Die drei kosmischen Geschwindigkeiten

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Mein letzter Beitrag brachte mich auf den heutigen Blog, über den ich trotz nun vieler Jahre nichts geschrieben habe, die drei kosmischen Geschwindigkeiten. Ich gebe zu, von denen hört man als Raumfahrtanfänger was, später sind sie aber nicht mehr so relevant, doch dazu später mehr.

Die drei kosmischen Geschwindigkeiten sind:

  1. Die erste kosmische Geschwindigkeit ist die eine Erdumlaufbahn zu erreichen.
  2. Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist die, die Erdgravitation zu verlassen.
  3. Dir dritte kosmische Geschwindigkeit ist die, die Gravitation der Sonne zu überwinden.

Man könnte, da man ja weiß das die Sonne sich in einer Galaxie, der Milchstraße befindet, auch noch eine vierte kosmische Geschwindigkeit definieren, um die Milchstraße zu verlassen und da die Milchstraße Bestandteil einer Galaxiengruppe des lokalen Haufens ist, noch eine weitere und viele dieser Gruppen bilden dann einen Superhaufen – man sieht man kann das noch fortsetzen, auch dazu später mehr. Das sind aber keine offiziellen kosmischen Geschwindigkeiten und sie sind in absehbarer Zukunft auch nicht erreichbar, anders als die ersten drei.

Die erste kosmische Geschwindigkeit

Um in einen kreisförmigen Erdorbit zu gelangen, muss man die Gravitationskraft durch eine gleich große Zentrifugalkraft kompensieren. Die Zentrifugalkraft entsteht, wenn man die Erde schnell genug umkreist, das sie mit steigender Rotationsgeschwindigkeit größer wird weiß jeder, der mal an einem Seil etwas geschwungen hat und dies immer schneller tut – das Seil zieht zunehmend stärker.

Mathematisch kann man die Geschwindigkeit wie folgt berechnen:

v1 = Quadratwurzel(GM/Orbithöhe)

GM ist das Produkt aus Gravitationskonstante und Erdmasse (etwa 3,98×1014).

Die Orbithöhe muss man in Metern angeben, die Geschwindigkeit ist in Metern pro Sekunde. Oft wird sie mit 7800 m/s angegeben, das entspricht einer Orbithöhe von etwa 176 km. Es ist klar, dass diese Geschwindigkeit variabel ist, an der Erdoberfläche liegt sie bei 7910 m/s und sie sinkt mit steigender Entfernung ab. Im geostationären Orbit in knapp 36.000 km Höhe liegt sie bei 3,071 km/s und in der Entfernung des Mondes bei knapp über 1 km/s. Diese Nichtkonstanz gilt auch für alle anderen kosmischen Geschwindigkeiten.

Mann kann den Energieaufwand (physikalisch eine Arbeit) für erste kosmische Geschwindigkeit aber nicht verkleinern, indem man einen höheren Orbit anstrebt. Denn um in einem Gravitationsfeld etwas anzuheben, also auch eine Rakete, die erst mal die Orbithöhe erreichen muss, muss man Arbeit aufwenden. Die Arbeit wird wieder frei, wenn die Ursprungshöhe erreicht wird. Da weiß jeder, der mal etwas nach oben geschleppt oder von dort fallen gelassen hat. Selbst auf dem Erdboden hat ein Körper noch Hubarbeit, wie man leicht beim Fallen eines Steins in ein Loch beobachten kann. Erst beim Erdmittelpunkt angekommen, gibt es keine Hubarbeit mehr.

Diese Hubarbeit ist aber größer, wie die Energie die man in Form der Zentrifugalgeschwindigkeit einspart. Es bringt also nichts einen höheren Orbit anzustreben, zumindest nicht, wenn man dadurch die Geschwindigkeit reduzieren will.

In der Praxis spielt die erste kosmische Geschwindigkeit keine Rolle, weil:

  • viele Umlaufbahnen elliptisch sind – die Formel gilt aber nur für kreisförmige Orbits. Bei elliptischen Orbits ist die Geschwindigkeit im planetennnächsten Punkt höher als die Kreisgeschwindigkeit und im fernsten Punkt niedriger.
  • Die Erde selbst rotiert – wie viel davon aber von der kosmischen Geschwindigkeit abgezogen wird hängt mit dem Winkel der Bahn zur Äquatorebene ab. Bei einer polaren Bahn ist der Anteil Null, bei jedem anderen Winkel auch von der geografischen Breite des Startorts abhängig.
  • Nicht zuletzt hat jede Rakete Aufstiegsverluste, die von der technischen Auslegung der Rakete abhängig sind und die zwischen einzelnen Typen stark variieren.

