{"id":13669,"date":"2018-12-25T17:43:26","date_gmt":"2018-12-25T16:43:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=13669"},"modified":"2018-12-25T17:43:26","modified_gmt":"2018-12-25T16:43:26","slug":"schnell-und-langsam-zum-mond","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2018\/12\/25\/schnell-und-langsam-zum-mond\/","title":{"rendered":"Schnell und langsam zum Mond"},"content":{"rendered":"

Nein, heute gibt es keinen weihnachtlichen Blog. Ich bin alleine und da hat Weihnachten nicht die Bedeutung wie für andere, die Familie haben. Aber Siegfried von Marquard. Dauer-Troll auf verschiedenen Webseiten hat mir heute ein Steilvorlage für ein Thema geliefert. Er hat mal wieder versucht bei mir einen Kommentar zu hinterlassen, ist bei mir aber gesperrt, sodass er nur bei mir zur Vorlage landete. Diesmal hat er sich selbst übertroffen. Ich zitiere mal:\"\"<\/p>\n

\u201eInnerhalb von ca. 8 Tagen gelangt man nicht vom Mond und zurück zur Erde. Dazu sind astrophysikalisch gesehen mindest … Mit dem 3. Keplerschen Gesetz, wonach sich die Quadrate der Radien der Flugbahnen\/Ellipsen, wie die Kuben der Umlaufzeiten verhalten (r1\u00b3;r2\u00b3=T1\u00b2:T2\u00b2) gelangt man zu akkurat 28 Tagen, wie die Mondumlaufzeit um die Erde.\u201c<\/em><\/p>\n

Aaaalso damit hat Siegfried Marquard etwas geschafft, was Mathematiker seit zwei Jahrtausenden versuchen \u2013 die Quadratur des Kreises! Eine schnelle Bahn zum Mond ist hyperbolisch, das ist in erster Näherung eine Gerade zwischen Erdmittelpunkt und Mond. Der Mond selbst hat in ebenfalls erster Näherung eine Kreisbahn. Wenn wir also die Bahn vom Erdmittelpunkt zur Mondumlaufbahn mal als \u201eRadius\u201c bezeichnen und die Mondumlaufbahn als \u201eKreis\u201c dann hat Siegfried Marquard beweisen das gilt:<\/p>\n

Radius = Kreisumfang<\/p>\n

und, da der Kreisumfang ja auch sein soll:<\/p>\n

Kreisumfang = 2 * \u03c0 * Radius<\/p>\n

folgt:<\/p>\n

\u03c0 = 0,5<\/p>\n

Wie Siegfried Marqurd beweisen hat, ist \u03c0 also keine gebrochene rationale Zahl mit unendlichen Dezimalstellen, sondern ein einfacher Bruch.<\/p>\n

Aber damit sind wir beim Thema wie komme ich schnell zum Mond und wie brauche ich wenig Energie?<\/p>\n

Schnell ist relativ einfach. Nach der Vis Viva Gleichung kann man die Geschwindigkeit an jedem Bahnpunkt errechnen, auch hyperbolischen, also nicht geschlossenen Bahnen. Dann just nur die Halbachse negativ.<\/p>\n

V\u00b2 = GM * (2\/r \u2013 1\/a)<\/p>\n

v: Geschwindigkeit<\/p>\n

r: Abstand<\/p>\n

a: Halbachse der Bahn (für Marquard: Warum heißt es Halbachse?, machen sie ihre Berechnung mal mit dem Mond oder einem Satelliten und dem, was sie für die Halbachse halten)<\/p>\n

GM: Produkt aus Masse des Himmelskörpers und der Gravitationskonstante<\/p>\n

Man erkennt leicht, dass wenn man a und GM als konstant ansieht, was ja ohne Korrekturmanöver auch gilt, dass die Geschwindigkeit abnehmen muss, je weiter man sich entfernt.<\/p>\n

