{"id":1261,"date":"2009-06-08T12:10:45","date_gmt":"2009-06-08T10:10:45","guid":{"rendered":"http:\/\/bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=1261"},"modified":"2024-06-28T08:50:02","modified_gmt":"2024-06-28T06:50:02","slug":"der-hyperbolische-exzess","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2009\/06\/08\/der-hyperbolische-exzess\/","title":{"rendered":"Der hyperbolische Exzess"},"content":{"rendered":"
<\/div>\n

<\/path><\/svg><\/i> \"Loading\"<\/p>\n

<\/div>\n

In meiner kleinen Rubrik: „Grundlagen einfach erklärt“ will ich mich mal mit einem Phänomen beschäftigen das eigentlich ganz einfach ist, aber doch von manchen nicht verstanden wird. Unter der Bezeichnung „Hyperbolischer Exzess“. versteht man die Restgeschwindigkeit die übrig bleibt, wenn eine Raumsonde die Erde verlässt (übertragen natürlich auch bei anderen Planeten). Exzess deswegen weil es ein Überschuss ist, und hyperbolisch weil die Flugbahn dafür eine hyperbolische sein muss (Startgeschwindigkeit liegt über der Fluchtgeschwindigkeit).<\/p>\n

Ein Beispiel: Eine Raumsonde verlässt die Erde mit 12 km\/s aus einer niedrigen Erdumlaufbahn bei der die Fluchtgeschwindigkeit 11 km\/s beträgt. Welche Geschwindigkeit hat sie nach Verlassen des Erdgravitationsfeldes?<\/p>\n

Sie meinen 1 km\/s? Dann lesen Sie weiter. Wenn sie 4.8 km\/s meinen, dann können sie nun aufhören zu lesen, denn das ist richtig.<\/p>\n

Warum sind es nicht 1 km\/s (12-11=1)? Weil wir mit Energien rechnen. Hat ein Körper die doppelte Geschwindigkeit so hat er nach E = \u00bd mv\u00b2. die vierfache Energie. Das kennen sie vielleicht auch aus dem Straßenverkehr: Der Bremsweg nimmt quadratisch mit der Geschwindigkeit zu und jemand, der mit 30 km\/h in einem Auto sitzt, hat angesichts Gurt, Airbag und Knautschzone gute Chancen mit wenigen Blessuren wegzukommen, während er einen Aufprall mit 60 km\/h wahrscheinlich nicht überlebt (doppelte Geschwindigkeit = vierfache Aufprallenergie)<\/p>\n

So erklärt sich auch das Paradoxon: Es isst nämlich:<\/p>\n

v3<\/sub> = \u221a (v1<\/sub>\u00b2 – v2<\/sub>\u00b2)<\/p>\n

v1<\/sub>: Geschwindigkeit beim Start<\/p>\n

v2<\/sub>: Fluchtgeschwindigkeit an diesem Punkt<\/p>\n

v2: Resultierende Endgeschwindigkeit nach Verlassen des Himmelskörpers.<\/p>\n

wer Geometrie mag: Es ist auch derselbe Zusammenhang wie bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem v3<\/sub> und v2<\/sub> die Katheten bilden und v1<\/sub> die Hypotenuse. So reichen um zu Venus und Mars zu fliegen (relativ zur Erde etwa 3-4 km\/s) eine Startgeschwindigkeit von 11.4-11.7 km\/s also nur 0.4 bis 0.7 km\/s mehr als die Fluchtgeschwindigkeit. Bei höheren Geschwindigkeiten wird der Vorteil geringer. Um zu Jupiter zu gelangen (v3<\/sub>=8.7 km muss man mit rund 14.2 km\/s starten und um das Sonnensystem zu verlassen (v3=12.3 km\/s) braucht man rund 16.7 km\/s von der Erde aus.<\/p>\n

Neben der Berechnung der Geschwindigkeit bei Verlassen von Himmelskörpern gibt es aber noch einen zweiten Nutzen für dieses Prinzip. Was passiert, wenn ich z.B.. eine Raumsonde zu Jupiter starte und bei passieren des planetennächsten Punktes ein Triebwerk zünde? Dann addiert sich diese Geschwindigkeit zu der der erreichten Geschwindigkeit an diesem Punkt und diese neue Geschwindigkeit ergibt einen viel höheren hyperbolischen Exzess.<\/p>\n

