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Swing By

Wenn Sie schon die Aufsätze über Erdnahe Orbits und Bahnen zu den Planeten gelesen haben, dann sind sie nun Reif für den Abschluss: Dem schwierigsten Teil: Dem Swing-By an einem Planeten. Hier beschränke ich mich auf eine grundsätzliche Beschreibung, die Formeln dienen zur Verdeutlichung.

Was ist Swing By?

Swing-By von VoyagerSwing-By (auch unter anderen Begriffen wie "Fly-By" oder "planetares Billard" bekannt) ist die Veränderung einer Raumsondenbahn durch einen Vorbeiflug an einem Planeten. An der Abbildung der Flugbahnen von Voyager 1+2 links fällt der "Knick" in den Flugbahnen jeweils nach Passieren eines Planeten auf. Außerdem verlaufen die Flugbahnen ab Jupiter fast gerade - das ist ein Hinweis darauf das die Sonden durch den Vorbeiflug an Geschwindigkeit gewonnen haben, und nun das Sonnensystem auf hyperbolischen Bahnen verlassen.

Um die Vorgänge beim Swing-By zu verstehen ist es sinnvoll diese aus zwei Blickwinkeln zu betrachten. Zuerst aus der Sicht des Planeten. Hier tritt die Sonde mit einer Geschwindigkeit v in die Einflusssphäre des Planeten, wird durch Planeten beschleunigt, erreicht den Planetennächsten Punkt und hat dort die Geschwindigkeit:

ve = Sqrt( vflucht2 + v2 )

ve ist die schon bekannte hyperbolische Exzessgeschwindigkeit. Wenn die Sonde den Planeten verlässt, baut sich die Geschwindigkeit wieder ab und schließlich hat die Sonde wieder die Geschwindigkeit v mit der sie den Planeten erreichte. Vom Planeten aus gesehen hat die Sonde also nicht an Geschwindigkeit gewonnen oder verloren, aber die Bahn wurde durch die Anziehungskraft gekrümmt

Das kann man mit einfachen Vorgängen auf der Erde vergleichen. Nehmen wir das Spiel "Squash". Dabei wird ein Ball mit einem Tennisschläger auf eine Wand gefeuert. Er prallt von dieser ab und verlässt sie mit derselben Geschwindigkeit und dem selben Winkel zur Senkrechten. Von einem Planeten aus ist ein Vorbeiflug vergleichbar dem Squash Spiel. Auch hier verlässt die Sonde den Planeten mit demselben Einfaltswinkel. Dies ist die planetozentrische Sicht der Dinge.

Nun ist dies aber nur vom Planeten aus so. Die Sonde befindet sich aber auf einer Sonnenumlaufbahn. Und hier kommen nun zwei Dinge zum Tragen:

Fangen wir mit dem zweiten an. Wie gezeigt krümmt der Planet die Bahn der Sonde, damit zeigt der Geschwindigkeitsvektor der Bahn (selbst wenn die Sonde keine Geschwindigkeit gewonnen hat) in eine andere Richtung. Dadurch verändert sich aber die Bahn der Sonde um die Sonne.

Der zweite Punkt ist noch wichtiger. Die Sonde hat wie der Planet eine Geschwindigkeit relativ zur Sonne. Auch hier ein Vergleich bei einer irdischen Sportart: Dem Tennis. Dort gibt es anders als beim Squash einen Gegenspieler und der kann nun seinen Schläger auf den Ball zu bewegen (und damit diesen noch beschleunigen) oder sich von ihm wegbewegen (und ihn verlangsamen). Genau das gleiche macht der Planet: Er bewegt sich auf einer Sonnenumlaufbahn und die Sonde kann sich auf ihn zu bewegen oder ihn von hinten langsam einholen. Entsprechend kann die Sonde in Bezug auf die Sonne nach der Passage eine höhere oder niedrigere Geschwindigkeit aufweisen.

Was kann man mit Swing-By Manövern erreichen

Swing-By von Voyager Das erste die Änderung der Bahn. Wie wir gesehen haben, ist dies meist auch mit einer Geschwindigkeitsänderung verbunden, es geht jedoch bei geeigneter Kurve auch ohne. Die wichtigste Anwendung ist dabei die Änderung der Inklination. So wurde die europäische Sonnensonde Ulysses 1991 durch einen Jupitervorbeiflug in eine polare Sonnenbahn gelenkt. Mittels Raketentriebwerke wäre eine solche Inklination nie erreichbar.

