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Die Raketengrundgleichung

In meinem Aufsatz über das Stufenprinzip habe ich die Raketengrundgleichung oder Ziolkowsky Gleichung besprochen, und wie man mit ihr Geschwindigkeitsberechnungen macht. An diesen Artikel knüpft dieser an, er soll zeigen wie man aus dieser einfachen Gleichung Forderungen für die Konstruktion einer Trägerrakete ableitet.

Die Raketengleichung

Oder auch Ziolkowski Gleichung erlaubt es die Endgeschwindigkeit einer Rakete zu errechnen wenn man die Startmasse, die Masse nach dem Verbrauch des Treibstoffs und die Ausströmgeschwindigkeit der Gase kennt (in SI Einheiten ist die Ausströmgeschwindigkeit gleich dem "spezifischen Impuls", bei US Websites muss man den spezifischen Impuls mit 9.81 multiplizieren um auf die Ausströmgeschwindigkeit zu kommen).

Die Berechnung ist eigentlich ganz simpel:

Geschwindigkeit einer Rakete = Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsgase mal natürlicher Logarithmus des Verhältnisses von Vollmasse zu Leermasse.

Ist doch ganz einfach oder? In einer Formel drückt man dies oft so aus:

v = ve * ln (Mv / Ml)

v: Endgeschwindigkeit der Rakete (in m/s)

ve: Ausströmgeschwindigkeit der Gase (in m/s)

Mv: Masse der Rakete beim Start

Ml: Masse der Rakete nach Verbrauch des Treibstoffs.

Das trickreiche ist das aber zwei Größen in die Formel eingehen. Zum einen das Massenverhältnis und zum anderen die Ausströmgeschwindigkeit der Gase. Zudem ist die Logarithmusfunktion keine lineare Funktion, das heißt es gilt: 2*ln(2) <> ln(2*2)

Doch rechnen wir mal ein Beispiel durch

Feste Treibstoffe haben typische Ausströmgeschwindigkeiten von 2800 m/s und bei größeren Raketen findet man ein Masseverhältnis von 8:1. Raketen mit Wasserstoff können 4200 m/s Ausströmgeschwindigkeit erreichen, bei einem Masseverhältnis von 12:1. Wenn sie genau auf die Zahlen achten, sehen sie dass beide sich um den Faktor 1.5 unterscheiden. Damit kann man also den Einfluss beider Größen (spezifischer Impuls und Vollmasse zu Leermasseverhältnis) untersuchen. Zusätzlich zu den beiden Extremen habe ich in der Tabelle daher noch eine Rakete mit dem spezifischen Impuls von Wasserstoff (4200 m/s), aber nur einem Verhältnis von 8:1 aufgenommen und eine Rakete mit nur 2800 m/s Ausströmgeschwindigkeit aber einem Masseverhältnis von 12:1.

Wäre der Zusammenhang linear so müssten diese beiden identische Endgeschwindigkeiten haben, doch das ist nicht der Fall:

8:1 12:1
2800 m/s 5822 m/s 6957 m/s
4200 m/s 8733 m/s 10436 m/s

LogarithmusfunktionWährend die eine Rakete (8:1 4200 m/s) 8733 m/s Endgeschwindigkeit erreicht, ist es bei der anderen (12:1 2800 m/s) nur 6957 m/s. Und dies obwohl beide Faktoren 1.5 betrugen (1.5*8=12 und 1.5*2800 = 4200). Nun das liegt an der Logarithmusfunktion. Der Logarithmus beider Zahlen beträgt 2.079 und 2.485. Das ist nicht ein Verhältnis von 1.5 sondern eines von 1.19. Die Logarithmusfunktion steigt sehr langsam an. Damit "bestraft" sie Leichtbauweise, denn diese bringt weniger ein, als eine höhere Ausströmgeschwindigkeit

Merke: Zur Steigerung der Nutzlast ist es effizienter einen Treibstoff / Technologie zu verwenden die eine hohe Ausströmungsgeschwindigkeiten der Gase ergibt, anstatt die Leermasse der Rakete zu senken.

Für eigene Experimente und zur Nachberechnung von Daten von Raketen habe ich ein Speadsheet in den Formaten Openoffice 1.1 und Excel 97 zur Verfügung gestellt. Es erlaubt die Simulation der Endgeschwindigkeiten von Raketen mit bis zu 6 Stufen und bei der Variation des Zeitraums des Abwurfs der Nutzlastverkleidung.

Das Stufenprinzip

Eine Frage die sich oft der Laie stellt ist warum eine Rakete aus mehreren Stufen besteht und wie viele man eigentlich braucht. Zum letzteren Punkt kommen wir noch etwas später in diesem Artikel. Was vorgegeben ist, ist die Geschwindigkeit die man für eine bestimmte Bahn braucht. Ein 200 km hoher Orbit hat z.B. einen Geschwindigkeitsbedarf von 7784 m/s. Die Rakete muss noch mehr aufbringen, da sie in der Startphase der Luftreibung ausgesetzt ist und zudem auch vertikal beschleunigen muss um 200 km Höhe zu erreichen. Bei den meisten heutigen Raketen liegt der Geschwindigkeitsbedarf für einen 200 km Orbit so bei 9200-9700 m/s. Von den 4 Raketen die wir in der oberen Tabelle aufgeführt haben schafft nur eine einzige diese Geschwindigkeit.