Ein Beispiel: Eine Raumsonde nähert sich mit 7 km\/s Jupiter (v3<\/sub>=7 km\/s) und fliegt bis auf 5000 km an die Wolkenobergrenze heran. Dort beträgt v2<\/sub> =57.6 km\/s. So resultiert eine Geschwindigkeit von 58.0 km\/s. v1<\/sub>=\u221a (57.6\u00b2+7\u00b2). Nun zünden wir einen Raketenantrieb und beschleunigen um 1 km\/s. Welche Geschwindigkeit hat die Raumsonde jetzt? Nun sie beträgt an diesem Punkt 58.0+1.0 = 59 km\/s. Nicht verwunderlich. Aber nach der Formel wird im Unendlichen daraus viel mehr:<\/p>\n

v3<\/sub> = \u221a (v1<\/sub>\u00b2 – v2<\/sub>\u00b2)<\/p>\n

v3 = \u221a (59\u00b2 – 57.6\u00b2) = 12.8 km\/s.<\/p>\n

Das bedeutet: 1 km\/s in der Nähe von Jupiter bedeutet eine Beschleunigung um 5.8 km\/s (relativ zu den 7 km\/s die man ja schon hat). Innerhalb des Sonnensystems ist natürlich die Sonne der massereichste Körper und daher wäre dasselbe Manöver hier am effizientesten. Die Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem beträgt z. B. in 1.5 Millionen km Entfernung 347.5 km\/s. Addiert man dann nur einen weiteren km\/s, so hat man einen Überschuss von 26.8 km\/s erreicht! bei 2 km\/s sind es rund 37.5 km\/s. Das wäre von Nutzen wenn man eine Raumsonde entwerfen will, die möglichst schnell unser Sonnensystem verlässt.<\/p>\n

Wie kommt man aber so nah an die Sonne? Nicht von der erde aus, dazu müsste man nahezu die gesamte Kreisbahngeschwindigkeit von rund 29.8 km\/s vernichten. Dazu nutzt man Jupiter: Er hat das Gravitationspotential eine Raumsonde in die sonne stürzen zu lassen (eine derartige Sonde „Solar Probe“ mit einem Hitzeschutzschild war Ende der neunziger Jahre einmal projektiert. Sie sollte Messungen in der Korona vornehmen. Technisch scheint es also umsetzbar.<\/p>\n

Bislang sollte der hyperbolische Exzess durch eine Triebwerkszündung nur einmal erprobt werden: Für Galileo war auch eine Trajektorie in Gespräch, bei der die Zündung des Triebwerks bei Passage von Io erfolgen sollte. In diesem Falle hätte man das Graviatationspotential von Io ausgenutzt. Das hätte einige Hundert Meter\/s gebracht vergleichen mit einer Zündung in der derselben Distanz. Den gleichen Treibstoffverbrauch erhält man aber auch wenn man noch etwas näher an Jupiter dieses Manöver durchführt und diese Bahn wurde dann genommen.<\/p>\n

Auf der anderen Seite: Das Raumsonden nur wenige Hundert Meter\/s bis etwas über 1 km\/s brauchen um in einen Orbit einzuschwenken – das liegt auch am hyperbolischen Exzess. Für praktische Beispiele der Anwendung und einige Berechnungen lesen sie diesen neueren Artikel<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

