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Bahnen im Sonnensystem und um andere Planeten

Dies ist der sechste Aufsatz in der Reihe Grundlagen der Raumfahrt. Er knüpft direkt an den Aufsatz über Bahnen um die Erde an. Dort haben Sie alles erfahren, was Sie wissen müssen, um Bahnen eines Satelliten zu berechnen. Heute geht es um die Raumsonden, ihren Weg zu den Planeten und das Einbremsen in Orbits.

Ein Flug zum Mond

Der Flug zum Mond ist eigentlich (fast) eine normale Erdumlaufbahn. Der Mond ist im Mittel 384403 km von der Erde entfernt. Eine Ellipse die also ein Apogäum in dieser Höhe hat führt zum Mond. Natürlich muss der Mond auch an der richtigen Position sein. Weiterhin ist die Umlaufbahn des Mondes leicht gegen den Erdäquator geneigt. Das schränkt das Startfenster etwas ein. In Wirklichkeit muss man sich dem Mond nicht einmal so weit nähern. Es reicht den Punkt zu erreichen, an dem sich die Anziehungskräfte von Erde und Mond aufheben. Da der Mond 81 mal leichter als die Erde ist und Gravitationskräfte im Quadrat abnehmen, liegt dieser Punkt bei

                          1
                Dist = ----------- * Dist Mond                                
                       1+ Sqrt(81)                

oder 1/10 * 384403 km = 38440 km vom Mondmittelpunkt entfernt (oder 345963 km von dem Erdmittelpunkt entfernt). Eine Sonde wird von dieser Position aus auf den Mond fallen und dort (wenn sie nicht abgebremst wird) mit der Mondfluchtgeschwindigkeit von 2376 m/s aufschlagen. Jeder frei fallende Körper erreicht wenn er lange genug fällt und nicht durch eine Atmosphäre abgebremst wird die Fluchtgeschwindigkeit als Fallgeschwindigkeit. Der Geschwindigkeitsunterschied zu einer Bahn die am Mond endet ist jedoch gering: Anstatt 10928 m/s sind es nur 10917 m/s, also nur 11 m/s (zirka 40 km/h) weniger. (Alle Werte ausgehend von einer 186 km hohen Parkbahn).

Will man in eine Mondumlaufbahn einbremsen so muss man die Differenz zur Kreisbahn von der Fluchtgeschwindigkeit vernichten, indem man gegen die Flugrichtung das Triebwerk zündet. Im idealen Fall wären dies nur 811 m/s. In der Realität hat das Raumschiff noch Restenergie (bei einer Ellipse am Mond z.B. noch etwa 190 m/s) und meist muss auch die Inklination der Erdbahn der des Mondes angepasst werden. Bei Apollo 8 waren es z.B. 849 m/s, die abgebremst werden mussten.

Flüge zum Mond liegen nahe der Fluchtgeschwindigkeit von der Erde. Etwas mehr Geschwindigkeit (hyperbolischer Exzess, siehe unten) führten dazu, dass man am Mond noch viel Geschwindigkeit hat. Dadurch sinkt die Reisedauer rapide und der Geschwindigkeitsbedarf beim Einbremsen steigt an.

Geschwindigkeit Flugdauer Ankunftsgeschwindigkeit Abzubremsen für 100 km hohe Kreisbahn
93 m/s unter Fluchtgeschwindigkeit (Minimum) 114 Stunden 2506 m/s 811 m/s
50 m/s unter Fluchtgeschwindigkeit 62.5 2687 m/s 996 m/s
Fluchtgeschwindigkeit 51 2884 m/s 1197 m/s
100 m/s über Fluchtgeschwindigkeit 40 Stunden 3244 m/s 1563 m/s.

Diese Tabelle macht deutlich warum man sich bei Apollo 3.5 Tage Zeit ließ um den Mond zu erreichen. Zwar hätte man mit 200 m/s mehr Geschwindigkeit aus der Erdumlaufbahn aus den Mond in 40 Stunden erreichen können, hätte aber nahezu die doppelte Ankunftsgeschwindigkeit abbremsen müssen - mit entsprechenden Folgen für die Treibstoffvorräte. Umgekehrt wird hier auch klar, warum Raumsonden mit höheren Geschwindigkeiten die Mondbahn viel schneller kreuzen als Apollo.

Startet man ohne in eine Kreisbahn um die Erde einzutreten zum Mond. (Direkt-Transfer), so benötigt man eine höhere Geschwindigkeit, nämlich die Fluchtgeschwindigkeit an der Erdoberfläche also 11187 m/s. (Da sich auch kleinste Kursabweichungen bei dieser Distanz auswirken, ist dies nicht sehr sinnvoll. Einige der ersten Mondsonden verfehlten bei diesen Starts den Mond um bis zu 72000 km).

Die Fluchtgeschwindigkeit

Wenn eine Bahn eines Satelliten immer exzentrischer wird, so entfernt er sich immer weiter von der Erde. Die Anziehungskraft der Erde wird im erdfernsten Punkt immer geringer. Schließlich kann man berechnen wird eine Umlaufbahn so weit, das der Satellit die Erde ganz verlässt. Die Geschwindigkeit hängt von der Kreisbahngeschwindigkeit ab und ist berechenbar nach:

v = Sqrt(2) × v Kreis

Sqrt(2): Quadratwurzel aus 2 = 1.4142....
v Kreis: Kreisbahngeschwindigkeit in dieser Höhe.

Ein Beispiel: in 200 km Höhe beträgt die Kreisbahngeschwindigkeit 7784 m/s, die Fluchtgeschwindigkeit beträgt in dieser Höhe dann 11008 m/s. Wenn eine Raumsonde die Fluchtgeschwindigkeit erreicht hat, so kann sie das Schwerefeld der Erde verlassen, allerdings zehrt das Anheben der Sonde gegenüber der Gravitationskraft der Erde die Startenergie auf. So hat die Sonde nach Verlassen des Schwerefelds der Erde (im Unendlichen) die Geschwindigkeit 0.