Das Stufenprinzip ist hier die Lösung. Die Raketengleichung setzt man nun für jede Stufe separat um. Dabei ist als Vollmasse nun die Startmasse der ganzen Rakete /bei Zündung der Stufe) zu sehen, und als Leermasse die Masse der Rakete nach Ausbrennen der Stufe. Hierzu ein realistisches Rechenbeispiel:

Stufe Vollmasse Leermasse Ausströmgeschwindigkeit
Nutzlast 3000 kg
Stufe 2 20000 kg 2500 kg 4200 m/s
Stufe 1 100000 kg 12500 kg 4200 m/s

Die Berechnung der Raketenendgeschwindigkeit erfolgt nun so:

Größe Rechenvorschrift Ergebnis
Startmasse beim Start 100000 kg + 20000 kg + 3000 kg 123000 kg
Leermasse nach Ausbrennen der ersten Stufe 12500 kg + 20000 kg+ 3000 kg 35500 kg
Geschwindigkeit durch die erste Stufe 4200 m/s * ln (123000 kg / 35500 kg) 5219 m/s
Masse beim Zünden der zweiten Stufe 20000 kg + 3000 kg 23000 kg
Leermasse nach Ausbrennen der zweiten Stufe 2500 kg + 3000 kg 5500 kg
Geschwindigkeit durch die zweite Stufe 4200 m/s * ln (23000 kg / 5500 kg) 6009 m/s
Endgeschwindigkeit 5219 m/s + 6009 m/s 11228 m/s

Durch die farbliche Kodierung sollte klar sein, dass es die Raketengleichung wie für eine einstufige Rakete ist, nur zählen eben zur Voll und Leermasse noch jeweils der "Ballast" der oberen Stufen hinzu.

Sie sehen also dass man praktisch für jede Stufe die Raketengleichung ansetzt, nur das nun zur Vollmasse und Leermasse der Stufe noch das Gewicht der Nutzlast und der oberen Stufen hinzuaddiert werden muss.

Ich habe diese Zahlen mit Bedacht gewählt. Sie erkennen dass das Verhältnis der Voll/Leermasse jeder Stufe 8:1 beträgt (100.000 / 12.500 =8) und auch die Ausströmgeschwindigkeit wurde mit 4200 m/s so gewählt, dass sie mit der Rakete in der ersten Tabelle in Spalte 2, Zeile 2 korrespondiert. Diese erreichte jedoch nur 8733 m/s. Dabei beförderte diese gar keine Nutzlast. Obgleich also das Masseverhältnis bei der zweistufigen Rakete bei der ersten Stufe schlechter ist, denn zur Leermasse zählt noch die gesamte zweite Stufe und die Nutzlast dazu, ist die Endgeschwindigkeit bedeutend größer.

Natürlich ist dies von Vorteil. Es gibt jedoch auch Nachteile: Die oberen Stufen sind zusätzliche Masse. Dadurch muss nicht nur die Struktur der unteren Stufen massiver sein, die diese Stufen tragen müssen, sondern auch der Schub der Triebwerke. Jede Stufe kostet zudem Geld und je mehr es sind, desto teurer wird die Rakete.

Welche Technik und welchen Treibstoff soll man in den Stufen einsetzen? Auch das ist eine Überlegung die man treffen muss. Wenn man stark vergröbert, so gibt es heute eigentlich 3 Treibstoffarten im Einsatz

Welchen Treibstoff in welche Stufe?

Betrachten wir zuerst einmal den Fall, dass wir alle 3 Treibstoffe einsetzen können und nun abwägen müssen in welche stufe man am besten welchen Treibstoff einsetzt. Soll ich die Erststufe am besten mit Wasserstoff betrieben oder mit Festem Treibstoff. Diese Frage gilt es zu klären.

Ich will diese mal vergleichen indem ich in einer dreistufigen Raketen jede Stufe einmal mit einem Treibstoff jeder Gruppe belege und die Endgeschwindigkeit errechne. Damit es fair ist, haben alle Stufen dasselbe Voll/Leermasse Verhältnis von 10:1 und auch das Masseverhältnis der Stufen zueinander und zur Nutzlast soll gleich sein und 4:1 betragen. Damit ergeben sich folgende Eckdaten

Nutzlast 1000 kg / 500 kg
Stufe 3 Voll 4000 kg
Stufe 3 Leer 400 kg
Stufe 2 Voll 16000 kg
Stufe 2 Leer 1600 kg
Stufe 1 Voll 64000 kg
Stufe 1 Leer 6400 kg
spezifischer Impuls Fester Treibstoff 2800 m/s
spezifischer Impuls flüssiger Treibstoff 3200 m/s
spezifischer Impuls Wasserstoff als Treibstoff 4400 m/s

Ich habe nicht ganz die maximalen Werte für den spezifischen Impuls genommen die man in der Literatur findet, weil dies etwas realistischer ist. Die Folgende Tabelle zeigt nun das Ergebnis der Berechnung an:

Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 V bei 1000 kg Nutzlast V bei 500 kg Nutzlast
Fest Flüssig Wasserstoff 12474,8 m/s 14217,85
Flüssig Fest Wasserstoff 12464,66 14198,35
Wasserstoff Fest Flüssig 12295,63 13663,09
Wasserstoff Flüssig Fest 12249,43 13504,17
Flüssig Wasserstoff Fest 12279,84 13562,67
Fest Wasserstoff Flüssig 12336,19 13741,09

Sie sehen zuerst bei 1000 kg nur geringe Differenzen, obgleich das Verhältnis der Stufen gleich gewählt wurde ist das Ergebnis jedoch nicht gleich. Das hat seine Ursache darin, das auch die oberen Stufen als Leermasse gezählt werden müssen. Die höchste Endgeschwindigkeit erreicht man daher wenn man den Treibstoff mit der schlechtesten Ausströmgeschwindigkeit in der ersten Stufe nimmt und den mit der höchsten in der letzten Stufe, denn diese muss nur noch die Nutzlast tragen.

In der letzten Spalte wird dies deutlich. Die Nutzlast wurde nun auf 500 kg halbiert und aus den 225 m/s Unterschied zwischen dem besten und schlechtesten Wert bei 1000 kg Nutzlast sind nun 713 m/s geworden. Woran liegt das? Nun ganz einfach: Bei der Ersten Stufe führte dies nur zu einer Verringerung des Masseverhältnisses von 85000/26900 kg auf 84500/26400 kg. Es ändert sich also fast nichts. Bei der dritten Stufe ist es dagegen eine Änderung von 5000 kg/1400 kg auf 4500/900 kg, also von 3.57 auf 5 und damit muss praktisch die dritte Stufe den größten Teil des zusätzlichen Geschwindigkeit aufbringen. Sie kann dies am besten wenn sie den hochenergetischen Wasserstoff nutzt.

