Gibt es eine optimale Ausströmgeschwindigkeit für Ionentriebwerke?

Die Frage klingt paradox, aber sie ist nicht unbegründet. Fangen wir aber mal mit den chemischen Antrieben an. Dort gilt recht einfach: Je höher der spezifische Impuls desto besser. Nur mit LOX/LH2 können wir überhaupt mit einer stufe einen Orbit erreichen. Bei LOX/LH2 erreicht man mit zwei Stufen rund 7-8% Nutzlast, mit LOX/RP-1 trotz günstiger Strukturfaktoren nur etwa 3,3%.

Ionentriebwerke haben einen zehnmal höheren spezifischen Impuls. Doch auch hier gilt: je höher er ist, desto weniger Treibstoff braucht man. Da durch die geringen Schubkräfte der Geschwindigkeitsbedarf aber höher ist sollte man auch hier auf eine hohe Ausströmgeschwindigkeit setzen.

Praktisch hat man heute mit Ionentriebwerken rund 50 km/s erreicht. Theoretisch kann die Ausströmgeschwindigkeit fast Lichtgeschwindigkeit erreichen, praktisch scheinen heute 200 km/s erreichbar (man benötigt eine sehr hohe Spannung für hohe Geschwindigkeiten, diese muss man über sehr lange Zeit zuverlässig erzeugen können und auch das Triebwerk  wird größer bei hoher Ausstromgeschwindigkeit, das limitiert den praktischen Einsatz).

Warum sollte man also nicht die 200 km/s anstreben, ja zumindest die 50 km/s die heute erprobt sind (es gibt auch Triebwerke die nur 10-20 km/s erreichen). Nun anders als bei chemischen Treibstoffen muss man die Energie erst aufwenden und diese Fundamentgleichung zeigt die Problematik:

c = w * 2L / S

c: Ausströmgeschwindigkeit in m/s
w: Wirkungsgrad (0…1)
L: Leistung in Watt
S: Schub in N

Oder formulieren sie mal auf den Schub um:

S = w*2L / c

Hoher Schub und Ausströmgechwindigkeit schließen sich also gegenseitig aus. Der Schub ist aber auch wichtig, denn wir haben eine nur begrenzte Zeit. Wenn wir sagen wir mal 100 Tage Zeit haben um eine bestimmte Geschwindigkeit zu erreichen, wird bei doppelt so hoher Ausströmgeschwindigkeit der Schub halbiert sein. Solange nicht so viel Treibstoff benötigt wird, dass die Startmasse sich bei hoher Ausströmgeschwindigkeit halbiert, wird man eine kleinere Nutzlast starten können.

Oder man sieht es von der Warte der Energieversorgung, denn da gilt: E=1/2*mv² ’ für eine vorgegebene Treibstoffmenge und Ausströmgeschwindigkeit brauche ich quadratisch mehr Energie, die ja eine Stromversorgung liefern muss, und die wiegt heute noch mehr als Treibstoff und Triebwerke. Es reduziert sich zwar auch der Treibstoffbedarf, doch dies kann nicht den quadratischen Anstieg des Energiebedarfs kompensieren.

Ein Praktisches Beispiel:

Eine Raumsonde soll zum Mars fliegen, dort in eine Umlaufbahn einschwenken, Bodenproben von einem Lander aufnehmen und zurück zur Erde fliegen. Berücksichtigt soll nur die Geschwindigkeit über der Fluchtgeschwindigkeit der Erde sein, dass heißt wir starten nicht von einer niedrigen Erdumlaufbahn aus und bremsen nicht wieder in eine ab. Das entspricht dem Vorgehen das heute wohl am wahrscheinlichsten ist.

Der Geschwindigkeitsbedarf soll dafür 10 km/s betragen. Wir genehmigen uns insgesamt 10.000 Stunden Betriebszeit (das ist die Testzeit einiger eingesetzter Triebwerke) und wir setzen normale Solararrays mit 80 W/kg ein. Der Antrieb selbst soll rund 100 kg wiegen und die Tanks für das Xenon ein Fünftel des Inhalts. Wie sieht nun die Rechnung für eine konstante Startmasse bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten aus?

Ausströmgeschwindigkeit Schub Strombedarf Nutzlast
10.000 m/s 0,35 N 2.500 W 340 kg
15.000 m/s 0,41 N 4.900 W 660 kg
20.000 m/s 0,45 N 6.700 W 860 kg
25.000 m/s 0,46 N 8.300 W 990 kg
30.000 m/s 0,50 N 10.800 W 1.050 kg
35.000 m/s 0,50 N 12.500 W 1.120 kg
40.000 m/s 0,5 N 14.300 W 1.160 kg
45.000 m/s 0,50 N 16.400 W 1.180 kg
50.000 m/s 0,5 N 19.400 W 1.200 kg
75.000 m/s 0,5 N 30.000 W 1.170 kg
100.000 m/s 0,55 N 40.000 W 1.100 kg
150.000 m/s 0,55 N 60.000 W 900 kg
200.000 m/s 0,55 N 80.000 W 700 kg

Der Effekt ist deutlich zu sehen: Die Nutzlast nimmt zuerst stark zu, dann immer weniger. Sie nimmt dann wieder ab, weil die Stromversorgung immer mehr wiegt. Hier wäre die ideale Geschwindigkeit bei ungefähr 55.000 bis 60.000 m/s.

