonsten wäre der erdnächste Punkt über dem Cape, was ein weiteres Manöver des Satelliten erfordern würde. Ariane benötigt durch den Start am Äquator solche Manöver nicht und kommt mit einer Zündsequenz aus. Links sehen Sie die geographische Position der zweiten Zündung bei der Delta 3 Rakete.

Der Einschuss in den GSO durch die Oberstufe ist im Westen nur bei der Titan-Centaur und militärischen Satelliten üblich. Normalerweise ist dies unökonomisch, da die Oberstufe schwerer ist als der integrierte Antrieb des Satelliten und sie nur noch wenig Treibstoff nach Erreichen des GTO Orbits hat. Bei der Centaur sprechen allerdings zwei Gründe für diese Vorgehensweise: Der Treibstoff der Oberstufe (Wasserstoff) ist wesentlich energiereicher als der des Satellitenantriebes, man benötigt also weniger Treibstoff und die Bauweise der Oberstufe ließe es nicht zu, die schwereren Satelliten mit integriertem Antrieb zu befördern. Hier setzt die leichtgewichtige Konstruktion ein Limit, welches Satelliten nicht überschreiten dürfen.

Subsynchroner GTO

gto-animation Bei amerikanischen Raketen haben sich noch zwei Varianten eingebürgert: Der subsynchrone und supersynchrone GTO Orbit.

Ein subsynchroner GTO Orbit ist einer dessen Apogäum unterhalb von 36000 km liegt. In diesem Fall muss also der Satellit zusätzliche Arbeit aufwenden um seinen Orbit zu erreichen. Es gibt prinzipiell zwei Möglichkeiten warum dieser Orbit eingeschlagen wird:

Oftmals trifft beides zu. Auffällig ist jedoch das die meisten Starts in den subsynchronen Orbit mit Atlas Trägerraketen erfolgten, die über weniger Varianten verfügt als die Ariane. Auch Doppelstarts kann die Atlas nicht durchführen. Das bedeutet, das der Kunde einen Fixpreis für die Rakete bezahlt, unabhängig von der Nutzlast, so sind Kunden bestrebt, deren Nutzlast knapp über der GTO Nutzlast liegt diese in einen subsynchronen Orbit bringen zu lassen anstatt die nächst größere (und teurere) Varianten einzusetzen.

Bei Ariane 4 und 5 wird normalerweise nach Größe der Nutzlast abgerechnet, hier lohnt sich eine solche Vorgehensweise nicht. So fand bisher auch nur ein Start in den subsynchronen Orbit statt, als ein 3.9 t schwerer Satellit von einer Ariane 42L (Nutzlast 3.7 t für den GTO Orbit) in einen 33000 km hohen Orbit befördert wurde. Dieser Satellit hatte elektrische Triebwerke an Bord, welche wesentlich weniger Treibstoff für die Lageregelung benötigen

Manchmal wird noch unterschieden zwischen einem "Low GTO" (Apogäum unter 30.000 km) und dem eigentlichen subsynchronen GTO. Das Prinzip ist jedoch das gleiche, nur die aufzubringende Geschwindigkeit ist höher.

Supersynchroner GTO

Das genaue Gegenteil ist der supersynchrone GTO. Hier liegt das Apogäum deutlich über 36000 km. Militärische Satelliten und Wettersatelliten der NASA haben ein Apogäum um 50.000 km (High GTO) und einige zivile Kommunikationssatelliten die mit Atlas oder Titan befördert wurden sogar 70-120.000 km Abstand von der Erde.

Dies erscheint auf den ersten Blick widersinnig, da man zusätzlichen Treibstoff benötigt um das Apogäum wieder abszusenken. Bei den Starts von Cape Canaveral hat es jedoch den Vorteil, das man bedeutend weniger Energie braucht um die Inklination abzubauen. In einem erdfernsten Punkt von 70000 km hat ein Satellit dann nur noch eine Geschwindigkeit von 908 m/s. Dafür muss das hohe Apogäum wieder abgesenkt werden. Man spart allerdings Energie beim Umlenken von einem 200 × 70000 km in einen 36000 × 70000 km Orbit, da man eine höhere Geschwindigkeit in 36000 km Höhe hat. Hauptnutzen ist jedoch die Einsparung beim Ändern der Inklination. Für die Starts von Ariane hat dies wegen der niedrigen Inklination keine Bedeutung und so gab es erst einen Start mit einem supersynchronen Satelliten.

Macht man eine Gesamtrechnung der aufzubringenden Geschwindigkeit, so ist supersynchron energieaufwendiger als GTO, weil auch die Trägerrakete zirka 320 m/s mehr Geschwindigkeit (für einen 70000 km Orbit) aufbringen muss. Man nutzt daher meistens den Umstand aus, das die Nutzlast für die Rakete normalerweise zu klein ist. Bei den Fixpreisen der Atlas und Titan ist es nicht verwunderlich, das die meisten supersynchronen Starts mit diesen Trägern erfolgen, denn der Kunde muss den gleichen Preis zahlen, egal ob er einen GTO oder supersynchronen GTO wählt.