Auch aus wirtschaftlichen Gründen ist dies sinnvoll. In der Reihe Fest - > Flüssig -> Wasserstoff wird nicht nur der Treibstoff leistungsfähiger, sondern auch die Technologie teurer. Wenn man also nicht das Geld hat eine Rakete nur mit Wasserstoff zu bauen, so nimmt man ihn in der letzten (und kleinsten Stufe) und setzt in der ersten Stufe eine preiswertere Technologie ein.

Merke: Der Treibstoff mit der höchsten Ausströmgeschwindigkeit sollte in der letzten Stufe stecken.

Von der Geschwindigkeit zur Nutzlast

Bislang haben wir nur Endgeschwindigkeiten berechnet. In der Praxis ist jedoch die Fragestellung gerade umgekehrt. Welche Nutzlast kann ich in eine bestimmte Bahn befördern. Wenn man die Geschwindigkeit kennt, welche die Rakete erreichen muss, so kann man nach folgenden Rechenvorschrift vorgehen. Ich will dies mal bei der ersten Rakete in der letzten Tabelle verdeutlichen (Endgeschwindigkeit mit 1000 kg 12747.8 m/s). Diese Rakete soll genau 11800 m/s erreichen, das ist ungefähr die Geschwindigkeit für einen GTO Transferorbit inklusive der Verluste beim Aufstieg.

Erstens: Nehmen wir eine beliebige Nutzlast an und errechnen die Endgeschwindigkeit. Da wir den Wert für 1000 kg schon berechnet haben sind dies 12747 m/s. Dies ist unser Startwert.

Zweitens. Wir formen die Raketengleichung so um, dass wir das Voll/Leermasse Verhältnis errechnen können:
Mv/Ml = exp (v / ve)

Drittens: Wir lösen diese Gleichung und setzen für v die Geschwindigkeitsdifferenz ein, die wir zu unserer Zielgeschwindigkeit (11800 m/s) haben. Das sind 947 m/s und wir errechnen für Mv/Ml = 1.24

Viertens: Dies bedeutet, dass wenn die dritte Stufe alleine die zusätzliche Geschwindigkeit aufbringen müsste, das Voll/Leermasse Verhältnis um 1.24 schlechter sein dürfte. Wir multiplizieren mit diesen Faktor einfach die bisherige Leermasse von 1400 kg und erhalten 1736 kg als neue Leermasse (Nutzlast also 1336 kg).

Fünftens: Wir gehen mit diesem neuen Schätzwert wieder in Schritt 2

Das ganze ist also ein iteratives Verfahren das sich recht rasch der Nutzlast nähert. Die folgende Tabelle zeigt dies

Iteration Nutzlast Geschwindigkeit Differenz Ziel
1 1000 kg 12747 m/s 947 m/s
2 1336 kg 11683,3 m/s 116.7 m/s
3 1290 kg 11780,89 m/s 19.1 m/s
4 1282.7 kg 11796,65 m/s 3.35 m/s
5 1281.4 kg 11799,47 m/s 0.53 m/s

Nach 5 Rechenschritten ist die Abweichung zur Zielgeschwindigkeit kleiner als 1 m/s, bzw. der Unterschied zur realen Nutzlastmasse kleiner als 1 kg. Man bricht dann die Iteration ab. Das Rechenverfahren berechnet prinzipiell zuerst welche neue Nutzlastmasse man hätte, wenn die dritte Stufe die Differenz alleine aufbringen muss. Dies ist natürlich nicht korrekt, denn es ändern sich ja auch die Masseverhältnisse der unteren Stufen, aber sehr viel weniger als in der letzten Stufe, man erhält also einen sehr guten Annäherungswert. Mit diesem kann man wiederum die Differenz berechnen und dies wiederholen, da mit jedem annäherungswert man sich dem wahren Wert immer mehr nähert ist dieses Verfahren sehr schnell beim korrekten Wert.

Wie groß muss eine Rakete sein?

Mit der Kenntnis wie wir Nutzlasten berechnen, können wir auch die Startmasse einer Rakete für eine bestimmte Nutzlast errechnen. Nehmen wir an wie wollen 10.000 kg auf 10000 m/s beschleunigen (typisch für einen 800 km Polarorbit inklusive Verluste). Die Rakete sollte dreistufig sein, mit Masseverhältnissen von 4:1 für jede Stufe und 10:1 innerhalb jeder Stufe. Wie schwer müsste die Rakete sein?

Die folgende Tabelle zeigt dies bei Raketen nur aus Feststoff, Wasserstoff und flüssigen Treibstoff

Typ Startmasse
Nur Fest 861.812 kg
Nur flüssig 453.625 kg
Nur Wasserstoff 149.781 kg
1+2 Stufe Fest, dritte Wasserstoff 416.875 kg
1+2 Stufe flüssig, dritte Wasserstoff 310.562 kg
Erste Stufe Fest, 2+3 Wasserstoff 246.250 kg

Ich denke diese Tabelle ist sehr deutlich. Durch den schlechten spezifischen Impuls von Feststofftreibstoffen ist diese Rakete sehr schwer. Wenn man nur die letzte Stufe durch Wasserstoff ersetzt kann man die Startmasse glatt halbieren, obgleich diese nur 1/16 der Erststufe wiegt. Sehr deutlich wird hier worum man heute Wasserstoff bevorzugt einsetzt: Man kann die Startmasse rapide senken. Damit aber auch die Kosten für Triebwerke in den unteren Stufen.

Die heute umgesetzten Typen - Feststoff in der ersten Stufe und Wasserstoff als zweite / dritte sind daher ein sehr guter Kompromiss aus Wirtschaftlichkeit und dem bestreben eine Rakete leicht zu bauen.

Voll/Leermasse

Bislang habe ich den Faktor des Masseverhältnisses konstant gehalten. Doch wie groß ist sein Einfluss? Nun im folgenden soll dies mal gezeigt werden bei einer dreistufigen Rakete mit folgenden Eckdaten:

Dies ist eine Rakete die etwa mit der Titan 3A oder Zyklon vergleichbar ist. Dabei soll einmal das Verhältnis von Voll/Leermasse 12:1 und einmal 8:1 sein. Nutzlastmasse solle 4 t sein, das ist eine typische Größe für einen erdnahen Orbit.

