- \n
- G ist eine Konstante (6,673×10-11<\/sup> m\u00b3\/kg*s\u00b2)<\/li>\n
- Masse die Masse des Himmelskörpers in Kilogramm dessen Gravitation wirkt (Erde: 5,976×1024<\/sup> kg, Sonne 1,989×1030<\/sup> kg.)<\/li>\n
- Distanz die Distanz zwischen dem Körper in Meter (wichtig: Nicht Kilometer!)<\/li>\n<\/ul>\n
Will man die Umlaufbahn der Erde um die Sonne berechnen, so nimmt man die Masse der Sonne, will man die des Mondes um die Erde berechnen, so die der Erde. Kleiner Fallstrick: Die Gravitation ist eine anziehende Kraft, man muss also noch ein Minus als Vorzeichen vor G setzen. Da sich immer zwei Himmelskörper gegenseitig anziehen wird auch der zweite Beschleunigt, man muss nur die Masse austauschen, also bei Erde-Mond-System einmal die Beschleunigung des Mondes durch die Erde und einmal die Beschleunigung der Erde durch den Mond berechnen.<\/p>\n
Allgemein gilt für ein System aus N Körpern:<\/p>\n
Äußere Schleife I von 1 bis N<\/p>\n
Schleifenbeginn<\/p>\n
Innere Schleife J von 1 bis N<\/p>\n
Schleifenbeginn<\/p>\n
Wenn i<>J<\/p>\n
dannja<\/p>\n
Berechne Gravitationskraft auf Körper[i] mit Masse von Körper[j]<\/p>\n
Summiere Gravitationskraft über alle j<\/p>\n
dannende<\/p>\n
Schleifenende<\/p>\n
Berechne neue Position von Körper[i] anhand der Summe der Gravitationskraft<\/p>\n
Schleifenende<\/p>\n
Es kommt als neues Element nun noch die Positionsberechnung hinzu. Die ist physikalisch so geregelt:<\/p>\n
Jeder Körper hat eine Geschwindigkeit v die man in drei Raumvektoren aufteilen kann, genauso wie er eine Position im Raum (Koordinaten der x,y,z-Achse) einnimmt.<\/p>\n
Die Distanz ist definiert als die Quadratwurzel aus den Quadraten der Positionsunterschiede zwischen den beiden Himmelskörpern<\/p>\n
Distanz = Quadratwurzel aus (Quadrat(Differenz X-koordinaten) + Quadrat(Differenz Y-koordinaten) + Quadrat(Differenz Z-koordinaten))<\/p>\n
Nach den Gesetzen der Physik kann man die Beschleunigung A ebenso in Teilbeschleunigungen entlang der Raumachsen teilen indem man folgenden Ansatz macht:<\/p>\n
Ax = A * Differenz der X-Koordinaten \/ Distanz<\/p>\n
analog das ganze auch für Ay und Az<\/p>\n
Und nach den Gesetzen der Physik erhält man die neue Geschwindigkeit in jeder Raumkoordinate, indem man die Beschleunigung addiert. Wenn man um die Simulation zu beschleunigen nicht 1 Sekunde als Basis nimmt, muss man mit dem Intervall noch multiplizieren:<\/p>\n
Vx = Vx + Ax * Intervall<\/p>\n
Analog für die anderen zwei Raumachsen<\/p>\n
Und die neue Position Px erhält man durch Addition der Geschwindigkeit, auch hier multipliziert mit dem Intervall (für physikalisch fortgebildete: Die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung über die Zeit und der Weg das integral der Geschwindigkeit über die Zeit)<\/p>\n
Px = Px + Vx * Intervall<\/p>\n
Es gibt nun nur noch eines zu beachten: Wir müssen mit zwei Positionen arbeiten: Einer Position die der Himmelskörper beim Beginn einer jeder Berechnung über alle Körper hat und eine neue die er als Folge der Kräfte einnimmt. Da sich die Distanz durch die Berechnung ändert, muss man überall die gleiche Ausgangsbasis haben, würde man nur eine Position nehmen so würde sie sich als Folge der Berechnungen verändern. Wir müssen also Am Ende jedes Durchgangs nochmals die Positionen umkopieren.<\/p>\n
Das war es schon: In Pascal mit einem Rekord pro Himmelskörper (Struct für C\/Java Programmierer) sieht dann der Code so aus:<\/p>\n
<\/p>\n