Die zweite kosmische Geschwindigkeit

Bei einer Kreisbahn halten sich wie geschrieben Erdgravitationskraft und Zentrifugalkraft die Waage. Dadurch bleibt der Abstand zur Erdoberfläche konstant. Überwiegt die Zentrifugalkraft, so entfernt man sich von der Erde und es gibt eine elliptische Umlaufbahn. Steigert man die Zentrifugalkraft noch weiter, so wird, wenn man genau die gleiche Energie die in der Erdgravitation steckt, hinzunimmt diese komplett kompensiert und man verlässt die Erde für immer. Die Bahn wird zu einer Parabel, bei einer noch höheren Geschwindigkeit zu einer Hyperbel.

Da Energie und Geschwindigkeit nach der Physik über die Formel:

E = ½ * M * v²

zusammenhängen, Masse und Bruch (½) konstant sind kann man die zweite kosmische Geschwindigkeit leicht aus der ersten Geschwindigkeit errechnen:

v2 = Quadratwurzel(2)*v1 oder

v2 = Quadratwurzel(2*GM/Orbithöhe)

Es gibt dies

selbe Abhängigkeit wie bei der ersten kosmischen Geschwindigkeit von der Orbithöhe. In einem erdnahen Orbit beträgt sie etwa 11 km/s. Im GEO nur noch 4,5 km/s und in Mondentfernung 1,5 km/s.

Bei elliptischen Umlaufbahnen muss man je nach erdfernstem Punkt deutlich weniger aufbringen. Sind es im erdnahen Orbit 3,2 km/s mehr, so sind es bei einer GTO-Transferbahn, wo man im erdnächsten Punkt schon 10,2 km/s Geschwindigkeit hat, nur noch 0,8 km/s.

Auch die zweite kosmische Geschwindigkeit ist selten von praktischer Bedeutung. Denn nach der Definition hat man beim Verlassen der Erde mit der Fluchtgeschwindigkeit im Unendlichen keine Energie mehr und damit auch keine Geschwindigkeit. Das bedeutet, man wird immer langsamer. Bei genauem Erreichen der ersten kosmischen Geschwindigkeit braucht man 42 Tage um 1 Million km Distanz zu erreichen – die Geschwindigkeit beträgt dann noch 70 m/s. Für die zehnfache Distanz, also 10 Millionen km benötigt man dann aber nicht 420 Tage, sondern 1278 und die Geschwindigkeit sinkt in dieser Distanz auf 7 m/s. Man wird also immer langsamer. Vor allem aber will man ja irgendwo hin. Zum Mond, zu den Nachbarplaneten, zu Asteroiden oder Kometen. Für alle diese Ziele gibt es eine minimale Geschwindigkeit, (die mit Ausnahme des Mondes) immer höher als die Fluchtgeschwindigkeit ist, für die Venus um rund 400 m/s höher, für den Mars 600 m/s mehr.

Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist aber noch aus einem anderen Grund nur eine hypothetische – die Erde befindet sich nicht alleine im Weltall. Sie umkreist die Sonne, welche die 300.000-fache Masse hat. Zwar ist sie 150 Millionen km von der Sonne entfernt doch es gibt eine Grenze, ab der die Sonnengravitation die Erdgravitation überwiegt. Überschreitet eine Sonde diese Grenze, so schlägt sie eine Sonnenumlaufbahn ein, abhängig von ihrer momentanen Geschwindigkeit und Richtung. Bei der Erde ist das in 1,5 Millionen km Distanz der Fall. Diese Entfernung nennt man Hill-Sphäre.

Die dritte kosmische Geschwindigkeit

Jede Sonde, die mehr als die Fluchtgeschwindigkeit hat, verlässt die Erde mit einer Überschussgeschwindigkeit. Es resultiert eine Bahn, die die Erdbahn schneidet. Ist der Geschwindigkeitsvektor in Richtung des Geschwindigkeitsvektors der Erdbahn so resultiert eine Ellipse, die mit steigender verbliebener Geschwindigkeit immer weiter wird. Irgendwann wird auch diese Bahn hyperbolisch und die Sonde verlässt das Sonnensystem. Die dazu nötige Geschwindigkeit ist die dritte kosmische Geschwindigkeit.