Rakete mit 4 t Nutzlast
Stufe Verhältnis 12:1 Verhältnis 8:1
1 3468,9 m/s 3185,7 m/s
2 3409,0 m/s 3133,6 m/s
3 3190,5 m/s 2942,4 m/s
Summe 10068,5 m/s 9261,8 m/s

Eine Erhöhung von 50 % der Leermasse hat also bei der Endgeschwindigkeit nur einen Einfluss von 9 %. Nun warum? Zum einen natürlich der Einfluss des Logarithmus, denn wir ja schon erkannt haben. Zum anderen zählt zu der Leermasse natürlich auch die Masse aller oberen Stufen dazu. Für die letzte Stufe ist es z.B. der Unterschied von (14 t / 4.83 t) und (14 t / 5.25 t) - Die Nutzlast wiegt 3-5 mal mehr als die Leermasse der letzten Stufe. Analoges gilt für die unteren Stufen.

Was aber, wenn man eine Nutzlast auf höhere Geschwindigkeit beschleunigen muss, z.B. 1 t zum Mars zu senden?

Rakete mit 1 t Nutzlast
Stufe Verhältnis 12:1 Verhältnis 8:1
1 3563,3 m/s 3267,5 m/s
2 3807,7 m/s 3477,7 m/s
3 5375,2 m/s 4760,8 m/s
Summe 12746,3 m/s 11506,1 m/s

Es wird hier deutlich, dass die unteren beiden Stufen sich genauso wie im ersten Beispiel verhalten. Für die Erste Stufe macht bei 160 t Gesamtgewicht die Änderung der Nutzlast von 4 t auf 1 t fast nichts aus. Sie liefert weniger als 100 m/s mehr Geschwindigkeit. Dramatisch sieht es bei der letzten Stufe aus. Dies ist leicht zu erkennen, denn nun ist die Nutzlast in etwa gleich groß wie die Leermasse der Stufe (1250 kg beim Verhältnis 8:1 und 833 kg beim Verhältnis 12:1), wodurch ein großer Geschwindigkeitsunterschied zustande kommt.

Man kann dies auch unter einem anderen Blickwinkel sehen: Die letzte Stufe gelangt ja mit der Nutzlast in den Orbit. Jedes Kilogramm, das sie weniger wiegt, kommt also der Nutzlast zugute. In diesem Fall würden die 417 eingesparten Kilos (1250 kg zu 833 kg) die Nutzlast um 41.7 % erhöhen.

Wir erkennen darin eine weitere Regel in der Konstruktion einer Rakete: Wenn es darum geht Gewicht einzusparen, so versucht man dies zuerst bei der letzten Stufe, dann erst bei den anderen Stufen. Hierzu zwei Möglichkeiten wie man dies bewerkstelligen kann

Kleinere Triebwerke: Raketen die am Boden starten müssen als Schub mindestens das Eigengewicht der Rakete aufbringen (In Kilonewton: Masse der Rakete in Tonnen * 9.81). Sie beschleunigen zuerst vertikal um Höhe zu gewinnen. Die letzte Stufe profitiert von der Arbeit der unteren Stufen, die schon die erforderliche Höhe des Orbits erreicht haben und muss nur noch die Geschwindigkeit aufbringen die man für einen Orbit benötigt. Die Beschleunigung kann dabei klein sein, wodurch die Triebwerke leichter werden. So wird heute bei der Atlas und Delta meistens eine Single-Engine Centaur eingesetzt, obwohl diese mit 20 t schwerer ist als die klassische Centaur-D die zwei Triebwerke hatte und nur 15.7 t wog. Ein Extrembeispiel ist das Aestus Triebwerk der Ariane 5, das nur 30 kN Schub entwickelt, aber max. 20.5 t Stufenmasse+Nutzlast in den Orbit befördern muss. Dies geht nur, weil die beiden unteren Stufen nahezu die Geschwindigkeit für einen erdnahen Orbit aufgebracht haben.

Beschränkung der Nutzlastmasse: Sehr oft beschränkt man diese auf die Masse für einen bestimmten Orbit. Jede Tonne mehr Nutzlast erhöht das Leergewicht der letzten Stufe um 15 kg. Das mag gering erscheinen, doch man kann Gewicht einsparen, wenn man die Oberstufe auf die Masse auslegt die man in der Regel transportiert. Bei Ariane 4 z.B. hat man die Oberstufe auf 5 t ausgelegt. Die Rakete hat Nutzlasten vorwiegend in den geostationären Orbit befördert, wobei diese max. 4.9 t schwer waren. Die Rakete hätte theoretisch 11 t in einen niedrigen Orbit befördern können, doch da es keine so großen Nutzlasten für diesen Orbit gab, war es sinnvoll hier Gewicht zu sparen. Analog kann die Centaur auf der Atlas, Titan und Delta die volle LEO Nutzlast nicht ausschöpfen, weil diese auf max. 5.9 t Nutzlast ausgelegt ist. Würde man sie auf 22 t auslegen, das ist die Nutzlast einer Titan 4 in einen niedrigen Orbit, so würde dies das Leergewicht um 240 kg erhöhen. Diese 240 kg gingen aber von der typischerweise 4-5 t schweren GTO Nutzlast ab, würden diese also um 5-6 % verringern.

Kann man das Leergewicht nicht gravierend senken, so fügt man meist eine weitere Stufe mit geringerem Leergewicht hinzu. So starteten die Raumsonden die bisher zu Jupiter flogen immer mit einer zusätzlichen festen Oberstufe um die hohe Geschwindigkeit von typischerweise 14.3 km/s zu erreichen.