Die allerersten Sonden zum Mond und den Planeten starteten direkt dorthin. Später hat man diese Praxis aufgegeben. Mit der Fluchtgeschwindigkeit erfahren wir einen Grund dafür. Da diese von der Kreisbahngeschwindigkeit abhängt erhält man die höchste, wenn man von der Erdoberfläche startet, sie liegt dann bei 11187 m/s, also höher als bei einer niedrigen Erdumlaufbahn. Dies ist leicht nachzuvollziehen, denn in einer niedrigen Erdumlaufbahn hat man schon die Nutzlast gegenüber der Erdoberfläche angehoben, also Energie aufgewendet.

Der zweite Grund ist das man eine sehr große Präzision beim Flug zum Mond oder den Planeten benötigt, sich kleine Abweichungen im Kurs sehr stark auswirken können (die ersten Mondsonden verpassten diesen um mehrere Tausend Kilometer). Beim Start in eine Erdbahn hat die Sonde in dieser Bahn schon die wichtigsten Hindernisse, welche die Bahn beeinflussen können, hinter sich. (Winde in der Atmosphäre, ungleichmäßiger Schub der Triebwerke in unterschiedlichen Höhen). Die Sonde wird in eine Bahn um die Erde eingeschossen, diese dann vermessen, die Sonde gezielt neu auf das Ziel orientiert und im idealen Augenblick um eine festgelegte Geschwindigkeit beschleunigt.

Die Bahnen sind sehr nahe Erdbahnen (das spart Treibstoff) in Höhen von 160-200 km. Das solche Bahnen nur für einige Stunden bis Tage stabil sind, stört nicht, denn im allgemeinen erfolgt das Manöver zum Verlassen der Erde noch während des ersten Umlaufs. Scheitert es, dann verbleibt die Sonde in einem Erdorbit, wo sie bald verglüht. Das ist vielen russischen Raumsonden so gegangen.

Diese Vorgehensweise ist aber nicht zwingend. Die Ariane 1 Oberstufe z.B. ist nicht wiederzündbar und hätte das zweite Manöver so nicht durchführen können. So wurde 1985 die Raumsonde Giotto in einen GTO Orbit eingeschossen und beschleunigte von dort aus mit einem in der Sonde eingebauten Feststofftriebwerk. Die Differenz zur Fluchtgeschwindigkeit liegt in einem solchen Orbit mit 800 m/s schon sehr niedrig.

Was passiert wenn die Sonde etwas mehr Geschwindigkeit hat als die Fluchtgeschwindigkeit ? Dann hat sie auch eine Restgeschwindigkeit. Nach dem Energieerhaltungssatz gilt :

E = 0.5 * m * v²

für eine beliebige Bahn gilt somit:

EFlucht = 0.5 * m * vFlucht²

Die Restenergie nach Verlassen des Gravitationsfeldes ist dann:

ERest = E - EFlucht = 0.5 * m * (v ²-vFlucht²)

Die Geschwindigkeit ist zu errechnen nach:

v = Sqrt (2 * ERest / m)

Da 0.5 und m konstant in allen Termen vorkommen kann man sie auch weglassen:

ERest = v² - vFlucht²

v = Sqrt (ERest)

Ein Rechenbeispiel: Für eine 200 km Umlaufbahn haben wir die Fluchtgeschwindigkeit zu 11008 m/s berechnet. Wie groß ist die Restgeschwindigkeit der Sonde, wenn sie mit nur wenig mehr, nämlich 11100 m/s startet ?

ERest = E - EFlucht

ERest = 11100² - 11008²

ERest = 2033936 J

v = Sqrt(ERest)

v = Sqrt(2033936) = 1426,1 m/s

Die Sonde hat also noch eine sehr hohe Restgeschwindigkeit. Dies liegt daran, dass die Energie vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängt.

Bahnen im Sonnensystem

Im Prinzip werden Bahnen im Sonnensystem so berechnet wie auf der Erde, zur Erinnerung hier noch mal die wesentlichen Formeln:

Kreisbahngeschwindigkeit:

v = Sqrt(GM ÷ x)

Umlaufzeit einer Kreisbahn in × km Abstand:

t=2 × Pi × Sqrt(x³) ÷ Sqrt(GM)

Geschwindigkeit einer Ellipse beim Abstand x mit gegebener Halbachse

v=Sqrt(GM × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse))

Halbachse: (Sonnenfernster Punkt + Sonnennächster Punkt) ÷ 2

Änderung der Inklination:

vi = 2× sin(Winkel ÷ 2) × v

Eine genauer Erklärung der einzelnen Parameter finden sie im Artikel über Bahnen. Es gibt nun eine wichtige Änderung: GM wurde beim Artikel über Bahnen um die Erde immer als Konstante angegeben. Das gilt aber nur für die Erde: GM ist das Produkt aus der Gravitationskonstante G mit dem Wert 6.672611x10-11 und der Masse M des Himmelskörpers um den der Satellit kreist, das waren bei der Erde 5.976x1024 kg. Damit man nun noch in km anstatt m rechnen konnte, habe ich den Wert noch durch 1000 geteilt.

Nun rechnen wir mit dem für den Planeten geltenden GM und rechnen in Metern. Für das erste geht es um Bahnen um die Sonne, und da die Sonne eine Masse von 1.989x1030 kg hat ist GM bei Bahnen um die Sonne bei 1.3272x1020. So kann man mit diesen Werten leicht errechnen das die Erde beim Umlauf um die Sonne im Mittel eine Geschwindigkeit von 29695 m/s hat (149.5 x 109 m Abstand zur Sonne), und für eine elliptische Bahn mit einem erdfernsten Punkt von 210 Millionen km (z.B. für den Mars) eine Geschwindigkeit von 32.090 m/s nötig, also 2.395 m/s mehr.

Im Fachjargon nennt man den sonnenfernsten Punkt einer Bahn Aphel (Vorsicht: Nicht Apohel) und den sonnennächsten Punkt ein Perihel. Bei einigen Planeten hat sich auch eine Abkürzung eingebürgert. Beim Jupiter spricht man von einem Apojovium und einem Perijovium. Gibt es keine spezielle Bezeichnung so redet man von einer Apoapsis und einer Periapsis. Apo steht immer für den fernsten Punkt und Peri für den nächsten Punkt.