In der Literatur findet man den Therm

copt = Sqrt(2* t / 1000 * a0) [km/s]

mit

copt: optimale Ausströmgeschwindigkeit in m/s

t: gesamte Antriebsdauer in s

a0: Koeffizient aus Sondengewicht in kg und Leistung in kW: a0 = Sondengewicht [kg]/ Leistung [kW]

Da wie die Stromversorgung laufend anpassen, ist dieser jedoch nur bedingt anwendbar (die Startmasse von 2 t bleibt gleich, jedoch die Stromversorgung beträgt zwischen 2,5 und 80 kW). Bei 200 m/s erhalten wie eine copt von 53 km/s, bei 50 km/s eine von 26,4 km/s und bei 10 km/s eine von 9,4 km/s.

Was klar ist, ist das Optimum auch von der Stromversorgung abhängig ist: Bei 10 km/s macht diese nur 32 kg aus, bei 200 km/s dagegen 1000 kg. Kann man die Leistung pro Kilogramm Masse erhöhen, so verschiebt sich das Optimum weiter nach rechts.

Man erkennt aber auch, dass bei den heutigen Solargeneratoren die 60-80 W/kg wiegen, die heutigen Triebwerke mit maximalen spezifischen Impulsen von 30-45 km/s nahe am Optimum sind.

Es ist auch klar, dass wenn ich die Forderung nach hohem Schub habe, ich einen kleineren spezifischen Impuls anstreben sollte. Das kann z.B. der Fall sein wenn das Ionentriebwerk Bestandteil des Systems für Lageänderungen oder Bahnänderungen eines Kommunikationssatelliten ist, weil dieser ja möglichst  ohne längere Unterbrechung einsatzbereit sein sollte. Selbst wenn es den betrieb nicht beeinflusst, so ist der Stromverbauch doch zu berücksichtigen – höherer spezifischer Impuls, höherer Stromverbrauch. Da wir bei Kommunikationssatelliten aber nur von einer über die Lebensdauer akkumulierten Gesamtänderung von 1-2 km/s reden, ist klar, dass wir hier keine sehr effizienten Triebwerke brauchen.

Zuletzt noch eine Bemerkung zum Schub: Dieser steigt in der Tabelle erst steil, dann langsam an. Der Grund ist, dass bei viel Treibstoff die mittlere Masse, die bewegt wird kleiner ist. Bei 10 km/s entfallen 1250 kg auf den Treibstoff und die mittlere Masse (also mit 50% des Treibstoffs) ist so geringer als wenn es nur 100 kg wie bei 200 km/s sind. Bei 0% Treibstoff beträgt der benötigte Schub 0,5555 N.

5 thoughts on “Gibt es eine optimale Ausströmgeschwindigkeit für Ionentriebwerke?

  1. Irgendwie kommt mir diese Antiproportionalität von Schub und Ausströmgeschwindigkeit etwas seltsam vor. Eigentlich ist das doch eher proportional. Eine höhere Ausströmgeschwindigkeit ergibt einen höheren Schub.
    Gut bei festgelegter Leistung mag das so sein. Wenn mein Triebwerk 10W hat dann kann ich mir überlegen ob ich diese Leistung in Ausströmgeschwindigkeit oder Schub stecke (Wobei eigentlich der Schub von der Ausströmgeschwindigkeit abhängig ist). Vielleicht wäre hier ein spezifischer Schub pro Watt oder sowas besser.

  2. Es steht aber immer die Leistung fest. Strom in unendlicher Menge gibts auch nicht im Weltall. Spezifischer Impuls pro Watt gibts nicht, denn wie die Formel zeigt kann man ja jeden beliebigen spezifischen Impuls erreichen wenn man mit dem Schub entsprechend runter geht. Es gibt auch in der Praxis zwischen 10 und 45.000 m/s Ausströmgeschwindigkeit bei ungefähr gleichem Stromverbrauch, nur variiert der Schub.

  3. Dann steht ja VASIMR doch ganz gut da. Folgende Daten gibt es für das VX/VF-200
    RF Power: 200 kW
    Thrust: 5.7 N
    Exhaust speed: 50 km/s
    Thruster efficiency: 72 % (exhaust power divided by coupled RF power)
    Das Aggregat wiegt laut Wiki 300kg. Selbst mit Pufferakkus scheint die Leistung ganz nett zu sein. Gutes Isp/Schub-Verhältnis für verträgliche Transitzeiten soweit ich das einschätzen kann….oder muss man mich da korrigieren? 🙂

  4. @Atlan:
    200 kW sind natürlich nicht gerade ohne, übliche Tk-Satelliten liegen derzeit typischerweise bei einem Zehntel des Wertes. Aber machbar erscheinen 200 kW: Wenn man Solararrays mit 60 W/kg einsetzt, wiegen diese 3,3 Tonnen.

    @Bernd:
    Hast Du einkalkuliert, dass beim Mars die Sonnenstrahlung geringer ist?

  5. Also ich bin nicht auf VASIMIR eingegangen, weil das ja ein Grundlagen-Artikel ist. Ich beziehe mich ja auch sonst nicht auf ein Triebwerk.

    Wegen der Vereinfachung habe ich bei Mars keine Extra Berechnung gemacht. Da der Aufwand für alle Konfigurationen der gleich ist, ist das verzeihbar, es würde dann eben wahrscheinlich nicht 420 Tage Betriebsdauer sein, sondern 500 oder 600. Der Wert war nur fix nach der garantierten Lebensdauer von Triebwerken (10.000 Stunden) gesetzt. Es gibt aber auch welche die haben schon 15.000 Stunden und dann gehts auch mit 600 Tagen.

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