Die Realität

Ich will am Schluss der Besprechung der einzelnen Stufen noch ein bisschen auf die Realität eingehen. Zum einen mal auf die technische Seite. Bislang habe ich die Stufenverhältnisse fest vorgegeben. Doch in der Realität ist dem nicht so. Bei flüssigen Treibstoffen ist es so, dass das Tankvolumen in der Dritten Potenz zum Durchmesser steigt, während die Oberfläche nur zur zweiten Potenz steigt. Auch wenn größere Tanks dicker sein müssen als kleinere ist es doch so, dass größere Stufen dadurch ein besseres Voll/Leermasse Verhältnis aufweisen als kleine. Analoges gilt für Triebwerke, auch hier ist es ähnlich wie bei Motoren: Ein größerer liefert pro Kilogramm Masse mehr Leistung. Dies zusammen bewirkt, dass das Voll/Leermasse bei flüssigen Treibstoffen das Verhältnis von zirka 7:1 bei Stufen von 5 t Masse auf 16.5:1 bei der Saturn-5 Erststufe ansteigt. Wird Wasserstoff als Treibstoff verwendet so ist die Leermasse höher, da dieser etwa 4-5 mal größere Tanksvolumina bedingt.

Genau umgekehrt ist es bei Feststofftriebwerken. Hier ist der Schub proportional zur Abbrandfläche. Dieser Schub bewirkt aber einen Druck auf die Hülse, wodurch große Booster sehr dicke Mantel benötigen. Bei Ariane 5 ist z.B. der Tank der Hauptstufe 1.5 mm dick, die Hülle der Booster aber 8.2 mm. Dazu kommt, dass man erstere aus Aluminium herstellt, letztere aus Stahl. Sehr kleine Feststofftriebwerke von weniger als 10 t Masse wie z.B. die PAM-D Oberstufe haben daher bessere Voll/Leermasse Verhältnisse als flüssige Triebwerke, da man diese bei geringem Druck aus leichten Materialen wie kohlefaserverstärktem Kunststoff herstellen kann. (Typisch 12-8). Große Booster mit dicken Hülsen aus Stahl haben dagegen sehr schlechte Voll/Leermasseverhältnisse. Die Shuttle Booster z.B. nur von 7:1. In den letzten Jahren ist es durch neue Fertigungsmethoden jedoch möglich geworden auch große Feststoffbooster aus Verbundwerkstoffen herzustellen. Die erste Stufe der Vega erreicht so ein Voll:Leermasseverhältnis von 12.9:1.

Beim spezifischen Impuls ist es auch so, dass jeder Treibstoff einen Maximalwert hat. Diesen kann man nicht erreichen, da immer der verbrannte Treibstoff noch eine endliche Restenergie hat. Der Aufwand um mehr aus einem Treibstoff herauszuholen wird dabei immer größer. Dies zeigt die folgende Tabelle der Evolution des Triebwerks RL-10 der Centaur Oberstufe

Bezeichnung Einsatz auf... Spez. Impuls Masse
RL-10 1961-1965 Entwicklungsmuster 4023 131 kg
RL-10 A-1 1961-1967 Saturn I 4168 131 kg
RL-10 A-3 1967-1983 Atlas, Titan 3E 4355 131 kg
RL-10 A-3A 1984-1999 Atlas G,I+II,Titan 4 4365 141 kg
RL-10 A-4 1984- Atlas I+II,Titan 4A 4404 168 kg
RL-10 A-4A 1999- Atlas III 4424 167 kg

Zuerst gibt es also relativ starke Steigerungen des spezifischen Impuls, dann immer kleinere. Gleichzeitig steigt auch die Triebwerksmasse an. Bedingt durch höheren Brennkammerdruck und längere Düsen. Dies ist sehr typisch für einen Treibstoff: Um das letzte Quäntchen an spezifischem Impuls zu erhalten muss der Brennkammerdruck immer stärker erhöht werden und die Düsen werden immer länger. Bei der Centaur stieg der Brennkammerdruck von 24 auf 39 Bar. Dies ist noch ein relativ geringer Wert. Das Shuttle-Triebwerk erreicht mit 220 Bar Brennkammerdruck 4581 m/s unter den gleichen Bedingungen wie das RL-10 Triebwerk. Um also den spezifischen Impuls von 4023 auf 4424 zu steigern musste der Druck um 63 % erhöht werden. Um diesen weiter auf 4581 zu steigern muss man dagegen den Druck um 564 % steigern. Man nähert sich immer mehr dem theoretischen Maximum. Jede weitere Steigerung erhöht die technischen Anforderungen beträchtlich.

Daher setzt man heute in den unteren Stufen auf einfachere Technologien, um diese großen Stufen preiswert zu halten. Die geringen Kosten von großen Feststoffboostern z.B. sind verantwortlich für ihren Einsatz als Erststufen. Bei der Oberstufe wird dagegen, wo es nur, geht an Gewicht gespart und oftmals auch eine Technologie verwendet die ein Maximum aus dem Treibstoff herausholt.

Anzahl der Stufen

Eine sehr oft gestellte Frage ist wie viele Stufen eine Rakete für eine bestimmte Nutzlast haben sollte. Die Geschwindigkeiten die bislang Satelliten und Raumsonden erreicht haben liegen zwischen 7.8 km/s für einen 200 km hohe Bahn und 14.3 km bei Raumsonden die direkt zu Jupiter fliegen. Nähern wir uns dieser Fragestellung experimentell.

Gegeben sei folgende Rakete:

Stufe Vollmasse Leermasse
1 160000 16000
2 40000 4000
3 (opt.) 10000 1000
4 (opt) 2500 250
5 (opt) 625 63

Wie man sieht haben wir Stufenteiler von 1:4 und Voll/Leermasse Verhältnisse von 1:10. Der spezifische Impuls soll jeweils bei 3000 liegen. Das ist eine Rakete wie z.B. die Titan 2 oder 3A. Die folgende Tabelle gibt die Nutzlasten für 4 wichtige Geschwindigkeiten an. (Die Verluste sind mit 1600 m/s kalkuliert).

Stufe LEO (7.8 km/s) GTO (10.2 km/s) Flucht (11.2 km/s) GEO 11.7 km/s Jupiter (14.2 km/s)
2 2400 kg - - - -
3 4700 kg 1340 kg 630 kg 370 kg 1 kg
4 5100 kg 1800 kg 1150 kg 910 kg 220 kg
5 5200 kg 1880 kg 1240 kg 1000 kg 340 kg

Was erkennt man?