Die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit

Nun kommt aber etwas zum Tragen, was bisher unterschlagen wurde, nun aber wichtig wird: Wir haben immer mit Werten gerechnet, einfachen Zahlen. Es handelt sich aber um Bewegungen im dreidimensionalen Raum. Man muss also mit Vektoren - Richtungen im Raum rechnen. Glücklicherweise kann man aber wieder auf einfache Beträge kommen, wenn man die Geschwindigkeiten quadriert, zusammenzählt und dann die Wurzel zieht. Die Geschwindigkeit die eine Sonde beim Start von der Erde aus benötigt, um zu einer Bahn × zu gelangen ist berechenbar nach:

v = Sqrt( ve2 + vs2)

ve: Fluchtgeschwindigkeit von der Erde
vs: Differenz zur Kreisbahngeschwindigkeit der Erde bei der Bahn um die Sonne.

Mit den bisher schon errechneten Werten von 11008 m/s für ve und 2390 m/s für vs (Differenz der Geschwindigkeit einer 150 × 210 Millionen km Ellipse zur Kreisbahn in 150 Millionen km) wird die Geschwindigkeit für die Bahn in 210 Millionen km Entfernung so zu 11265 m/s, also nur wenig mehr als die Fluchtgeschwindigkeit. Die obige Bahn läge in Marsnähe, das wäre die typische Geschwindigkeit für eine Marsbahn. Dies nennt man hyperbolische Exzessgeschwindigkeit, es ist die Geschwindigkeit die übrig bleibt wenn ein Körper das Schwerefeld des Planeten verlassen hat.

Die folgende Tabelle enthält die minimale Geschwindigkeit auf Hohmann Bahnen um einige Planeten zu erreichen (jeweils bei mittlerem Abstand zur Erde)

Ziel Startgeschwindigkeit Reisezeit
Mond 10917 m/s 4,75 Tage
Merkur 13349 m/s 105 Tage
Venus 11299 m/s 146 Tage
Mars 11409 m/s 258 Tage
Jupiter 14099 m/s 2 Jahre 267 Tage
Saturn 15077 m/s 6 Jahre 19 Tage
Uranus 15776 m/s 16 Jahre 13 Tage
Neptun 16045 m/s 30 Jahre 225 Tage
Pluto 16192 m/s 45 Jahre 178 Tage

C3Deutlich ist das man eigentlich nur Venus und Mars mit geringem Energieaufwand erreichen kann, bei den anderen Planeten nimmt die Geschwindigkeit rasch zu. In Wirklichkeit sind die Werte etwas höher, da die Planeten die Sonne auf einer etwas anders geneigten Bahn umkreisen. Der Winkelunterschied den man korrigieren muss, hängt dabei von dem Ort des Planeten bei der Ankunft ab. Bei Venus beträgt daher die Startgeschwindigkeit 11400-11500 m/s und bei Mars je nach Entfernung 11600-12000 m/s. Die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit wird auch gerne in Form einer Energie angegeben und meist als c3 abgekürzt. c3 ist dann die Energie, die eine Raumsonde haben muss, wenn sie die Erde vollständig verlassen hat. c3 ist definiert als :

c3 = vs² - ve²

ve: Fluchtgeschwindigkeit von der Erde
vs: Differenz zur Kreisbahngeschwindigkeit der Erde bei der Bahn um die Sonne.

c3 hat die Dimension einer Energie und wird meist in der Einheit [km²/s²] angegeben (entspricht MJ). Dies hat den Vorteil, das man nur die Energie der Bahn zu den Planeten berechnen muss, nicht aber noch die Fluchtgeschwindigkeit die stark von der Startbahn um die Erde abhängt. Die Fluchtgeschwindigkeit ist wie oben angegeben abhängig von der Bahnhöhe. In einer 200 km hohen Bahn liegt Sie bei 11016 m/s. In einer 500 km hohen Bahn aber nur bei 10774 m/s. Die folgende Tabelle gibt die Beziehung zwischen c3, Geschwindigkeit und Startgeschwindigkeit von einer 200 km hohen Erdbahn wieder.

c3 km²/s² v [km/s] Startenergie [km²/s²] vStart [km/s]
2,00 1,41 123,35 11,11
4,00 2,00 125,35 11,20
6,00 2,45 127,35 11,29
8,00 2,83 129,35 11,37
10,00 3,16 131,35 11,46
12,00 3,46 133,35 11,55
14,00 3,74 135,35 11,63
16,00 4,00 137,35 11,72
18,00 4,24 139,35 11,80
20,00 4,47 141,35 11,89
22,00 4,69 143,35 11,97
24,00 4,90 145,35 12,06
26,00 5,10 147,35 12,14
28,00 5,29 149,35 12,22
30,00 5,48 151,35 12,30
32,00 5,66 153,35 12,38
34,00 5,83 155,35 12,46
36,00 6,00 157,35 12,54
38,00 6,16 159,35 12,62
40,00 6,32 161,35 12,70

Die große Halbachse einer Hyperbel ist durch einen einfachen Zusammenhang aus c3 berechenbar:

a = - GM /c3

Da die Halbachse wiederum definiert ist als (a+b)/2 und a feststeht (Entfernung der Erde von der Sonne) kann man daraus b errechnen, wobei b bei einer Hyperbel immer negativ ist.

Bahnen zu den Planeten

Um zu den Planeten zu gelangen gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Ich will hier 3 ansprechen:

Hohmann Bahnen

Die nach dem Deutschen Mathematiker W Hohmann bezeichneten Bahnen sind die energiesparendste Möglichkeit für Reisen im Sonnensystem. Es sind Bahnen die den Planeten bei der Ankunft gerade berühren. Das bedeutet bei Merkur und Venus liegt der planetennächste Punkt der Bahn dort wo sich der Planet bei der Ankunft befindet, bei Mars bis Pluto ist es der entfernteste Punkt. Für solche Bahnen gelten auch die oben angegeben Geschwindigkeiten. Die Bahnen haben die Eigenschaft, dass der Ankunftspunkt genau 180° vom Startpunkt entfernt liegt, und so kann man die Reisedauer nach der Gleichung:

t = Pi × Sqrt(Halbachse³) ÷ Sqrt(GM)
Halbachse: (Sonnenfernster Punkt + Sonnennächster Punkt) ÷ 2

berechnen. Da sich die Planeten um die Sonne bewegen, muss man aber starten wenn die Erde und der Planet einen bestimmten Winkel zueinander haben. Bei Mars beträgt dieser z.B. 44° in mittlerer Entfernung bei der Opposition.