Normalerweise will man dies vermeiden und sorgt dafür, dass die Raumsonde den Planeten in der Ebene der Ekliptik passiert. Dann verbleibt die Sonde in der Ekliptik. Soll die Sonde keinen Planeten mehr passieren so kann man den Planeten auch über die Pole passieren und er dreht den Geschwindigkeitsvektor dann aus der Ebene der Ekliptik. Dies tat man z.B. bei Voyager 1 die nach der Saturnpassage einen Winkel von 48 Grad zur Ekliptik hat.

Ein Vorbeiflug kann zu einer Abbremsung oder Beschleunigung führen. Will man ins äußere Sonnensystem fliegen so ist man an einer Beschleunigung interessiert, bei Flügen ins innere Sonnensystem (Merkur, Sonne) an einer Abbremsung. So ist der energiesparendste Weg für eine Sonde die durch die innere Sonnenkorona fliegen soll (Annäherung weniger als 1 Million km an die Sonne) diese zum Jupiter zu schicken und dabei die Bahn von einer Erde - Jupiter in eine Sonne - Jupiter Bahn umzulenken. Bei der Grafik welche die Geschwindigkeit der Voyager 2 Sonde jeweils im Bezug auf die Sonne zeigt ist dies deutlich sichtbar: Die Sonde beschleunigt bei einem Vorbeiflug (Jupiter, Saturn, Uranus) oder bremst ab (Neptun).

Wie viel an Geschwindigkeit möglich ist hängt natürlich von den Planeten ab. Jupiter ist der massenreichste Planet und daher eine Art Sprungbrett. Nicht immer aber ist viel Geschwindigkeit gewünscht. So hat sich Cassini sich nur auf 10 Millionen km Jupiter genähert, gerade genug damit die Sonde zum Saturn gelangt, aber nicht genug um das Sonnensystem zu verlassen, denn die Sonde soll einen Saturnorbit erreichen und die Geschwindigkeit muss dann wieder abgebaut werden.

Bei den kleinen Planeten sind die Änderungen in der Geschwindigkeit kleiner. So mussten Galileo und Cassini je drei Vorbeiflüge an Venus Erde machen um die Geschwindigkeit für einen Jupiterkurs zu erhalten. Für solche Manöver muss natürlich neben Venus auch die Erde in der richtigen Position stehen, was die Startfensterwahl etwas kompliziert.

Swing-Bys wurden schon in den sechziger Jahren untersucht, doch damals war es nicht möglich Raumsonden so genau zu steuern. Beim Swing-By können sich kleine Fehler in dem Abstand, Richtung oder der Ankunftsgeschwindigkeit dramatisch auswirken. Hierzu zwei Zahlen: Bei einem Swing-By an Uranus zu Pluto, der im Rahmen der "Grand Tour" untersucht wurde bewirkt eine Abweichung vom Kurs von 1 km beim uranusnächsten Punkt, dass bei die Bahn bei Neptun um 14000 km abweicht. Bei Mariner 10 bewirkte eine Abweichung der Bahn um 3 km vom errechneten Zielpunkt, das die Sonde 1 m/s an
Geschwindigkeit selbst nachkorrigieren musste. Gleichzeitig bedeutete dies eine Abweichung von 30000 km bei Merkur. Vor dem Venusvorbeiflug hatte die Sonde noch für eine Geschwindigkeitsänderung über 100 m/s Treibstoff. Eine Raumsonde braucht also genügend Treibstoff um die Abweichungen zu kompensieren. Je genauer die Bahn von Raumsonde und Planet bekannt ist, desto geringer sind die Reserven die man vorhalten muss.