Will ich bei gegebenem Abstand r die Geschwindigkeit maximieren, um möglichst schnell zum Mond zu kommen, so muss ich den Term 1\/a verkleinern. Also die Halbachse möglichst groß machen. Wird 1\/a negativ (Hyperbel) so ist der Effekt sogar noch größer.<\/p>\n

Das Berechnen der Flugzeit ist nicht so ganz einfach, für Ellipsen gibt es noch eine einfache Formel, für Hyperbeln muss man iterativ die wahre Anomalie errechnen. Ich habe das mal ausgehend von einer 170 km hohen Kreisbahn berechnet:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Startgeschwindigkeit<\/th>\nAltes Apogäum<\/th>\nEndgeschwindigkeit<\/th>\nZeit bis Mond<\/th>\n<\/tr>\n
11.000 m\/s<\/td>\n958.291,52 km<\/td>\n2.420,9 m\/s<\/td>\n2 d 8 h 27 m 12 s<\/td>\n<\/tr>\n
11.500 m\/s<\/td>\n-89.415,69 km<\/td>\n4.333,1 m\/s<\/td>\n1 d 2 h 17 m 26 s<\/td>\n<\/tr>\n
12.000 m\/s<\/td>\n-48.892,35 km<\/td>\n5.534,9 m\/s<\/td>\n19 h 54 m 23 s<\/td>\n<\/tr>\n
12.500 m\/s<\/td>\n-36.095,23 km<\/td>\n6.552,5 m\/s<\/td>\n16 h 37 m 31 s<\/td>\n<\/tr>\n
13.000 m\/s<\/td>\n-29.833,77 km<\/td>\n7.446,6 m\/s<\/td>\n14 h 30 m 12 s<\/td>\n<\/tr>\n
13.500 m\/s<\/td>\n-26.126,46 km<\/td>\n8.279,7 m\/s<\/td>\n12 h 59 m 13 s<\/td>\n<\/tr>\n
14.000 m\/s<\/td>\n-23.679,58 km<\/td>\n9.066,1 m\/s<\/td>\n11 h 49 m 50 s<\/td>\n<\/tr>\n
14.500 m\/s<\/td>\n-21.946,67 km<\/td>\n9.816,7 m\/s<\/td>\n10 h 54 m 34 s<\/td>\n<\/tr>\n
15.000 m\/s<\/td>\n-20.657,11 km<\/td>\n10.538,1 m\/s<\/td>\n10 h 9 m 8 s<\/td>\n<\/tr>\n
15.500 m\/s<\/td>\n-19.661,58 km<\/td>\n11.236,1 m\/s<\/td>\n9 h 30 m 55 s<\/td>\n<\/tr>\n
16.000 m\/s<\/td>\n-18.870,95 km<\/td>\n11.914,7 m\/s<\/td>\n8 h 58 m 9 s<\/td>\n<\/tr>\n
16.500 m\/s<\/td>\n-18.228,75 km<\/td>\n12.576,6 m\/s<\/td>\n8 h 29 m 39 s<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die erste Bahn ist wie man an dem Apogäum sieht noch elliptisch, alle folgenden sind dann hyperbolisch (negatives Apogäum und damit negative Halbachse). Wie man an der Geschwindigkeit, mit der der Mond erreicht wird, sieht, steigt diese rapide an, entsprechend sinkt auch die Zeitdauer, um den Mond zu erreichen ab. 16,5 km\/s erreichte bisher eine Raumsonde New Horizons. Sie sollte nach achteinhalb Stunden die Mondbahn kreuzen.<\/p>\n

Es geht also (fast) beliebig schnell zum Mond. Das Licht schafft die Strecke in weniger als 4 Sekunden. Der Zeitgewinn wird aber immer kleiner. Damit man einige Vergleichswerte hat: 11,5 km\/s haben typisch Raumsonden zur Venus oder Mars beim Start. 13,5 km\/s wäre die Geschwindigkeit für einen direkten Flug zu Merkur und 14,5 km\/s hatten die Voyagers beim Start. Ulysses war mit knapp 15,4 km\/s unterwegs.<\/p>\n