Der Flug dauert aber lange. Für einen Flug zu Saturn beträgt die Reisezeit über 6 Jahre, zum Mars 258 Tage bei einer mittleren Entfernung. Dies ist der Preis für einen geringen Energiebedarf. Die Hohmann Bahn ist unter allen Bahnen die mit der längsten Reisedauer. Flüge zu Planeten außerhalb Saturn haben extrem lange Reisezeiten zu Neptun z.B. 30 Jahre.

Der Winkel zwischen den beiden Planeten ist relativ einfach zu berechnen. Wenn man nach dem dritten keplerschen Gesetz die Flugzeit berechnet und diese in Beziehung zu der Umlaufszeit des Planeten setzt:

W1 = 180* ((Aphel + Perihel) / (2*Perihel) )3/2

W2 = 180* ((Aphel + Perihel) / (2*Apohel) )3/2

Während des Fluges bewegt sich der innere Planet um den Winkel W1 weiter und der äußere Planet um den Winkel 180-W2, während die Raumsonde sich um 180 Grad dreht.

Position Ausgangsplanet Sonde Zielplanet
Start 0 0 180-W2
Ankunft W2 180 180

Für eine Hohmann Bahn zum Mars ergibt sich so eine Bewegung der Erde um 254 Grad und des Mars um 44 Grad

Andere Ellipsen

Nun kann man aber auch eine Bahn einschlagen, die kürzere Reisezeiten ermöglicht. Das ist z.B. eine Ellipse die bei Mars einen sonnenfernsten Punkt hinter dem Mars hat, man benötigt dann eine höhere Startgeschwindigkeit. Man erreicht dann den Mars aber früher, denn die Sonde hat ja den fernsten Punkt ihrer Ellipse noch nicht erreicht und sie hat eine höhere Ankunftsgeschwindigkeit. Solche Bahnen werden für Vorbeiflugsonden oder Landesonden gewählt die direkt landen (durch aerodynamische Abbremsung).

Den umgekehrten Fall gibt es auch, es sind Ellipsen die so angelegt sind, das die Reise noch länger als bei Hohmannbahnen dauert. Bei Mars sind dies Bahnen die so verlaufen, das der sonnennächste Punkt innerhalb der Erdbahn liegt. Die Sonde braucht dann noch länger für die Reise und auch die Startgeschwindigkeit ist höher. Auch sind Bahnen möglich, bei dem die Sonde eine Bahn außerhalb des Zielplaneten hat und diesen bei der Rückkehr nach passieren des Aphels

Der Vorteil liegt darin, das die Sonde beim Ankunftsplanet eine geringere Relativgeschwindigkeit hat. Diese muss bei einer Einbremsung in eine Umlaufbahn abgebaut werden und daher macht dies Sinn. So startete die Raumsonde Pioneer-Venus 1 auf einer solchen Bahn zur Venus. Sie brauchte auf dieser Bahn 2½ Monate länger als ihre Schwestersonde, die nicht in einen Orbit einbremsen musste.

Folgende Tabelle zeigt wie schon kleine Änderungen der Startgeschwindigkeit gravierende Einflüsse auf die Reisezeit zum Mars haben.

Flugparameter Hohmann Ellipse Ellipse Ellipse Fluchtbahn
Startgeschwindigkeit [km/sec] 11.57 11.8 12.0 13.0 16.67
Reisedauer [Tage] 258 164 144 105 70
Winkel der Schnittpunktes [Grad] 180 129 116 92 73
Winkel Erde-Mars [Grad] 44 43 41 37 35

Man sieht, das schon kleine Änderungen die Reisedauer rapide reduzieren. Mit zunehmender Geschwindigkeit sinkt die Reisedauer weiter, doch der Gewinn wird auch mit einer erheblich größeren Startgeschwindigkeit erkauft.

Wie berechnet man nun die Geschwindigkeiten und Flugzeiten ?

Im folgenden beschränken wir und auf Bahnen zu den äußeren Planeten, da die Reisedauer zu Venus und Merkur so kurz ist, dass es hier nicht sinnvoll erscheint, mehr Energie aufzuwenden als unbedingt nötig

Nun die Geschwindigkeit ist die einer normalen Ellipse mit dem sonnenfernsten Punkt außerhalb des Planeten:

v=Sqrt(GM × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse))

Halbachse: (Sonnenfernster Punkt + 149.5 Millionen km) ÷ 2

x : 149.5 Millionen km (Erdumlaufbahn)

Die Reisedauer ist etwas schwieriger zu ermitteln, da man nun nicht mehr eine halbe Ellipse durchläuft. Wir benutzen dazu eine Hilfsgröße die exzentrische Anomalie EM, der Winkel der durchlaufen wird.

Em:=ArcCos((Perihel+Apohel-(2*x))/(Apohel-Perihel))
Bruch:=(Em-(Exzent*Sin(Em)))/(2*Pi);
Flugzeit:=Bruch*Umlaufzeit;

Bruch: Bruchteil der Gesamtumlaufzeit
x ist der Abstand des Planeten, der kleiner als das Apohel sein muss.
Umlaufszeit: Gesamte Umlaufszeit in der Ellipse
Exzent: Exzentrizität der Bahn, definiert als:

Exzent = (Apohel + Perihel) / (Apohel - Perihel)

Die Formel ist auch bei Bahnen ins innere Sonnensystem anwendbar, jedoch erhält man dann nur die Differenz zu einer halben Umdrehung, muss also hier die letzte Zeile durch folgende ersetzen:

Flugzeit:=(Umlaufszeit/2)-Bruch*Umlaufzeit;

Geschwindigkeitsberechnung

Startpunkt (Erdumlaufbahn): Millionen km

Sonnenfernster Punkt: Millionen km

Geschwindigkeit im sonnennächsten Punkt: m/s

Geschwindigkeit im sonnenfernsten Punkt: m/s

Differenz zur Erdbahn: m/s

Startgeschwindigkeit von der Erde: m/s

(Inklusive 11029 m/s Fluchtgeschwindigkeit in 186 km Höhe)

Zum Eintragen: Die Entfernungen der Planeten von der Sonne.