Nun zum einen ist es natürlich so, dass die Rakete mit 5 Stufen immer die höchste Nutzlast aufweist. Doch ist der Gewinn im Vergleich zur vierstufigen Version nur bei der höchsten Geschwindigkeit signifikant. Die dreistufige Rakete ist schon bei 10.2 km/s deutlich hinter der vierstufigen und die zweistufige Rakete erreicht gerade noch den LEO Orbit.

Warum dies so ist wird klar, wenn man sich vergegenwärtigt, dass bei der letzten Stufe der zweistufigen Rakete die Leermasse 4t beträgt und bei der dreistufigen Rakete 1 t. In beiden Fällen ist also die Stufenleermasse bei LEO bzw. GTO Orbits nicht zu vernachlässigen. Die Leermasse der Stufe sollte möglichst klein sein. Wenn allerdings die Stufe selbst sehr klein ist (Beispiel letzte Stufe 625 kg bei der fünf stufigen Version) und die Nutzlast groß (z.B. 5000 kg beim LEO Orbit), so kann diese zusätzliche Stufe keinen signifikanten Beitrag zur Geschwindigkeit erbringen Dann verteuert sie nur die Rakete.

Eine Faustregel ist: Man ermittele den mittleren spezifischen Impuls aller Stufen und Teile die gewünschte Endgeschwindigkeit durch diesen und man erhält die Anzahl der Stufen die notwendig ist. Macht man dies für angegebene Geschwindigkeiten, so kommt man zu folgendem Ergebnis: (inklusive der Verluste von 1.6 km/s)

Stufe LEO (9.4 km/s) GTO (11.8 km/s) Flucht (13.0 km/s) GEO 13.5 km/s Jupiter (15.8 km/s)
Stufenzahl 3.13 3.93 4.33 4.50 5.27

Man sieht dass dies (gerundet) sehr gut mit der Tabelle übereinstimmt. Danach benötigt man für den LEO Orbit bei dieser Konfiguration 3 Stufen, bei Missionen zu Jupiter 5 Stufen und dazwischen 4 Stufen.

Stufenteiler

Unter diesem Fachbegriff versteht man das Verhältnis der Massen zweier Stufen. Im obigen Beispiel war es z.B. durchgängig 4. Sie finden diesen Wert von zirka 3-4 sehr oft bei Raketen. Der Grund ist, dass man bei gleichen spezifischen Impulsen bei allen Stufen man die höchste Nutzlast erhält, wenn der Logarithmus jedes Voll/Leermasse Verhältnisses 1 beträgt, d.h. das Verhältnis 2.72 beträgt. Da zur Leermasse noch die oberen Stufen hinzuaddiert wird kommt man so auf ein Verhältnis von mindestens 3.2 bei einer Zweistufen Rakete.

Dies gilt jedoch nur für die Annahme eines gleichen spezifischen Impulses. Ist dieser sehr unterschiedlich so ist es sinnvoller den Teiler anzupassen. Sinnvollerweise wird man die letzte Stufe als die mit dem höchsten spezifischen Impuls auslegen, da sie wie schon dargelegt bei sich ändernden Nutzlastmassen den größten Einfluss hat. Der Teiler dieser Stufe zur nächst größeren setzt man kleiner. Sie ist also überproportional groß. Man erkennt dies bei zahlreichen Oberstufen mit kryogenen Treibstoffen auf einer nicht kryogenen Unterstufe, z.B. bei Ariane 4 oder der Titan 3E/4. Bei sehr unterschiedlichen Spezifischen Impulsen erhält man die leichteste Rakete nur durch eine Simulation.

Ein praktisches Beispiel ist auch die Atlas Trägerrakete. Diese Rakete beförderte zuerst ohne Oberstufe die Mercury Astronauten und wurde dann sukzessive durch Oberstufen in der Leistung gesteigert:

Typ Masse der Oberstufe spezifischer Impuls Nutzlast
Atlas D keine 1350 kg
Atlas Burner 1083 kg 2766 1470 kg
Atlas Agena A 3790 kg 2707 2000 kg
Atlas Agena D 6821 kg 2796 3200 kg
Atlas Centaur D 15800 kg 4350 5200 kg

Praktische Anwendung - wir wissen es besser

Sind wir nicht alle Besserwisser? Ich denke jeder der versucht eine Nutzlast für eine bestimmte Endgeschwindigkeit zu berechnen, den juckt es die Rakete zu verbessern. Was passiert wenn man mehr Booster nimmt? Wenn man die Oberstufe auswechselt? Ich denke wenn sie dieses Kapitel lesen gehören sie auch zu dieser Sorte von Menschen die bessere Raketen konstruieren als die welche derzeit im Einsatz sind. Hierzu ein Beispiel: Ariane 5. Als ich zum ersten mal 1989 von dieser hörte habe ich mich über die kleine Oberstufe gewundert und errechnet, dass die Oberstufe der Ariane 4 auf der Ariane 5 ca. 9.5 t Nutzlast brächte. Als man dies 9 Jahre später umsetzte wurden 10 t angegeben, die allerdings auf 14 anstatt 10.7 t Treibstoff beruhten. Sie sehen: Man kann nur mit der Raketengrundgleichung sehr gut die Änderungen durch neue Oberstufen berechnen. (Dies gilt leider nicht im gleichen Maße bei unteren Stufen, weil sich hier auch Gravitationsverluste und der Luftwiderstand ändern).

Zuerst aber mal für alle die den Aufsatz über Ariane 5 nicht gelesen haben eine kurze Begründung warum diese zuerst so in ihrer Leistung gesteigert werden kann. Ariane 5 wurde zuerst nicht als Träger für geostationäre Satelliten konzipiert, sondern um den 18 t schweren Raumgleiter Hermes zu starten. Die Rakete ist daher optimiert ohne Oberstufe eine maximale Nutzlast in den LEO Orbit zu transportieren. Um Kosten zu sparen hat man als Oberstufe eine sehr einfache Stufe verwendet, die sehr klein ist und einen schlechten spezifischen Impuls hat.