Bei der ersten Raumsonde der Amerikaner, Mariner 10 war die Genauigkeit der Bahn auf etwa 10000 km bekannt. Dieser Wert schrumpfte immer weiter und erreichte 300-500 km bei den Vorbeiflügen von Mariner 6+7 im Jahre 1969. Damals ging man an die Planung der Grand Tour und errechnete damals einen Treibstoffbedarf ausreichend für eine Geschwindigkeitsänderung um 500 m/s. Die Pioneer 10+11 Sonden verbesserten die Genauigkeit der Kenntnis der Bahnen von Saturn und jupiter die beim Start bei 7000-10000 km lag. So konnte man Voyager mit geringeren Treibstoffvorräten (ausreichend für 143 m/s) starten. Die damals projektierten Navigationsgenauigkeit von 250 km konnte man durch Vermessen von Bildern der Sonde und verbesserten Empfängern, die noch kleinere Schwankungen der Signalfrequenz registrierten auf 25 km reduzieren. Man kam daher mit dem Treibstoffvorrat sehr gut aus.

Dies erklärt, warum man die Technik des Swing-By erst seit den siebziger Jahren ausgenutzt hat.

Die Mathematik hinter dem Swing-By

Wie erläutert haben wir es mit zwei Bezugssystemen zu tun. Zum einen interessiert und natürlich die Bahn der Sonde vor und nach dem Swing-By, dies ist die Betrachtung aus Sicht der Sonne, im Fachjargon "heliozentrisch" genannt. Wir wollen aber auch wissen wie wir den Planeten anfliegen müssen um eine bestimmte Bahn zu erreichen und dies ist dann die Sichtweise vom Planeten aus, also "planetozentrisch."

Heliozentrische Sichtweise

Betrachten wir zuerst die Umlaufbahnen um die Sonne vor und nach dem Swing-By. Da wir es jetzt mit einer Reihe von Parametern zu tun haben ist es sinnvoll eine Nomenklatur einzuführen. Es stehen folgende Buchstaben für folgende Größen:

Halbachse : Halbachse der Sondenbahn, definiert als (Aphel + Perihel) / 2

v : Momentane Geschwindigkeit der Sonde in einem Punkt auf der Umlaufsbahn bezogen auf die Sonne

w: Momentane Geschwindigkeit der Sonde bezogen auf den Planeten

e : Exzentrizität der Umlaufbahn (Berechnung siehe unten)

ρ : Winkel zwischen der Sonde und dem Planeten

GMS = Produkt aus Gravitationskonstante G und Sonnenmasse = 1.327 x 1020 m³/s²

Um die "alte" und "neue" Bahn unterscheiden zu können bekommen nun die Größen, welche die Sonde vor dem Swing By hatte den Index 1 (v11,e1,halbachse1) und nach der Passage den Index 2 (v22,e2,halbachse2)

Zuerst einmal brauchen wir die genauen Daten der Bahn der Sonde. Dies umfasst den Neigungswinkel i1 zwischen Planetenbahn und Sondenbahn. Weiterhin braucht man die Daten der Bahn vor dem Manöver oder alternativ Geschwindigkeit und Winkel beim Planeten. Aus diesen Größen kann man die anderen Größen errechnen:

v1 = G*MS * Sqrt( 2 - r/ Halbachse1)

v1 = Geschwindigkeit der Sonde auf ihrer Sonnenumlaufbahn beim Abstand r

G*MS = Produkt aus Gravitationskonstante G und Sonnenmasse = 1.327 x 1020

Damit kann man die Sondengeschwindigkeit VSonde beim Planeten berechnen, wenn dieser die Bahn nicht beeinflussen würde.

vz1 = Sqrt((1-e1²)/ (r/Halbachse1))

vz1 ist eine Zwischengeschwindigkeit die wir brauchen. e ist die Exzentrizität der Bahn und berechenbar nach :

e1 = (aphel1-perihel1) / (apohel1+perihel1)

Mit vz1 kann man nun den Winkel ρ1 zwischen der Bahn und der Planetenbahn errechnen :

ρ1 = arcsin ( vz1 / v1)

Die Energie w1 auf der Umlaufbahn ist berechenbar nach:

vu1 = vz1 * cos i1

w1 = GMS *((1/GMS) - 2*(vu1/GMS))

In gleicher Weise berechnet man die entsprechenden Werte für den Planeten (vPlanet, pPlanet)