Planet minimale Sonnendistanz maximale Sonnendistanz
Merkur 46.0 Millionen km 69.8 Millionen km
Venus 107.4 Millionen km 108.9 Millionen km
Erde 147 Millionen km 152.1 Millionen km
Mars 206.7 Millionen km 249.09 Millionen km
Jupiter 741.0 Millionen km 815.6 Millionen km
Saturn 1347 Millionen km 1506.9 Millionen km
Uranus 2734.7 Millionen km 3004.4 Millionen km
Neptun 4456.1 Millionen km 4537 Millionen km
Pluto 4425 Millionen km 7375 Millionen km

Hyperbeln

Beschleunigt man ein Raumfahrzeug immer mehr, so erreicht es schließlich die Fluchtgeschwindigkeit für das Sonnensystem. Sie beträgt 16.63 km/s beim Start von der Erde aus. Die Reisedauer nimmt dann rapide ab, denn die Sonde bewegt sie nun mit sehr hoher Geschwindigkeit von der Sonne weg. Den Mars hätte eine Sonde so schon nach 70 Tagen erreicht, also einem Viertel der normalen Dauer. Allerdings hat bisher noch kein Flugkörper beim Start von der Erde aus eine höhere Geschwindigkeit als 15.4 km/s erreicht. (Diesen Rekord hält die Raumsonde Ulysses). Eine solche Flugbahn - die mehr als die Geschwindigkeit für das Entweichen aus dem Sonnensystem aufweist - nennt man hyperbolisch, da die Bahn wie der Ast einer Hyperbel verläuft also annähernd gerade, und nicht wie in einer Kurve bei Ellipsen. Die erforderliche Geschwindigkeit kann man jedoch durch Swing-By Manöver erreichen, so haben bislang 4 Raumsonden durch einen Vorbeiflug an Jupiter diese Geschwindigkeit erreicht: Pioneer 10+11 und Voyager 1+2.

Die Geschwindigkeit von 16.3 km/s errechnet sich folgendermaßen: Die Sonde muss die irdische Fluchtgeschwindigkeit erreichen und die solare Fluchtgeschwindigkeit. Da beide Geschwindigkeiten nicht den gleichen Geschwindigkeitsvektor hat, errechnet sich die Geschwindigkeit nach :

VFlucht = Sqrt(VFlucht Erde² + VFlucht Sonne²)

VFlucht Erde beträgt 11.2 km/s beim Start von der Erde aus. VFlucht Sonne ist nur die Differenz zur Kreisbahngeschwindigkeit der Erde, die ja schon 29.8 km/s beträgt also (Sqrt(2)-1) * 29.8 = 12.3 km/s. (Anders als bei dem Start von der Erde aus umrundet die Erde ja schon die Sonne). So ist:

VFlucht = Sqrt(11.2² + 12.3²) = 16.63 km/s.

Die Inklination

Zu dieser Geschwindigkeit dazu kommt noch die Änderung der Inklination. Per Definition nennen wir die Ebene Sonne-Erde die Ekliptik und geben die Neigung der Bahnen anderer Planeten im Vergleich zu dieser Ebene an. Dies bezeichnen wir als Inklination. Die meisten Planeten haben nur geringe Neigungen zur Ekliptik. Dies ist wichtig, denn die Geschwindigkeit die man benötigt um im Sonnensystem die Inklination zu ändern, ist nicht gerade klein, weil die relative Startgeschwindigkeit schon bei Bahnen zum Mars oder Venus bei mehr als 11 km/s liegt und eine Änderung der Inklination um 1 Grad viel Energie benötigt:

Planet maximale Inklination
Merkur 7.0°
Venus 3.3°
Mars 1.9°
Jupiter 1.3°

v = 2 × vstart × sin(inklination ÷ 2)

vstart: Startgeschwindigkeit
Inklination: Winkeländerung.

Wenn eine Bahn und die Inklination gleichzeitig verändert wird, so gilt diese Formel:

vi = √(vs² + ve² - 2*vi*vs*cos(Winkel))

vi = Geschwindigkeitsänderung

vs: Startgeschwindigkeit

ve: Zielgeschwindigkeit

Dies ist energetisch günstiger. So ändert man die Inklination oft schon beim Start.

Zum Glück sind dies Maximalwerte. Die Bahn jedes Planeten verläuft von der Erde aus in einem Winkel von 0 bis zur maximalen Inklination. Befindet sich der Planet nahe der Erdbahnebene, so benötigt man weniger Geschwindigkeit, als wenn er die höchste Inklination erreicht hat.

Werte für Planeten jenseits von Jupiter sind nicht nötig, da diese über Jupiter angeflogen wird, der die Bahn so ändert, das sogar 90° Inklination möglich sind. So hat Jupiter z.B. Ulysses in eine polare Sonnenbahn befördert.

Startfenster

Prinzipiell wäre jeden Tag ein Start zu einem Planeten möglich, wenn man hyperbolisch startet. Da die benötigte Energie aber sehr groß ist, greift man zu den Hohmann Ellipsen. Ein Start ist dabei immer dann möglich, wenn sich Erde und Planet von der Sonne aus genau gegenüber stehen, man also eine Linie Erde - Sonne - Planet ziehen kann. Um diesen Zeitpunkt herum gibt es ein Startfenster welches bei den meisten Planeten von 2-6 Wochen liegt und innerhalb der Zeit man mit dem geringsten Energieaufwand starten kann. Ein solches Startfenster wiederholt sich in regelmäßigen Zeiträumen:

bei den folgenden Planeten nähert sich dann das Startfenster einem 365 Tage Zyklus. (Der Planet hat sich in einem Jahr, in dem die Erde die Sonne umkreist kaum weiter bewegt, da die Umlaufszeiten ab Saturn bei 29-248 Jahren liegen.). Flüge zu den äußeren Planeten geschehen meist über Jupiter, so das dafür die Dauer anzugeben ist indem Jupiter und der Planet die gleiche Position relativ zur Erde haben. Derartige Startfenster gibt es für

Kombiniert man alle Startintervalle so kommt man auf ein Fenster in dem eine Sonde alle 4 Gasplaneten anfliegen kann von 176 Jahren. Ein solches gab es 1976/78 und es wurde von Voyager genutzt. Gleichzeitig kann man von 1977 ausgehend auch errechnen, warum Cassini 1997 startete - Das nächste Startfenster Jupiter-Saturn öffnete sich erst nach 20 Jahren! Analog gibt es für die Sonde Pluto Express nach den Startfenster 1979 und 1992 nun erst wieder eines ab 2004/5. (Wobei man allerdings bei Pluto weil er sich kaum weiter bewegt die beiden Startfenster davor und danach nehmen kann, allerdings mit etwas längerer Flugdauer).