type\r\n<\/span> Himmelskoerper=<\/span>record\r\n<\/span> Ax,Ay,Az : Double;\r\n Vx,Vy,Vz : Double;\r\n Px,Py,Pz : Double;\r\n Px2,Py2,Pz2 : Double;\r\n Radius : Double;\r\n Masse : Double;\r\n <\/span>end<\/span>;\r\n\r\n<\/span>var\r\n<\/span> SSystem : <\/span>array<\/span>of<\/span> Himmelskoerper;\r\n\r\n<\/span>const\r\n<\/span> Grav=-<\/span>6.67384E-11<\/span>;\r\n\r\n<\/span>procedure<\/span> Step(<\/span>const<\/span> T : Double);\r\n\r\n<\/span>var\r\n<\/span> I,J : Nativeint;\r\n Dx,Dy,Dz : Double;\r\n D,D2 : Double;\r\n G : Double;\r\n\r\n<\/span>begin\r\n<\/span>for<\/span> I:=low(SSystem) <\/span>to<\/span> high(SSystem) <\/span>do\r\n<\/span>begin\r\n<\/span> SSystem[I].Ax:=<\/span>0<\/span>;\r\n SSystem[I].Ay:=<\/span>0<\/span>;\r\n SSystem[I].Az:=<\/span>0<\/span>;\r\n <\/span>for<\/span> J:=low(SSystem) <\/span>to<\/span> high(SSystem) <\/span>do\r\n<\/span>begin\r\n<\/span>if<\/span> I<>J <\/span>then\r\n<\/span>begin\r\n<\/span> Dx:=SSystem[I].Px-SSystem[J].Px;\r\n Dy:=SSystem[I].Py-SSystem[J].Py;\r\n Dz:=SSystem[I].Pz-SSystem[J].Pz;\r\n D2:=Sqr(Dx)+Sqr(Dy)+Sqr(Dz);\r\n D:=Sqrt(D2);\r\n G:=(SSystem[J].Masse*Grav)\/D2;\r\n SSystem[I].Ax:=SSystem[I].Ax+(G*Dx\/D);\r\n SSystem[I].Ay:=SSystem[I].Ay+(G*Dy\/D);\r\n SSystem[I].Az:=SSystem[I].Az+(G*Dz\/D);\r\n <\/span>end<\/span>;\r\n <\/span>end<\/span>;\r\n SSystem[I].Vx:=SSystem[I].Vx+(SSystem[I].Ax*T);\r\n SSystem[I].Vy:=SSystem[I].Vy+(SSystem[I].Ay*T);\r\n SSystem[I].Vz:=SSystem[I].Vz+(SSystem[I].Az*T);\r\n SSystem[I].Px2:=SSystem[I].Px+(SSystem[I].Vx*T);\r\n SSystem[I].Py2:=SSystem[I].Py+(SSystem[I].Vy*T);\r\n SSystem[I].Pz2:=SSystem[I].Pz+(SSystem[I].Vz*T);\r\n <\/span>end<\/span>;\r\n <\/span>for<\/span> I:=low(SSystem) <\/span>to<\/span> high(SSystem) <\/span>do\r\n<\/span>begin\r\n<\/span> SSystem[I].Px:=SSystem[I].Px2;\r\n SSystem[I].Py:=SSystem[I].Py2;\r\n SSystem[I].Pz:=SSystem[I].Pz2;\r\n <\/span>end<\/span>;\r\n<\/span>end<\/span>;\r\n\r\n<\/span><\/code><\/pre>\n
\nRadius wird hier nicht benutzt kann aber genutzt werden, um eine Kollision zu erkennen. Ein System beliebiger Art kann nun einfach simuliert werden indem man dem dynamischen Array SSystem Himmelskörper mit den entsprechenden physikalischen Parametern zuweist und in einer Schleife immer wieder die neue Position vermisst und sie plottet. Ich habe hier zwei Grafiken mit einer Berechnung pro Tag und einer Laufzeit von 1 Million Tagen, also rund 3000 Jahren wiedergegeben.<\/p>\n- \n
- Der Blaue Kreis ist die Erde<\/li>\n
- Der Rote Kreis ist Jupiter. Der schwarz eingezeichnete Körper ist ein Asteroid bei Simulationsbeginn in 380 Millionen km Entfernung<\/li>\n
- Fall 1: Er hat eine Geschwindigkeit die 1000 m\/s kleiner als die Kreisbahngeschwindigkeit ist (Das Perihel liegt näher als 380 Millionen km)<\/li>\n
- Fall 2:Er hat eine Geschwindigkeit die 3000 m\/s höher als die Kreisbahngeschwindigkeit ist (Das Perihel liegt höher als 380 Millionen km)<\/li>\n<\/ul>\n
Man sieht in beiden Fällen wie die Gravitation, vor allem von Jupiter, die Bahn verzerrt. Der Effekt wird immer größer je näher der Körper Jupiter bekommt. Da er im zweiten Fall sehr bald die jupiterbahn kreuzt ist es nru eine Frage der Zeit bis er auf Jupiter stürzt oder aus dem Sonnensystem herauskatapultiert wird (3000 Jahre sind in geologischen Maßstäben keine lange Zeit). Auch die Position der Erde schwankt wie man an den etwas dickeren Linien sieht, hier sind es aber nur wenige Millionen Kilometer (1 Pixel = 1 Million km). Wenn jemand so etwas plottet sollte er darauf achten vor dem Plotten die Position der Sonne abzuziehen, da diese auch angezogen wird und sich bewegen wird und damit das ganze System.<\/p>\n
- Masse die Masse des Himmelskörpers in Kilogramm dessen Gravitation wirkt (Erde: 5,976×1024<\/sup> kg, Sonne 1,989×1030<\/sup> kg.)<\/li>\n
![\"\"](\"\/img\/graifik-simulation.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"\/img\/sonnensystem2.png\")
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"