Doch wenn man nicht auf dem Mond aufschlagen oder vorbeifliegen will, ist man eigentlich an einer möglichst geringen Geschwindigkeit am Mond interessiert. Daher noch mal eine Tabelle, diesmal mit der Differenz zur Fluchtgeschwindigkeit einer Bahn um den Mond:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n<\/colgroup>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Start-V, Offset angepasst<\/th>\nAltes Apogäum<\/th>\nDifferenz Mondflucht<\/th>\nMonddistanz<\/th>\nNeues Perigäum<\/th>\nNeues Apogäum<\/th>\nDifferenz Kreisbahn<\/th>\nPeriode<\/th>\nTeiler zur Mondbahn<\/th>\n<\/tr>\n
10.950,0 m\/s<\/td>\n402.789,71 km<\/td>\n162,4 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n111.507,01 km<\/td>\n1.791.863,08 km<\/td>\n697,2 m\/s<\/td>\n107 d 23 h 35 m 49 s<\/td>\n3,94<\/td>\n<\/tr>\n
10.960,0 m\/s<\/td>\n456.376,77 km<\/td>\n206,2 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n30.289,09 km<\/td>\n678.242,33 km<\/td>\n708,7 m\/s<\/td>\n24 d 22 h 32 m 27 s<\/td>\n1,10<\/td>\n<\/tr>\n
10.970,0 m\/s<\/td>\n525.896,02 km<\/td>\n249,2 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n110,24 km<\/td>\n547.644,43 km<\/td>\n722,4 m\/s<\/td>\n17 d 2 h 1 m 19 s<\/td>\n1,61<\/td>\n<\/tr>\n
10.980,0 m\/s<\/td>\n619.693,32 km<\/td>\n291,6 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n-6.360,79 km<\/td>\n487.060,59 km<\/td>\n738,1 m\/s<\/td>\n14 d 2 h 41 m 27 s<\/td>\n1,94<\/td>\n<\/tr>\n
10.990,0 m\/s<\/td>\n753.176,81 km<\/td>\n333,4 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n-999,64 km<\/td>\n449.216,81 km<\/td>\n755,6 m\/s<\/td>\n12 d 17 h 48 m 18 s<\/td>\n2,15<\/td>\n<\/tr>\n
11.000,0 m\/s<\/td>\n958.291,52 km<\/td>\n374,5 m\/s<\/td>\n100,00 km<\/td>\n11.191,75 km<\/td>\n422.732,77 km<\/td>\n774,6 m\/s<\/td>\n12 d 3 h 41 m 36 s<\/td>\n2,26<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\"\"Man sieht: Die Differenz zur Fluchtgeschwindigkeit und auch um in eine Kreisbahn, (hier in 100 km Abstand) einzuschwenken, steigt mit zunehmender Ankunftsgeschwindigkeit an, und zwar schneller als die Startgeschwindigkeit. Ich erkaufe also eine schnellere Ankunft mit einem höheren Energieaufwand. Im obigen Beispiel sind es zwischen erstem und letztem Tabellenwert 50 m\/s mehr beim Start und 77 m\/s beim Einschwenken in die Umlaufbahn. Dafür braucht die erste Bahn 3 Tage 14 Stunden, die letzte nur noch 2 Tage 9 Stunden.<\/p>\n

Geschwindigkeiten minimieren<\/h3>\n

Schaut man sich die Tabelle der erzeugten Bahnen an, so sieht man neben den meist hyperbolischen Bahnen auch andere. In der Tabelle sowohl welche in denen das Perigäum abgesenkt wurde (negativer Zahlen bedeuten, es liegt unter der Erdoberfläche, wie auch welche in denen es angehoben wurde, z.B. bei 10950 m\/s.<\/p>\n

Das ermöglicht es den Energieaufwand zu minimieren, um in einen Mondorbit einzuschwenken. Die Vorgehensweise ist folgende:<\/p>\n

Die erste Mondtransferbahn ist eine, bei der der Mond die Sonde so umlenkt, das wieder eine Erdumlaufbahn resultiert. Die sollte folgende Eigenschaften haben:<\/p>\n