Die Startfenster zwischen zwei Planeten können einfach berechnet werden:

1/Startfenster = 1/Umlaufszeit Planet 1 - 1/Umlaufszeit Planet 2

Planet 1 ist der Planet mit der kürzeren Umlaufszeit. Für Erde - Mars ergibt sich so zum Beispiel:

1/ Startfenster = 1/365.25 - 1/689

1/Startfenster = 0,00128834721752788

Startfenster = 1/0,00128834721752788 = 776,18

Wie groß ist nun ein Startfenster ?

StartfensterNun dies wird vor allem von der Rakete bestimmt. Im Bild links finden Sie die benötigte Energie aufgetragen über die Zeit für das 1969 er Startfenster zum Mars. Die rote Linie soll die maximal mit der Trägerrakete erreichbare Geschwindigkeit symbolisieren. Die beiden Kurven stehen für die Hohmann Bahnen mit einer Ankunft vor Erreichen des 180 Grad Winkels (durchgezogen) und danach (gestrichelt). Während einiger Wochen ist die benötigte Energie für einen Start kleiner als die von der Rakete erreichbare Energie, d.h. ein Start ist möglich. Im Normalfall startet man die Sonde zu Beginn des Startfensters. Der Start in der Mitte würde am wenigsten Startenergie brauchen, doch davon hat die Sonde ja nichts, denn der Treibstoff der in der Raketenstufe nach Abtrennen der Sonde verbleibt ist für sie nicht nutzbar. Nur wenn es um eine reduzierte Ankunftsgeschwindigkeit geht, kann die Überlegung aufkommen den Start in die Mitte des Startfensters zu legen. Da man jedoch nie weis, ob es nicht Verzögerungen gibt, ist dies riskant. Bei der Raumsonde "Opportunity", einem der beiden 2003 gestarteten Rover gab es vor dem erfolgten Start mehrere Verzögerungen durch Probleme mit der Trägerakete. Wäre das Startfenster nur um einige Tage kürzer gewesen, so hätte die Sonde für 2 Jahre am Boden bleiben müssen. Im Jahre 1971 gab es ein sehr günstiges Startfenster zum Mars und die Sowjets konnten 4.7 t schwere Orbiter mit Lander starten. 2 Jahre später war das Startfenster wesentlich ungünstiger und die Startenergie höher, so dass man Lander und Orbiter trennen musste und die Sonden nur 3.5 t schwer waren.

Sie können im folgenden die Reiseziele von der Erde aus zu verschiedenen Zielen berechnen. Die Zeiten sind berechnet für Hohmann Ellipsen und entsprechen der halben Umlaufdauer in einer elliptischen Bahn mit den angegebenen Bahnparametern.

Umlaufszeitberechnung

sonnennächster Punkt: Millionen km

sonnenfernster Punkt: Millionen km

Reisezeit:

Einbremsung in eine Umlaufbahn

Für die Berechnung der Umlaufbahnen um andere Planeten gelten dieselben Gesetzmäßigkeiten wie bei der Erde. Hier nochmals zur Erinnerung die mathematischen Zusammenhänge:

Kreisbahngeschwindigkeit:

v = Sqrt(G*M ÷ x)

Umlaufzeit einer Kreisbahn in × km Abstand:

t=2 × Pi × Sqrt(x³) ÷ Sqrt(G*M)

Geschwindigkeit in einer Ellipse beim Abstand × mit gegebener Halbachse

v=Sqrt(G*M × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse))

Differenz zur Kreisbahngeschwindigkeit in der Höhe x:

v=Sqrt(G*M ÷ x)- Sqrt(G*M × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse))

Halbachse: (planetenfernster Punkt + planetennächster Punkt) ÷ 2

halbachse:=(a+b)/2

Änderung der Inklination:

vi = 2× sin(Winkel ÷ 2) × v

Bei allen Abständen muss man bedenken, dass diese vom Massenmittelpunkt aus gelten., also muss man den Radius zum abstand zur Oberfläche hinzu addieren. G*M hängt nun vom Planeten ab. G ist die universelle Gravitationskonstante (6.672611x10-11). Dagegen ist M die Masse des Planeten:

Planet Masse [kg] G*M
Merkur 3,302 × 1023 2,203 × 1013
Venus 4,8685 × 1024 3.249 × 1014
Erde 5,9736 × 1024 2,203 × 1014
Mars 6,4185 × 1023 3.987 × 1013
Jupiter 1,8986 × 1027 1.266 × 1017
Saturn 5,6846 × 1026 3.794 × 1016
Uranus 8,6832 × 1025 5.795 × 1015
Neptun 1,0243 × 1026 6.836 × 1015
Pluto 1,25 × 1022 8.34 × 1011

Damit kann man wie bei der Erde die Geschwindigkeit eines Satelliten in einer Bahn berechnen. Nehmen wir die Raumsonde Pioneer Venus 1. Diese umkreiste die Venus in einer elliptischen Umlaufbahn 200 km bis 66000 km Höhe über der Oberfläche (Radius = 6100 km). Mit obigen Formeln ermittelt man folgende Bahndaten:

Planet Geschwindigkeit
Kreisbahn 200 km 7208.6 m/s
Kreisbahn 66000 km 2123.4 m/s
Geschwindigkeit PV 1 in 200 km Höhe 9779.2 m/s
Differenz zur Kreisbahn in 200 km 2570.5 m/s
Geschwindigkeit PV 1 in 66000 km Höhe 849.2 m/s
Differenz zur Kreisbahn in 66000 km 1274.1 m/s

Damit ist es möglich den Treibstoff zu berechnen, denn eine Sonde benötigt, wenn sie in einer planetaren Bahn angekommen ist, z.B. um eine neue Umlaufbahn einzuschlagen. doch wie kommt eine Umlaufbahn?