Sehen wir uns die Rakete kurz an:

Vollmasse [kg] Leermasse [kg] spez. Impuls [N*m/s]
Booster 273500 33000 2701
Zentralstufe 170000 13900 4224
Oberstufe 10850 1150 3139

Was zuerst auffällt sind zwei Dinge:

  1. Die Oberstufe ist im Verhältnis zur Zentralstufe sehr klein. Sie hat weniger als ein 15.tel der Masse der Zentralstufe. Das ist ein sehr ungünstiger Stufenteiler.
  2. Der spezifische Impuls ist geringer als bei der Zentralstufe.

Genau diese Dinge wurden bei der Ariane 5 "Evolution" geändert:

Doch sind wir nicht alle Besserwisser? Bei gleichem spezifischen Impuls sollte der Stufenteiler Zentralstufe: Oberstufe und Oberstufe: Nutzlast in etwa gleich sein.

Bei 186 t Masse der Zentralstufe der Ariane 5 E (die verbesserte Version der Ariane 5) und geschätzten 14 t Nutzlast wäre der Stufenteiler:

Teiler = SQRT ( 186 / 14) = 3.64

Eine ideale Oberstufe hätte also 186 t / 3.64 = 51 t Masse.

Berechnet man die Nutzlast dieser Rakete so kommt man, wenn man eine Leermasse von 5 t und den gleichen spezifischen Impuls wie bei der vorhandenen Stufe annimmt auf 13.9 t. Man sieht auch die Tendenz:

Wie zu erwarten ist der Einfluss des Spezifischen Impulses am größten. Weiterhin sieht man, dass der Aufwand für mehr Nutzlast immer größer wird. Die Rakete nähert sich einem Optimum, ab dem man nichts mehr hinzu gewinnt, sondern wieder Nutzlast verliert.

Wenn man die Raketengleichung ignoriert....

Kommen wir zu einem Kapitel, das in den USA als das Konzept des "Big Dump Boosters" bekannt ist. Es ist die Überlegung, dass man die Startkosten massiv senken kann, wenn man die Technik der Raketen einfach macht, auch wenn dies bedeutet das spezifischer Impuls und Leermasse ansteigen.

Nun was ist davon zu halten?

Klar ist, dass natürlich die Kosten für einen Antrieb ansteigen, wenn man das letzte Quäntchen Leistung herausquetscht. So ist das Triebwerk HM-7 der Ariane 4 einfacher gebaut als das Triebwerk RL-10 der Centaur. Es ist nicht wiederzündbar, arbeitet bei niedrigerem Druck und hat dadurch auch einen geringeren spezifischen Impuls. Doch der Unterschied ist gering: 4350 m/s anstatt 4365 m/s. Dafür kostete die Stufe H-10 nur ein Drittel der Centaur (die allerdings 50 % schwerer ist und zwei Triebwerke verwendete). Das Space Shuttle Triebwerk ist nochmals leistungsfähiger, erreicht 4581 m/s mittels Hochdrucktriebwerke und Hauptstromverfahren, doch dafür kostet ein Triebwerk soviel wie eine ganze herkömmliche Rakete.

Dies zeigt, dass es bei Raketen ähnlich ist wie bei anderen technischen Produkten ist: Ein Rennwagenmotor liefert pro Kilogramm erheblich mehr Leistung als ein Sportwagenmotor, aber dafür kostet er auch erheblich mehr. Bei Raketen ist diese Spanne noch geringer. Es ist bei Wasserstoff z.B. kein sehr großes Problem einen spezifischen Impuls von 4350 m/s zu erreichen, doch für 4450 m/s muss man erheblich mehr Aufwand treiben, 4581 erreicht das Shuttle Triebwerk unter optimalen Bedingungen, doch es ist so teuer, dass man für die Delta 3 eine vereinfachte und weniger leistungsfähigere Version verwendet. Das praktisch erreichbare Maximum liegt bei zirka 4600 m/s und das theoretisch erreichbare bei ca. 4950 m/s.

Man kann Technik einsparen, wenn man z.B. einen niedrigeren Brennkammerdruck einsetzt kann man diese mit Turbinen und nicht Turbopumpen erreichen. Bei einem Kreislauf, der den Treibstoff der bei der Kühlung der Brennkammer sich erhitzt für den Antrieb der Pumpe nutzt kann man auch den Gasgenerator einsparen. Solche Bestrebungen gibt es heute und sie werden im Vinci Triebwerk oder dem RS-68 Triebwerk der Delta 4 umgesetzt.

Doch wie bei anderen Dingen kann an nicht unendlich sparen. In gewisser Weise ähneln Raketen Prozessoren: Die leistungsfähigsten sind teuer, doch ihre Mehrleistung ist gering. Die Mittelklasse hat ein ausgewogenes Verhältnis von Leistung und Preis und darunter gibt es zwar sehr preiswerte Exemplare, die jedoch zu langsam sind. Die Konstruktion einer Rakete ist nun wie das Bestreben mit einem Computersystem Videos anzuschauen. Mit einem High-end Gerät ist dies sehr flüssig, aber es kostet viel. Die Mittelklasse erledigt es gut, aber vielleicht gibt es ein paar kleine sichtbare Ruckler. Ein zu langsames System kann Videos zwar abspielen, aber es ist sinnlos, weil es nur ruckelt.

Hier einige Überlegungen die zu Projekten führten die eingestellt wurden:

Flüssiger RaketenantriebDruckgasförderung anstatt Pumpen/Gasgeneratoren: Der Treibstoff muss mit hohem Druck (typisch 20-70 Bar) in die Brennkammer gepresst werden, zugleich muss ein Treibstoffförderungssystem mehrere Hundert-Tausend Liter Treibstoff pro Sekunde befördern. Man kann bei kleinen Stufen dies durch Druck machen indem man die Tanks mit Druck beaufschlagt. Bei kleinen Stufen deswegen, weil diese als Oberstufen typischerweise einen kleinen Treibstoffdurchsatz haben und zudem die Tankdicke von der Fläche abhängt - Es ist mit dem Druck ihres Fingers einfacher ein Loch in ein Din-A4 Blatt zu machen, als in eine DIN-A6 Postkarte. Bei großen Tanks hat dies die Folge, dass man die Tankwände sehr dick machen muss und/oder man von leichten Aluminium Legierungen zum zäheren Stahl übergehen muss. Dieser wiegt mit 8.2 g/cm³ aber erheblich mehr als Aluminium (2.7 g/cm³). In der Summe bedeutet dies einen so massiven Anstieg der Leermasse, dass die Nutzlastmasse rapide zurückgeht. Die Deutsche OTRAG Rakete hätte bei 2278 t Startmasse (mehr als der Space Shuttle) nur 10 t in den LEO Orbit transportiert, also ein Zehntel der Masse von Shuttle+Nutzlast.