Grundsätzlich gilt : Die Energie der Sonde bleibt bezogen auf die Sonne gleich. Sie wird nur in eine andere Richtung umgelenkt. So ist:

w1 = w2

D.H. Bezogen auf den Planeten verlässt die Sonde den Planeten mit derselben Geschwindigkeit. Für die Berechnung der Bahn nach der Umlenkung müssen wir zwei Werte vorgeben : Die neue Halbachse und den neuen Bahnwinkel (halbachse2, i2). Auch hier brauchen wir einige Zwischenwinkel und Geschwindigkeiten für die Berechnungen, damit können wir jedoch die neue Bahn berechnen: (c: v gemessen von der Sonne aus)

cos α2 = (1+ (c2/ GMS)² - (w2/ GMS)²) / (2*c2/ GMS)

cos β2 = (1+ (w2/ GMS)² - (c2/ GMS)²) / (2*w2/ GMS)

ρ2 = arcsin (cos α2 / cos i2)

i2 = arccos (cos α2 / sin β2)

vz2 = v2 * sin (ρ2)

b2 = halbachse2 * vz2 / GMS * Sqrt(r / halbachse2)

e2 = Sqrt(1-(b2²/halbachse2²)²

vu2 = vz2 * cos(i2)

α2 = arccos(vu2/v2)

β2 = arccos(1-(vu2/GMS)/(w2/GMS))

Die Umlenkwinkel bezüglich der Sonne ist dann berechenbar nach:

Umlenkwinkel Sonne γ = arccos (cos ρ1 * cos ρ2 + sin ρ1 * sin ρ2 * cos (i2-i1))

Und bezüglich des Planeten :

Umlenkwinkel Planet δ= arccos (1- (v1²+v2²-(2*v1*v2 * cos γ)/2*w1²)

Planetozentische Sichtweise

Bislang haben wir unsere Wunschbahn vorgegeben. Doch können wir sie auch erreichen ? Damit die Sonde um den Winkel δ umgelenkt wird muss folgende Beziehung gelten:

Für die Halbachse der Bahn um den Planeten gilt:

HalbachsePlanet = GMPlanet /w1²

Exzentrizität ePlanet = 1 / sin (δ/2)

Periapsis aPlanet = HalbachsePlanet / (ePlanet -1)

Da der Planet die Sonde anzieht muss man die Bahn etwas weiter nach außen legen. Die Bahn sollte so gelegt werden, dass folgendes gilt :

d = Periapsis / sin (β1)

Bekommt man für die Periapsis Werte heraus, die kleiner als der Radius des Planeten sind, so kann der Planet nicht die Umlenkung durchführen

Die Nachteile von Swing-By

Zuerst sieht Swing By nach einer Lösung aus alle Planeten schnell zu erreichen oder zumindest Treibstoff und damit Gewicht zu sparen. Doch nichts ist umsonst, auch Swing By hat Nachteile

Die richtige Planetenkonstellation

Für die Flüge von der Erde zu den Planeten gibt es Startfenster die sich regelmäßig wiederholen. Diese liegen bei 365-400 Tagen bei den äußeren Planeten ab Jupiter und 115 Tagen für Merkur, 584 Tagen für Venus und 730 Tagen für den Mars.

Will man mehrere Planeten nacheinander anfliegen, so müssen die Erde, Planet 1 und Planet 2 in der richtigen Position zueinander stehen und die Zeitintervalle werden rasch größer. So kann man Saturn über Jupiter nur alle 20 Jahre erreichen. Für die "Grand Tour" (Jupiter-Saturn-Uranus-Neptun) wiederholt sich eine Startgelegenheit nur alle 176 Jahre.

Der Flug von Cassini zu Saturn zeigt diese Problematik. Um schnellstmöglich zu Saturn zu gelangen hätte die Sonde Jupiter im Frühjahr 1999 erreichen müssen. Die Sonde erreichte Jupiter aber zur Jahreswende 2000/2001. Nun war dieser schon auf seiner Bahn weiter gewandert und konnte Cassini nicht so stark umlenken ohne dass die Sonde zu stark beschleunigt wurde (was man beim Einbremsen beim Saturn wieder hätte abbauen müssen). So brauchte Cassini für die Strecke Jupiter - Saturn 43 Monate, während die Raumsonde Voyager 1 dies in 20 Monaten schaffte.