Die Erde umkreist die Sonne mit einer Geschwindigkeit von etwa 29,8 km/s. Analog zur zweiten kosmischen Geschwindigkeit kann man errechnen das man für das Verlassen des Sonnensystems dann 42,1 km/s oder 12,3 km/s mehr benötigt. Dies gilt aber nur für den Fall, dass die Geschwindigkeitsänderung nach Verlassen der Hill-Sphäre in einer Sonnenumlaufbahn erfolgt. Ist dies nicht der Fall sondern schon beim Start, so muss man berücksichtigen, das eine Geschwindigkeitsänderung nahe einem Gravitationszentrum eine höhere Überschussgeschwindigkeit erzeugt. Sprich: Beschleunigt man gleich bei Verlassen der Erde über die Fluchtgeschwindigkeit so hat man bei Erreichen der Hillsphäre weitaus mehr Restgeschwindigkeit als die Überschussgeschwindigkeit, die man anfangs addierte. Berechenbar ist die für diesen Fall benötigte dritte kosmische Geschwindigkeit nach:

v3 = Quadratwurzel(vdiff² + v2²).

vdiff ist die Differenz der solaren Fluchtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit der Erde um die Sonne, also obige 12,3 km/s.

v2 ist die lokale Fluchtgeschwindigkeit der Erde, in einer erdnahen Bahn etwa 11 km/s.

So erhält man als dritte kosmische Geschwindigkeit, wenn man diese beim Verlassen der Erde aufbringt, etwa 16,6 km/s. Das ist natürlich günstiger als die Energie nacheinander aufzubringen (12,3 + 11 km/s = 23,3 km/s). Bisher hat keine Raumsonde die dritte kosmische Geschwindigkeit beim Start erreicht. Die bisher schnellste war New Horizons die mit 16,2 km/s die Erde verlies. Durch ein Swing-By am Jupiter haben bisher fünf Sonden – Pioneer 10+11, Voyager 1+2 und eben New Horizons die dritte kosmische Geschwindigkeit aber nach dem Start erreicht.

Vierte und weitere kosmische Geschwindigkeiten

Wenn die Sonde dann die Sonne verlässt, hat sie ebenfalls noch eine Restgeschwindigkeit und sie schlägt eine Bahn um das Milchstraßenzentrum ein. Die Erde befindet sich rund 25.000 bis 28.000 Lichtjahre vom Zentrum entfernt und braucht für einen Umlauf rund 220 Millionen Jahre, war zum letzten Mal also in dieser Position, als es auf der Erde noch Dinosaurier gab. Schon die Bestimmung der Rotationsgeschwindigkeit der Sonne ist schwierig. Lange nahm man eine Geschwindigkeit von 220 km/s an, neuere Messungen deuten auf 267 km/s hin. Der Unterschied zum Sonnensystem ist, das die Masse der Milchstraße nicht in einem Punkt konzentriert ist. Bis zum Zentrum aber auch in der entgegengesetzten Richtung – die Milchstraße hat einen Radius von etwa 50.000 Lichtjahren, gibt es Sterne und Gas. Ihre Gravitationskräfte addieren sich und heben sich auch gegenseitig auf. Daneben ist dies nicht statisch – Sterne weiter außen umlaufen das Zentrum langsamer und Sterne innen schneller, und damit ändern sich auch die Abstände. Eine Fluchtgeschwindigkeit aus der Milchstraße – nennen wir sie mal vierte kosmische Geschwindigkeit, ist daher schwer zu berechnen.

Würde eine Zivilisation dies trotzdem mal durchführen, so bräuchte sie viel Geduld. Selbst mit Lichtgeschwindigkeit würde es Zehntausende von Jahren brauchen, um die Galaxis zu verlassen und nochmals so lange, bis ein Fotos oder ein Funksignal wieder beim Startort ankäme.

Galaxien bilden Gruppen. Unsere Galaxie umkreist eine Rohe von Zwerggalaxien. Mit zwei weiteren größeren Galaxien bildet sie die lokale Gruppe. Diese Gruppe hat einen Durchmesser von 5 bis 8 Millionen Lichtjahren. Auch diese Galaxien ziehen sich an und um die Gruppe zu verlassen, muss man deren lokale Fluchtgeschwindigkeit überwinden, die aber wegen der Bewegung der Mitglieder genauso wenig präzise berechenbar ist wie die Fluchtgeschwindigkeit der Milchstraße. Alleine Andromeda und Milchstraße, die bleien größten Galaxien, bewegen sich mit 110 bis 120 km/s aufeinander zu und werden in 4 bis 10 Milliarden Jahren zusammenstoßen.