Kennt man die Geschwindigkeit, einer Sonde bei der Annäherung eines Planeten so kann man leicht errechnen welche Geschwindigkeit abgebaut werden muss um in einen Orbit einzuschwenken. Die Geschwindigkeit am planetennächsten Punkt ist wie schon erläutert berechenbar nach:

ve = Sqrt( vflucht2 + v2 )

v ist die Differenz der Geschwindigkeit der Raumsonde in ihrer Bahn beim Planeten und der Geschwindigkeit des Planeten in seiner Sonnenumlaufbahn. vflucht ist die Fluchtgeschwindigkeit im planetennächsten Punkt beim Abstand x:

vflucht = Sqrt(2) × v Kreis

vflucht = Sqrt(2) × Sqrt(G*M ÷ x)

vflucht = Sqrt(2*G*Mp ÷ x)

Mp: Masse des Planeten. Die Ankunftsgeschwindigkeit ist gegeben durch den Unterschied der Geschwindigkeiten des Planeten in seiner Bahn und der Geschwindigkeit der Sonde.

v=Sqrt(G*Ms ÷ Abstand Planet)- Sqrt(G*Ms × ((2 ÷ Abstand Planet) - (1 ÷ Halbachse Sondenbahn))

Ms: Masse der Sonne. Um zu einem Satellit des Planeten zu werden, muss nun die Geschwindigkeit nur kleiner als vflucht werden, also:

dv = Sqrt( vflucht2 + v2 ) - vflucht

Pioneer Venus befand sich auf einer Bahn von 108 × 149.5 Millionen km. Die Venus hatte einen Abstand von 108.4 Millionen km bei der Ankunft. mit den Formeln ergibt sich eine Geschwindigkeitsdifferenz von 2784.2 m/s. Nun kann man die Geschwindigkeit berechnen, welche die Sonde hat, wenn sie sich der Venus auf 200 km nähert:

ve = Sqrt( 2*(7208.6)2 + 2784.22 )

ve = Sqrt( 2*(7208.6)2 + 2784.22 )

ve = 10567.8 m/s

Da wir die Geschwindigkeit von PV1 in 200 km Höhe zu 9779.2 m/s berechnet haben, muss die Sonde also um 788.6 m/s abbremsen. In der Realität ist der Impuls etwas größer, da auch die Inklination abgebaut werden musste. Mit den heutigen chemischen Antrieben kann man mit einem Antriebsbedarf von 1000-2000 m/s in Umlaufbahnen um Venus, Mars, Jupiter und Saturn einschwenken.

Bei den äußeren Planeten Uranus, Neptun und Pluto steht man nun vor einem Dilemma. Wenn man sie mit vertretbarer Reisezeit erreichen will, muss man über Jupiter fliegen. Die Geschwindigkeit die man dann aber abbauen müsste wäre sehr hoch, bei Pluto wäre mit heutiger Technologie überhaupt keine Abbremsung möglich, denn das Schwerefeld des Planeten ist sehr klein. (Man rechnet für die Sonde Pluto Express mit einer Geschwindigkeitsänderung um 20-60 m/s bei 18500 m/s Ankunftsgeschwindigkeit).

Um noch einmal Voyager 2 als Beispiel zu nehmen. Damit die Sonde bei Uranus und Neptun in eine elliptische Umlaufbahn von 1000 × 2 Millionen km einschwenken hätte können, hätte man sie um 6701 m/s (Uranus) bzw. 6686 m/s (Neptun) abbremsen müssen. Dies liegt weit jenseits der heutigen technischen Möglichkeiten. Schon um 2000 m/s abzubauen, muss heute ein Raumschiff mehr Treibstoff mitführen als es selbst wiegt.

Es ist heute möglich bei Venus (zirka 1100 m/s), Mars (1400 m/s) Jupiter und Saturn (je nach Abstand zirka 1000-2000 m/s) in Orbits einzubremsen. Bei Merkur gelänge es, indem man mehrmals durch Swing-Bys die Bahn langsam der des Merkur angleicht und so die Relativgeschwindigkeit verringert. Dies ist bei den Sonden Messenger und BepiColombo so geplant. Ohne diese Manöver liegt der Geschwindigkeitsbedarf bei mindestens 7500 m/s.

Wahl von planetaren Bahnen

Öfters wird die Frage gestellt, warum eine Raumsonde in einer bestimmten Bahn landet. Bei den ursprünglichen Bahnen von Mariner 8+9 soll dies erläutert werden. Dies ist nicht die spätere Bahn von Mariner 9, da diese nach dem Fehlstart ihrer Schwestersonde auch deren Aufgaben mit übernehmen sollte.

Kriterium 1 : Treibstoffbedarf

Mariner 8+9 BahnDie Mariner 8+9 Sonden hatten einen Vorrat an Treibstoff an Bord der es erlaubte die Geschwindigkeit um 1500 m/s zu ändern. Das schränkte die Zahl der Bahnen ein. Kreisbahnen sind damit nicht möglich, diese brauchen mindestens eine Abbremsung um 2200 m/s. Es waren nur Ellipsen mit einem marsfernsten Punkt von mindestens 7000 km Höhe möglich (falls sich die Sonde bis auf 300 km dem Mars genähert hätte).

Der niedrigste Punkt wurde durch die Mission festgelegt. Gefordert wurde für die Kartierungsmission, dass eine Mindesthöhe von 1000 km erreicht wurde. Diese Abstand erlaubte zum einen den Kameras gute Aufnahmen (bei zu niedriger Distanz hätte man zu kleine Bildausschnitte bekommen). Zum anderen war die Bahn so hoch, dass sie über Jahrzehnte stabil sein dürfte. Damit war eine Kontamination des Mars für diesen Zeitraum ausgeschlossen. Weiterhin gab es damals noch größere Ungenauigkeiten bei der Navigation. Man rechnete eine Abweichung von bis zu 300 km bei der Einbremsung in den Orbit und so visierte man eine Höhe von 1500 km für die Sonden an.

Wenn eine Sonde bei den Gasplaneten Swing-Bys an Monden machen soll, entweder um diese zu kartieren oder um die Bahn gezielt zu verändern. Dann spielen natürlich diese die Hauptrolle und es gilt möglichst wenig Treibstoff für Korrekturen zu verbrauchen und eine Bahn zu finden die möglichst viele Monde in einem bestimmten Zeitraum erfasst.