Der Grund für die Verspätung: Cassini musste sich zuerst nach der Konstellation von Erde und Venus richten, schließlich erfolgten vorher 3 Vorbeiflüge an diesen Planeten. Die Sonde konnte daher nicht dann gestartet werden, wenn Jupiter ideal stand. Trotzdem brauchte die Sonde sehr viel Treibstoff um zwischen den Planeten die Bahn zu korrigieren, denn ein Planetenstellung bei der Venus und Erde und Jupiter bei insgesamt 4 Vorbeiflügen ideal stehen ist zu selten. Von den 3312 kg Treibstoff die Cassini mitführt verbraucht sie während des Flugs zu Saturn alleine 1100 kg. Auch bei Galileo entfiel ein beträchtlicher Teil des Treibstoffs auf Manöver welche die Swing-By Bahnen feinkorrigieren sollten.

Zeitverzögerungen

Swing By Manöver können eine Mission beschleunigen - Man denke hier nur an den Flug von Voyager 1+2. Macht man aber mehrere Vorbeiflüge an kleineren Planeten so ist der Geschwindigkeitsgewinn gering, dafür die Reisezeit länger. Einige Beispiele (Alle Zeiten gelten für Hohmann Bahnen niedrigster Startenergie, d.h. längsten Reisedauern).

Das gleiche gilt auch für kleinere Körper. So machte NEAR einen Erdvorbeiflug um den Planetoiden Eros zu erreichen (Verzögerung um 2 Jahre). Die gleiche Zeit braucht Stardust länger um den Kometen Tempel zu erreichen. Solange man nicht das Problem hat, dass eine Raumsonde zu schwer wird um sie ohne Swing-By zu starten. (Dies war bei Cassini und Galileo gegeben) muss abgewogen werden was teurer ist: Eine längere Mission oder eine stärkere Startrakete. Elektrische Triebwerke könnten in Zukunft Swing-By ergänzen. So wird die BepiColombo Mission Merkur in 3 Jahren mit Ionenantrieb erreichen, während Messenger dafür 7 Jahre mit Swing-By Manövern braucht.

Geschwindigkeit und Bahnform

Ein Swing-By Manöver ändert immer mehrere Parameter einer Bahn : Man kann damit Geschwindigkeit gewinnen oder Abbauen (ein gewünschter Effekt), aber dies geht nur wenn man auch eine Veränderung der Bahn akzeptiert. Deutlich wird dies bei einem Flug zu Pluto.

Jupiter und Pluto nehmen alle 12 Jahre 6 Monate dieselbe Position zueinander ein, alle 12-13 Jahre gibt es also eine optimale Fluggelegenheit. Die beste Ende des Jahrtausends gab es im Jahre 1999 und 2000. Bei einem Start 1999/2000 wäre die Sonde im Jahre 2006-2008 bei Pluto angekommen. Man hätte die Sonde recht nahe an Jupiter herangeführt, der sie dann sehr stark beschleunigt hätte. Die Sonde PFF (Pluto - Fast - Fly-By) wurde jedoch nie gebaut.

Der nächste Versuch mit der Sonde Pluto-Kuiper Express (PKE) sah einen Start Ende 2004 vor. Die Sonde hätte dann Jupiter in 500.000 km Entfernung passiert und Pluto Ende 2012 passiert, also etwa 1 Jahr länger für die Strecke gebraucht. Dabei hätte man eine Startgeschwindigkeit von 14.2 km/s gebraucht. Leider wurde auch PKE Anfang 2002 wegen zu hoher Kosten gestrichen.

Der bislang letzte Versuch zu Pluto zu kommen heißt New Horizons. Sie soll im Januar 2006 starten. Jupiter steht nun schon recht ungünstig und man kann die Sonde nur bis auf 2.3 Millionen km nähern. Jupiter wird die Sonde kaum beschleunigen. Dies liegt daran dass er mittlerweile nicht mehr günstig zu Pluto steht. Würde man die Sonde näher zu Jupiter heranführen. so würde dieser zwar die Sonde beschleunigen, aber auch die Bahn drehen und dann fliegt die Sonde nicht mehr zu Pluto sondern einem Punkt neben Pluto. Die Sonde würde Pluto im Jahre 2015 erreichen, also nun schon 9 Jahre für den Flug brauchen. PFF hätte es noch in 7 Jahren geschafft und PKE in 8. Dabei muss man mit einer Geschwindigkeit von 16.9 km/s starten, also erheblich mehr als bei PKE und braucht auch eine doppelt so große Rakete für den Start. Je größer die Beschleunigung desto mehr knickt die Bahn ab.