Ein weiterer Grund für die Wahl dieses Orbits besteht in der Marktdominanz von Ariane, die seit Anfang der neunziger Jahre über 50 Prozent aller kommerziellen Starts in den GTO Orbits abwickelt. Will ein Satellitenbetreiber nun auch amerikanische Trägerraketen nutzen (z.B. um nicht von Ariane abhängig zu sein oder eine neue Generation von Satelliten möglichst schnell in den Orbit mit zwei Trägern zu bekommen), dann hat er ein Problem: Die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen GTO und GSO beträgt beim Start von Kourou aus etwa 1500 m/s. Beim Start von Cape Canaveral aus dagegen 1800 m/s, da die Inklination der Bahn höher ist. (28 Grad gegenüber 7 Grad beim Start mit einer Ariane). Verfügt der Satellit über einen Apogäumsantrieb mit festen Treibstoffen, so muss man zwei Versionen davon bauen. Bei flüssigen Treibstoffen hat man weniger übrig um später die Bahn stabil zu halten, dies verringert die Lebensdauer um einige Jahre. Beide Alternativen sind also nicht attraktiv. So versuchen andere Anbieter ihre Nutzlast in einem "Ariane-kompatiblen Orbit auszusetzen", sprich der Geschwindigkeitsbedarf um von diesem Orbit in den GSO zu gelangen ist gleich hoch wie bei einem Start mit Ariane 5.

Startet man vom Cape aus in einen Orbit von 200 x 72000 km Erdentfernung bei 28 Grad Inklination, so braucht man in diesem Orbit ebenfalls 1500 m/s um einen GSO Orbit zu erreichen. Dieser Orbit ist also geschwindigkeitsäquivalent mit einem GTO Orbit von Kourou aus. Daher bieten viele Hersteller von Trägerraketen diesen Orbit an. Die Nutzlast ist dafür deutlich geringer. Bei der Atlas 551, der größten Version der Atlas beträgt z.B. die Nutzlast in einen GTO Orbit 8700 kg (200 x 36000 km x 28 Grad Inklination). Sie geht auf 6885 kg für einen 200 x 72000 x 28 Grad supersynchronen GTO zurück. Dieser ist wiederum geschwindigkeitsäquivalent mit einem 200 x 36000 x 7 Grad GTO, wie ihn Ariane 5 erreicht.

Die russische Proton startet von Baikonur aus mit einer noch höheren Inklination. Hier ist der supersynchrone GTO keine gute Lösung. Der entfernteste Punkt der Bahn würde so hoch liegen, dass man Kommunikationsprobleme bekommt und die Bahn vom Mond beeinflusst wird. Bei den meisten Starts wird daher die Breeze Oberstufe mehrere Manöver durchführen bei denen sie auch das Perigäum anhebt und die Inklination etwas absenkt. Das kostet ebenfalls viel Nutzlast.

Dies verdeutlicht auch, dass man nicht einfach für Vergleiche den Startpreis durch die Nutzlast teilen kann, wie dies gerne erfolgt. Mehr darüber im Aufsatz über supersynchrone Orbits.

Hohes Perigäum / niedrige Inklinationen

Wie schon erläutert sind die energisch günstigsten Bahnen die mit einem niedrigen Perigäum. Bei Raketen mit starken Feststoffboostern oder/und langer Brenndauer der Oberstufe kann das Perigäum aber auch höher liegen. Dies ist im ersten Fall eine Folge, davon, das die Booster die Rakete schnell durch die Atmosphäre bringen und durch ihre Schubkraft eine hohe vertikale Geschwindigkeit aufbauen, im zweiten Fall dadurch das die Höhe der Bahn während der langen Brennzeit der Oberstufe kontinuierlich ansteigt. Zwei prominente Vertreter mit hohen Perigäum sind Ariane 5 und die Delta 2. Bei beiden liegt das Perigäum bei 600-800 km. Diese hohen Perigäum sind energetisch ungünstiger, da man erheblich mehr Energie braucht um das Perigäum beim start anzuheben als wenn man dies durch eine Zündung im Apogäum tut. So bietet Arianespace für die wiederzündbare Version der EPS Oberstufe an eine Freiflugphase einzuschieben. In diesem Fall wird die Stufe zuerst kurz gezündet um eine 200 x 800 km Bahn zu erreichen. Sobald die Stufe nach 4000 Sekunden ihr erstes Perigäum in 200 km Höhe durchläuft wird sie erneut gezündet. Als Folge ist die Nutzlast um 250 kg oder etwa 3 % höher als ohne Freiflugphase.

Verfügt die Rakete über Reserven, so kann man diese Nutzen um das Perigäum anzuheben. Bei einem höheren Perigäum benötigt der Satellit weniger Treibstoff um seine Bahn zu erreichen. Bei einem 500 × 36000 km Orbit benötigt der Satellit zirka 31 m/s weniger Geschwindigkeit für seinen Orbit, die Rakete muss jedoch 85 m/s mehr Geschwindigkeit aufwenden. Derartige Fälle gibt es vor allem bei der Ariane 1-4 und einer einzelnen Nutzlast, wo man die Reserven der Rakete dazu nutzte das Perigäum anzuheben, meist von 200 auf 500 km.

Nur bei Ariane findet man den Fall, das man die Inklination verringert. Dies ist in der GTO Bahn äußert unökonomisch, da dort eine viel höhere Geschwindigkeit erreicht werden muss als beim Umlenken in den GSO Orbit. Bei einigen Nutzlasten hat man jedoch die Inklination von 7 auf bis zu 3 Grad verringert und ebenfalls dazu Reserven des Trägers genutzt.


© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.
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