Diese lokale Gruppe bildet zusammen mit anderen Galaxien einen Galaxienhaufen, die dann Hunderte, manchmal sogar Tausende von Galaxien umfassen können. Sie bilden die größte Einheit im Universum die durch die Gravitation zusammengebunden sind. Zwischen diesen Galaxienhaufen gibt es dagegen Regionen in denen es gar keine beobachtbare leuchtende Materie (Sterne, Galaxien) gibt. Ein Galaxienhaufen hat einen Durchmesser von etwa 10 Millionen Lichtjahren und die Galaxien bewegen sich mit 500 bis 1000 km/s relativ zueinander. So benötigt eine Zivilisation viel Geduld, wenn sie eine Sonde aus ihrem Galaxienhaufen ins absolute Nichts entsenden will, denn das dauert so selbst mit Lichtgeschwindigkeit Millionen von Jahren.

Die Bedeutung der kosmischen Geschwindigkeiten

Ich habe keine Quelle gefunden, wer diese Benennung bzw. Definition erstmals durchführte, doch weil sie in der Praxis ohne Relevanz sind – für einen Erdorbit addieren bzw. subtrahieren sich weitere Größen, die von dem Startwinkel, geografischen Ort, Aufstiegsbahn und Technik der Rakete abhängen, die beiden anderen Geschwindigkeiten haben für konkrete Missionen keinerlei praktische Bedeutung – denke ich ist die Definition sehr alt, wahrscheinlich vor Beginn der Raumfahrt getroffen worden. Ich tippe auf einen der beiden Theoretiker der Raumfahrt, Ziolkowski und Oberth als Urheber. So ist es zwar schön zu wissen, welche Bedeutung sie haben und wie man sie berechnet, mehr aber auch nicht.

One thought on “Die drei kosmischen Geschwindigkeiten

  1. Heute zu eruieren, wer als erster den Begriff kosmische Geschwindigkeit in seinen Publikationen erwähnte, ist sehr schwierig. In diesen Zusammenhang sind aber die Etappen, die zu dieser Schlussfolgerung führten, sehr interessant.

    Im Jahr 1895 wurde in Moskau ein neues Science-Fiction-Werk von Konstantin Ziolkowski „Träume von der Erde und dem Himmel und die Auswirkungen der universellen Gravitation“ veröffentlicht. In dieser Arbeit gibt er zum ersten Mal die Größe der Geschwindigkeit an, die dem Körper verliehen werden muss, damit er sich von der Erde löst – 8 km / s. Später wurde diese Größe als die erste kosmische Geschwindigkeit genannt.

    Am 10. Mai 1897 leitete Ziolkowski eine Formel ab, die die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit einer Rakete, der Geschwindigkeit des Gasflusses aus der Düse, der Masse der Rakete und der Masse des Triebstoffes herstellte. Mit diesen historischen Datum festigte Ziolkowski, ohne es zu wissen, seine Vorrangstellung in Fragen der wissenschaftlichen Weltraumforschung.

    In dem Artikel vom 1903, „Erkundung des Weltraums mit Strahlgeräten“, begründete er zunächst, dass eine Rakete ein Apparat für erfolgreiche Weltraumflüge werden könnte. Der Wissenschaftler entwickelte auch das Konzept eines Flüssigtreibstoff-Raketentriebwerks. Insbesondere ermittelte er die Geschwindigkeit, mit der das Raumfahrzeug in das Sonnensystem eindringt (also die zweite Raumgeschwindigkeit).

    Im Jahr 1929 veröffentlichte Ziolkowski ein neues Buch – „Space Rocket Trains“. Ziolkowski „Raketenzüge“ sind Raketenkomplexe, die zu Boden fallen, wenn der Treibstoff aufgebraucht ist (Raketen mit vielen Stufen). Der Wissenschaftler schlug vor, dass dank dieses Prinzips die Geschwindigkeit des Zuges es ermöglicht, bis zum Abkoppeln der letzten Rakete in den Weltraum befördert zu werden.

    1935 bewies Ziolkowski in seiner Arbeit „Die höchste Geschwindigkeit einer Rakete“, dass es mit dem damaligen Stand der Technik nur mit Hilfe einer mehrstufigen Rakete möglich war, die erste Weltraumgeschwindigkeit zu erreichen. Diese Aussage gilt bis heute, aber Ziolkowski Theorie konnte erst am 20 Juni 1944 in der Praxis getestet werden, als die Deutschen die V-2 starteten, das erste Objekt in der Geschichte, das einen suborbitalen Raumflug durchführte und die Karman Linie durchbrach.

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