Ablative Kühlung: Ein Triebwerk muss gekühlt werden. Bei der Brennkammer kann man dies erreichen indem man eine Schleierkühlung verwendet: Man macht aus der gesamten Brennkammerwand ein Sieb und in dieser wird der Treibstoff zerstäubt, der Oxidator kommt von oben hinzu und so gibt es direkt an der Wand immer unverbrannten frischen Treibstoff, der verdampft und die Wand vor der Verbrennung schützt. Bei der Düse ist dies nicht ganz so einfach. Diese besteht normalerweise aus unzähligen Röhrchen die vom Treibstoff durchflossen werden und so gekühlt werden. Alternativ könnte man diese mit einem sehr hitzbeständigen Material belegen das erst bei hoher Temperatur verdampft wie reiner Graphit oder Wolframkarbid. Auch dies ist eine Möglichkeit die z.B. auch so bei Feststoffboostern eingesetzt wird oder sehr kleinen Satellitentriebwerken. Bei großen Triebwerken für flüssige Stufen oder sehr großen Düsen (um einen hohen spezifischen Impuls zu erreichen) wird dies nicht eingesetzt. Im ersten Fall weil man sehr viel Energie abführen muss und so der Belag sehr dick sein muss. Im zweiten Fall weil die Düse sehr groß ist und so das Leergewicht massiv ansteigen würde.

Preiswertere Treibstoffe: Ein Punkt den ich nie verstand war, dass es immer wieder Bestrebungen gab hochenergetische, aber teure Treibstoffe durch preiswerte zu ersetzen. Dazu muss man sagen, dass mit Ausnahme einiger spezieller Kohlenwasserstoffe in russischen Raketen es sich bei Raketentreibstoffen nicht um extrem teure Chemikalien handelt. Bei den derzeitigen Preisen kostet z.B. der Treibstoff für die Hauptstufe der Ariane 5 zirka 70.000 Euro, bei einem Preis für die Hauptstufe von wahrscheinlich 70 Mill. Euro. Der Treibstoff kostet typischerweise 1 Promille-1 Prozent der Rakete. Dabei ist es sogar so, dass die preiswerten Feststoffbooster mit den teuersten Treibstoffen arbeiten.

Vielleicht schwenken manche Entwickler auf Kombinationen wie Jet Treibstoff / 30 % Wasserstoffperoxid (Beal BA-2) oder Kerosin / Salpetersäure 67 % (OTRAG) um weil sie leichter an solche Chemikalien in Großmengen kommen als wie an flüssigen Wasserstoff. Doch sie bezahlen dafür mit schlechten spezifischen Impulsen. Bei der BA-2 und OTRAG wären es nur 2200 m/s gewesen. Das bedeutet, dass man enorm große Raketen benötigt. Man vergleiche den Einfluss des spezifischen Impulses nochmals in Tabelle 1. Durch diesen Anstieg der Masse wird die Rakete wieder teurer. Der Unterschied entspricht ungefähr dem vom Feststoff zu Kerosin/LOX, das ich schon durchgerechnet habe. Dies sind spezifische Impulse von 2800 m/s zu 3200 m/s. Dieser Unterschied von 14 % ergibt bei einer dreistufigen Rakete einen Masseunterschied von 90 %. Keiner der Anhänger von Big Dump Boostern will aber hochenergetische Kombinationen wie Wasserstoff/Sauerstoff einsetzen. Dabei werden gerade diese immer mehr eingesetzt. Die H-2, Delta 4 und Ariane EC-A verwenden schon in 2 von 3 Stufen diese Kombination.

Preiswerte Werkstoffe: Zugegeben Magnesium/Aluminiumlegierungen und Composite Verbundwerkstoffe kosten mehr als Edelstahl. Doch auch heute findet man diese nur in der Oberstufe, Stufenadaptern oder Nutzlasthüllen. Also in einem kleinen Teil der Rakete. Bei den meisten Raketen bestehen die Tanks aus normalen Aluminium wie es auch im Flugzeug- und Automobilbau eingesetzt wird. Dieses durch Stahl zu ersetzen bringt relativ wenig Preisvorteile, macht die Rakete aber schwerer. Zusammen mit den schon angesprochenen Handicaps wird die Rakete dann zum Monstrum.

Es ist daher kein Wunder, dass bislang es keine einzige Initiative Erfolg hatte. Neben verschiedenen Überlegungen gab es nur zwei, bei denen auch Hardware gebaut wurde: Die deutsche OTRAG Rakete und die amerikanische Beal BA-2 die bei 970 t Startmasse nur 17 t GTO Nutzlast aufweist. Beide sind eingestellt worden bevor es zu einem Start kam.

Zusammenfassung

Anhand der Raketengrundgleichung kann man auch heute noch verstehen nach welchen Prinzipien Raketen gebaut werden. Obgleich heute nicht das Bestreben dominiert, eine sehr leichte Rakete zu bauen sondern eine möglichst preiswerte, kann man sich diesen Prinzipien nicht entziehen. Daher findet man heute immer mehr kryogene Treibstoffe im Einsatz. Oberstufen mit Treibstoffen niedrigen spezifischen Impulses wie die Agena, Transtage oder EPS wurden durch Centaur oder ESC-A ersetzt. Natürlich spielen auch wirtschaftliche Überlegungen eine Rolle, doch führen die dazu dass man die Feststoffbooster als Startstufen einsetzt und nicht als Oberstufen.

Dieser Text stammt von Bernd Leitenberger
© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.
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