<\/div>\n

<\/path><\/svg><\/i> \"Loading\"<\/p>\n

<\/div>\n

In meiner kleinen Rubrik: „Grundlagen einfach erklärt“ will ich mich mal mit einem Phänomen beschäftigen das eigentlich ganz einfach ist, aber doch von manchen nicht verstanden wird. Unter der Bezeichnung „Hyperbolischer Exzess“. versteht man die Restgeschwindigkeit die übrig bleibt, wenn eine Raumsonde die Erde verlässt (übertragen natürlich auch bei anderen Planeten). Exzess deswegen weil es […]<\/p>\n","protected":false},"author":169,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[3919,3920,2518],"class_list":["post-1261","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-raumfahrt","tag-energieerhaltungssatz","tag-hyperbolischer-exzess","tag-raumsonde","entry"],"a3_pvc":{"activated":true,"total_views":3807,"today_views":0},"jetpack-related-posts":[{"id":18966,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/09\/27\/raumfahrtgrundlagen-fuer-dummys-bahnen-im-sonnensystem\/","url_meta":{"origin":1261,"position":0},"title":"Raumfahrtgrundlagen für Dummys – Bahnen im Sonnensystem","author":"Bernd Leitenberger","date":"27.09.2026","format":false,"excerpt":"Zeit f\u00fcr eine Fortsetzung des Aufenthalts \u00fcber Bahnen. Diesmal geht es um Bahnen im Sonnensystem. Der eine oder andere wird nun fragen: \u201eH\u00e4h, ich dachte, Bahnen gelten universell, ich muss in den Formeln ja nur die Masse austauschen!\u201c \u2026 und da habt ihr auch vollkommen recht, zumindest, solange es um\u2026","rel":"","context":"In "Grundlagen"","block_context":{"text":"Grundlagen","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/grundlagen\/"},"img":{"alt_text":"","src":"\/img\/mariner9.png","width":350,"height":200,"srcset":"\/img\/mariner9.png 1x, \/img\/mariner9.png 1.5x, \/img\/mariner9.png 2x"},"classes":[]},{"id":18946,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/09\/14\/der-lambertsolver-und-startfenster\/","url_meta":{"origin":1261,"position":1},"title":"Der Lambert\u2011Solver und Startfenster","author":"Bernd Leitenberger","date":"14.09.2026","format":false,"excerpt":"Derzeit baue ich mein Programm \u201eRakete\u201c wieder um. Es begann mal als Berechnungsprogramm f\u00fcr die Nutzlast von Raketen, hat sich inzwischen aber zum universellen Berechnungstool f\u00fcr die Raumfahrt gemausert. Inzwischen nutze ich auch KI daf\u00fcr, nach einigen schlechten Erfahrungen ausschlie\u00dflich Claude. Ein vollkommen neuer Programmteil ist der Lambert\u2011Solver, der damit\u2026","rel":"","context":"In "Grundlagen"","block_context":{"text":"Grundlagen","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/grundlagen\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg05.met.vgwort.de\/na\/82b5c3ce7d584f92b414e17796513b49","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18630,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/04\/08\/am-weitesten-von-der-erde-entfernt\/","url_meta":{"origin":1261,"position":2},"title":"Am weitesten von der Erde entfernt …","author":"Bernd Leitenberger","date":"08.04.2026","format":false,"excerpt":"Seit gestern ist die Orion wieder auf dem Weg zur\u00fcck zur Erde. Wieder kam in \"Heute\" und den Tagesthemen als gaaaaaanz wichtige Sache, das die Mission weiter weg war als bisher jede andere Mission. Rund 6000 km mehr als bei Apollo 13 oder 1,5 % der Maximaldistanz. Das die Leute\u2026","rel":"","context":"In "Raumfahrt"","block_context":{"text":"Raumfahrt","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg06.met.vgwort.de\/na\/1e3b293e46514c4290683dcabb375461","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18956,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/09\/19\/raumfahrtgrundlagen-fuer-dummys-bahnen\/","url_meta":{"origin":1261,"position":3},"title":"Raumfahrtgrundlagen für Dummys \u2013 Bahnen","author":"Bernd Leitenberger","date":"19.09.2026","format":false,"excerpt":"Im heutigen Teil des Grundlagen\u2011Kurses geht es um den Teil, der am meisten mit Mathematik verkn\u00fcpft ist und wo es nur wenige einfache Gleichungen gibt. Aber ich will es trotzdem mal durchkauen und lasse eben das weg, was komplizierte Mathematik ist. Das Gravitationsgesetz Grundlage aller Bahnen ist das Gravitationsgesetz. Wie\u2026","rel":"","context":"In "Grundlagen"","block_context":{"text":"Grundlagen","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/grundlagen\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg05.met.vgwort.de\/na\/5515c72fe9934ef292e7de63c0beae90","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18423,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2025\/10\/04\/die-schwere-landung-des-starships-auf-dem-mars-2\/","url_meta":{"origin":1261,"position":4},"title":"Die schwere Landung des Starships auf dem Mars (2)","author":"Bernd Leitenberger","date":"04.10.2025","format":false,"excerpt":"Ich m\u00f6chte an meinen Beitrag vor einigen Tagen \u00fcber die Landung des Starships (https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/starship.shtml) auf dem Mars eingehen und sowohl auf einige Kommentare eingehen, wie auch neue Aspekte herausarbeiten. Ich habe inzwischen meine Simulation erweitert und kann einige F\u00e4lle mehr durchrechnen. Doch ich will auch vermitteln, dass man zu einer\u2026","rel":"","context":"In "Raumfahrt"","block_context":{"text":"Raumfahrt","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg01.met.vgwort.de\/na\/34af58916c19453fae3b655602c04a41","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":13317,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2018\/04\/04\/die-aufklaerung-des-aprilscherzes\/","url_meta":{"origin":1261,"position":5},"title":"Die Aufklärung des Aprilscherzes","author":"Bernd Leitenberger","date":"04.04.2018","format":false,"excerpt":"So, nun komme ich wieder mal zu einem Blog. Derzeit arbeite ich noch flei\u00dfig an der Aufstiegssimulation, nun vor allem im Pflegen der alten Daten. Rund 200 Tr\u00e4ger wollen schlie\u00dflich erg\u00e4nzt werden. Anscheinend hat es keiner gemerkt: Der letzte Blog war ein Aprilscherz. Nat\u00fcrlich w\u00fcrde unsere Regierung nie auf seinen\u2026","rel":"","context":"In "SpaceX"","block_context":{"text":"SpaceX","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/spacex\/"},"img":{"alt_text":"","src":"\/img\/sapcex-falcons.jpg","width":350,"height":200,"srcset":"\/img\/sapcex-falcons.jpg 1x, \/img\/sapcex-falcons.jpg 1.5x, \/img\/sapcex-falcons.jpg 2x"},"classes":[]}],"jetpack_sharing_enabled":true,"amp_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1261","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/169"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1261"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1261\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1261"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1261"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1261"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}