Wenn die Sonde das Startfenster im Januar/ Februar 2006 verpasst so ist zwar im Februar 2007 ein Start zu Pluto möglich, aber nun kann man nicht mehr Jupiter als Sprungbrett nutzen. Er müsste nun auf der anderen Seite passiert werden und würde die Sonde dann verlangsamen anstatt beschleunigen. Die Sonde ist dann sogar 13 Jahre zu Pluto unterwegs. Erst im Jahre 2012 gibt es dann eine erneute Startgelegenheit zu Pluto.

Startdatum Reisezeit Startgeschwindigkeit Jupiternächster Punkt
2003 8 Jahre 15.757 km/s 142.800 km
2004 8 Jahre 16.024 km/s 585.000 km
2006 9 Jahre 16.90 km/s 2.300.000 km
2007 13 Jahre 17.00 km/s kein Swing-By

Diese Tabelle basierend auf den veröffentlichten Daten zu PKE und New Horizons zeigt sehr deutlich den Zusammenhang. Jupiter beschleunigt die Sonden bei einer nahen Begegnung, so dass die benötigte Startgeschwindigkeit sinkt. Allerdings lenkt er auch die Sonden um. Das ist kein Problem wenn Pluto an der Stelle steht wo Jupiter die Sonde hinlenkt. Ansonsten darf sich die Sonde Jupiter nicht so stark nähern und wird dann aber auch nicht so stark beschleunigt.

Noch ein Trick....

Wie erläutert beschleunigt der Fall auf den Planeten eine Sonde sehr stark und der Geschwindigkeitsgewinn in Bezug auf die Sonne besteht darin, dass die Bahn gedreht wurde, also die Richtung der Geschwindigkeitskomponente verändert. Gegenüber dem Planeten verändert die Sonde beim Swing-By ihre Geschwindigkeit nicht. Das kann man jedoch auch tun und dann kommt ein Effekt zum Tragen, denn man schon beim Start zu den Planeten von der Erde aus beobachtet hat: die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit. Sie entsteht weil man in Energien rechnen muss. Vereinfacht gesagt: Wenn ich vom Boden aus einen Ball mit 10 m/s in die Höhe werfe kommt er wieder mit 10 m/s am Boden an. Wenn ich dies von der Spitze eines Berges aus tue und er fällt in ein tiefes Tal, so wird die Geschwindigkeit viel höher sein. Addiert man Energie bei einem sehr hohen Energieniveau so ist die Energie die man übrig hat, wenn man zum Ursprungsniveau zurückkehrt viel höher.

Mathematisch formuliert:

Vres = Sqrt(V² + Vadd²)

Ein Beispiel: Wir schicken eine Sonde zur Venus, so dass diese gerade die Venusbahn schneidet und zünden in 300 km Höhe über der Venus ein Triebwerk, welches unsere Sonde um 1 km/s beschleunigt. Gemäß den Regeln für Planetenbahnen hat die Sonde wenn sie bei der Venus ankommt eine Differenzgeschwindigkeit von 2706 m/s. Die Fluchtgeschwindigkeit bei der Venus beträgt 10113 m/s in 300 km Höhe. Daraus resultiert nach derselben Formel (die dort auch zum Tragen kommt) eine Annäherungsegschwindigkeit von V:

V = Sqrt(Vflucht² + Vdiff²)

V = Sqrt(10113² + 2706²) = 10469 m/s.

Wir addieren nun 1 km/s und sind 11469 m/s schnell.

Doch was bleibt übrig? Nun dazu drehen wir die Formel um:

Vadd = Sqrt(V²-Vflucht²)

und wir erhalten 5409 m/s. Vorher waren es noch 2709 m/s. Wir haben also anstatt 1 km/s etwa 2.7 km/s hinzugewonnen. Beim Addieren von 2 km/s ist die resultierende Geschwindigkeit 7239 m/s, also ein Gewinn von 4.5 km/s anstatt 2 km/s. Praktisch wurde dies bislang noch nie ausgenutzt, Es wäre jedoch eine Option für die Zukunft um Bahnen zu ändern.

Referenzen:

Gary Flandro:  "Fast Reconnaissance Missions To The Outer Solar System Using Energy Derived From The Gravitational Field Of Jupiter".

Michael Minovitch -Gravity Assist Home Page



© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.
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