Kriterium 2 : Beleuchtungsverhältnisse und Kartierungsanforderungen

Bodenverlauf der FlugbahnDie räumliche Lage einer Bahn ist raumfest. Würde eine Linie zwischen marsnächsten und marsfernste Punkt z.B. genau auf den Stern Sirius zeigen, so ist dies auch (von Störungen abgesehen) nach 10 Jahren noch so. Da der Mars sich jedoch in 689 Tagen um die Sonne bewegt, verändert sich die Lage der Bahn relativ zum beleuchteten Teil des Mars. Forderung war dass während der ersten 90 Tage (der Primärmission) der marsnächste Punkt in der sonne liegt um hier die besten Bilder zu machen. Dies galt für beide Orbiter.

Die Aufgaben der beiden Sonden differierten jedoch. Mariner 8 sollte vornehmlich die Detailkartierung durchführen. Man wählte für diese Sonde eine Bahn mit 12 Stunden Umlaufszeit. Da der Mars in 24 Stunden 37 Minuten um seine Achse rotiert gibt es pro Marstag zwei Durchläufe durch den marsnächsten Punkt der Bahn, um 175 Grad verschoben. Die kleine Abweichung der Umlaufszeit von 2*12 Stunden zu 24 Stunden 37 Minuten bewirkt eine Verschiebung dieses Punktes um 270 km bei jedem Umlauf. Dies entsprach dem Sichtfeld der Weitwinkelkamera (275 x 350 km) aus dem marsnächsten Punkt. Innerhalb von 40 Tagen hätte die Sonde so einen Streifen um den marsnächsten Punkt in höchster Auflösung kartiert.

Die Neigung der Bahn war festgelegt zwischen 50 und 80 Grad. Dies erlaubte zum einen noch die Erfassung der Pole aus größerer Distanz. Zum anderen lag der marsnächste Punkte der Bahn aber noch weit genug am Äquator. Eine polare Bahn als Extrem hätte es erlaubt die Pole sehr gut zu kartieren, allerdings läge dann auch der marsnächste Punkt über einem Pol und das in hoher Auflösung kartierte Gebiet so klein. Eine äquatorielle Bahn als anderes Extrem würde es erlauben den Äquator, wo ein Streifen die größte Oberfläche abdeckt sehr gut zu kartieren, doch die Pole wären so nicht einsehbar. So ergab sich für Mariner 8 eine 1500 x 17000 km Bahn mit 50-80 Grad Neigung. (Sie spätere endgültige Bahn von Mariner 9 war eine 1653 x 16915 km Bahn mit 64.2 Grad Neigung).

Mariner 9 sollte nicht Detailkartierung machen (aber zusammen mit Mariner 9 eine Grobkartierung). Sie sollte nach Wetterphänomenen suchen. Dazu wählte man eine Bahn mit 32.8 Stunden Umlaufdauer. Das ist genau 4/3 der Rotationsperiode des Planeten. Nach 3 Umläufen hat sich der Mars 4 mal gedreht und der marsnächste Punkt liegt über demselben Längen und Breitengrad. So kann man Veränderungen durch Wolken, Staubverwehungen oder Stürme sehr gut untersuchen. Findet man an einer Stelle nichts, so ist es leicht möglich die Bahn leicht abzuändern und so den planetennächsten Punkt wandern zu lassen bis man ein interessantes Gebiet gefunden hat. Da die Sonde etwa 250 m/s weniger Geschwindigkeit zum Einbremsen braucht stände dafür noch genügend Treibstoff zur Verfügung.

FunkverbindungKriterium 3 Funkverbindung

Im Jahre 1971 verfügte das Deep Space Network über 3 Antennen mit 26 m Durchmesser, die eine kontinuierlichen Funkkontakt mit den Sonden erlaubten. Es gab aber nur eine 64 m Antenne in Goldstone. Nur wenn die Sonden in ihrem Empfangsbereich waren konnten sie Daten mit der maximalen Datenrate senden. Mars stand 1971/72 aber nur 8 Stunden lang über dem Horizont von Kalifornien. So mussten die Orbits so gewählt werden, dass diese 8 Stunden mit der Sendezeit zusammenfielen. Da 24 Stunden genau das doppelte der Umlaufszeit von Mariner 8 sind und auch die 32.8 Stunden von Mariner 9 fast genau 1.5 Erdumdrehungen entsprechen war dies natürlich auch ein Aspekt der zu diesen Bahnen führten. Schaut man sich die (geplanten) Bahnen einige Raumsonden an so wird man mehrere solcher Zusammenhänge erkennen. Die russischen Mars Orbiter sollten alle 24 Stunden Bahnen erhalten. Venus Express, Venera 15+16 sowie Pioneer Venus haben 24 Stunden Bahnen um die Venus und Venera 9+10 48 Stunden Bahnen. Mars Express umläuft den Mars auf einer 12 Stunden Bahn. Alle diese Bahnen sind mit den Empfangsstationen synchronisiert.

Nicht alles ist so einfach...

Dieser Artikel kann nicht mehr als eine kleine Einführung sein. Das Hauptproblem ist das in Wirklichkeit Bahnen komplexe Kurven im Raum sind, die von den Anziehungskräften der Planeten und der Sonne abhängen. In diesem Artikel werden diese auf Geschwindigkeiten, also die Absolutwerte der Bahnbewegungen reduziert. Die NASA hat nicht umsonst 10.000 Bahnen für die Mission von Voyager 1+2 im Computer durchrechnen lassen. Das ist passend für eine Reihe von Spezialfällen, jedoch bei anderen eine unzulässige Vereinfachung. Beispielsweise sehen die energiegünstigsten Bahnen für Mondorbiter die als Sekundärnutzlast mit einer Ariane in einen GTO Orbit transportiert werden ganz anders aus als die Hohmann Transfers aus, die man in den Sechzigern zum Beispiel. bei Apollo durchführte. Das liegt daran das die GTO Bahn eine feste Inklination von 0° hat und man um in eine Mondbahn einzuschwenken die Inklination der Mondbahn erreichen muss. In diesem Fall ist es günstiger dieses Manöver in größerer Erdferne etwa 700.000-1 Millionen km Entfernung durchzuführen, da man dort weniger Energie braucht, auch wenn es die Energie für einen Orbit wieder leicht erhöht. Mehr dazu im ESA Bulletin Nr.103 oder bei http://esapub.esrin.esa.it/.


© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.
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