{"id":13772,"date":"2019-02-26T11:03:21","date_gmt":"2019-02-26T10:03:21","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=13772"},"modified":"2019-02-26T11:05:39","modified_gmt":"2019-02-26T10:05:39","slug":"crossfeeding-physikalischer-hintergrund","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2019\/02\/26\/crossfeeding-physikalischer-hintergrund\/","title":{"rendered":"Crossfeeding \u2013 physikalischer Hintergrund"},"content":{"rendered":"<p>Nachdem Elendssoft sich in seinem <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2019\/02\/23\/probleme-beim-crossfeeding\/\">Blog<\/a> mit den technischen Problemen besch&auml;ftigt hat, will ich mich in meinem Blog mit der Physik dahinter, genauer gesagt der Nutzen nach der Raketengrundgleichung, also nicht der Physik, wie man die Treibstoffe zu den Triebwerken leitet, besch&auml;ftigen.<\/p>\n<p>Alles beginnt wie immer mit der Ziokowski-Gleichung auch Raketengrundgleichung genannt:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/vg06.met.vgwort.de\/na\/e679ae719964468e8cb8d95a43c8e175\" alt=\"\" width=\"1\" height=\"1\" \/><!--more--><\/p>\n<p>v = ln (Vollmasse \/ Brennschlussmasse) * V<sub>gas<\/sub><\/p>\n<ul>\n<li>V ist die Endgeschwindigkeit einer stufe ohne irgendwelche Abz&uuml;ge (Erdgravitation, Luftwiderstand, Steuerungsbewegungen)<\/li>\n<li>V<sub>gas<\/sub> die Geschwindigkeit des Verbrennungsgases bei Verlassen der D&uuml;se<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei Crossfeeding dreht man an dem Verh&auml;ltnis von Vollmasse\/Leermasse. Wenn n Stufen gleichzeitig Brennschluss haben, dann ist dies aufgrund des Logarithmus ung&uuml;nstiger, als wenn sich der Brennschluss in zwei Ereignisse mit unterschiedlichen Quotienten f&uuml;r Voll-\/Brennschlussmasse aufspaltet und deren Ergebnisse addiert werden.<\/p>\n<p>Einfaches Beispiel ohne Bezug zu irgendeiner existierenden Rakete:<\/p>\n<p>Wir haben drei Erststufen mit je 150t Masse voll, 10 t leer und eine Oberstufe und Nutzlast von 50 t Masse.<\/p>\n<p>Haben alle drei Stufen gleichzeitig Brennschluss, so hat der Term ln(Vollmasse\/Brennschlussmasse) folgenden Wert:<\/p>\n<p>ln (3<em>150+50 \/ 3<\/em>10 + 50) = ln(500 \/ 80) =1,833<\/p>\n<p>und bei Abtrennung von zwei Stufen zuerst und dann erst der dritten Stufe errechnet sich Folgendes:<\/p>\n<p>ln (3<em>150+50 \/ 2<\/em>10 + 50+150) = ln(500 \/ 220) =0,821<\/p>\n<p>+<\/p>\n<p>ln (150+50 \/ 10 + 50) = ln(200 \/ 60) =1,200<\/p>\n<p>= 2,021<\/p>\n<p>Die Rechnung bisher ist f&uuml;r eine klassische <b>Serienstufenrakete<\/b>.<\/p>\n<p>Es gibt aber auch noch die Parallelstufenrakete. Eine Parallelstufenrakete z&uuml;ndet alle Stufen gleichzeitig, wie im ersten Beispiel, aber eine Stufe brennt l&auml;nger. Entweder, weil sie mehr Treibstoff hat, so z.B. bei der <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/sojus.shtml\">Sojus<\/a>, man k&ouml;nnte aber auch die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/ariane4.shtml\">Ariane 4<\/a> als Beispiel nehmen. Oder ihr Schub wird gesenkt, sodass der Treibstoff l&auml;nger reicht, so bei der Delta IV Heavy oder <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/falcon-heavy.shtml\">Falcon Heavy<\/a>.<\/p>\n<p>Schauen wir mal ein m&ouml;gliches Beispiel an. Wir nehmen nochmals die obigen Stufen und gehen nun davon aus, dass die zentrale Stufe bei Brennschluss der &auml;u&szlig;eren Stufen noch 40 t Treibstoff hat, 100 t entsprechend verbraucht wurden. Die Teiler sehen dann so aus:<\/p>\n<p>ln (3<em>150+50 \/ 3<\/em>10 + 50) = ln(500 \/ 80) =1,833<\/p>\n<p>und bei Abtrennung von zwei Stufen zuerst und dann erst der dritten Stufe errechnet sich folgendes:<\/p>\n<p>ln (3<em>150+50 \/ 2<\/em>10 + 50+40+10) = ln(500 \/ 120) =1,427<\/p>\n<p>+<\/p>\n<p>ln (50+50 \/ 10 + 50) = ln(100 \/ 60 ) = 0,510<\/p>\n<p>=1,937<\/p>\n<p>Es ist ung&uuml;nstiger als die Serienstufenrakete und g&uuml;nstiger als das gleichzeitige Z&uuml;nden aller Stufen, wie man sieht. Das ist auch ohne Mathematik erkl&auml;rbar. Denn wenn die beiden &auml;u&szlig;eren Booster Brennschluss haben, dann hat die mittlere Stufe schon mehr als <sup>2<\/sup>\/<sub>3<\/sub> des Treibstoffs verbraucht. Sie muss aber die weitestgehend leeren Tanks weiterhin transportieren. Zus&auml;tzlich k&auml;me die Stufe, weil die Masse viel kleiner ist, mit weniger Schub aus. Die Triebwerke stellen dann auch mehr ein Totgewicht dar, als einen Gewinn. Daher sprengte man bei der <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/atlas.shtml\">Atlas<\/a> auch den Triebwerksblock w&auml;hrend des Flugs ab.<\/p>\n<p>Beim Crossfeeding nutzen wir nun die Vorteile einer Parallelstufenrakete und einer Serienstufenrakete. Wir haben im Prinzip das mathematische Verhalten einer Serienstufenrakete, denn der Treibstoff in der Mitte ist ja nicht verbraucht. Man muss daher f&uuml;r diese keine neue Berechnung nach der Raketengrundgleichung durchf&uuml;hren, es gilt die obige. Aber die Mathematik ist eine Sache. Ein Riesenvorteil der Parallelstufenrakete ist, dass der Startschub von allen Stufen kommt. Er ist damit h&ouml;her und somit auch die Startbeschleunigung. Das senkt die Gravitationsverluste, die leider nicht in der Ziolkowski Gleichung vorkommen, sondern f&uuml;r jede Rakete durch numerische Simulation bestimmt werden m&uuml;ssen.<\/p>\n<p>Es gibt weitere Vorteile. So passiert die Rakete schneller die dichte Atmosph&auml;re, das senkt den Luftwiderstand. Sie arbeitet daher auch l&auml;nger bei niedrigem Au&szlig;endruck, das steigert Schub und spezifischen Impuls. Die zweite Stufe arbeitet wahrscheinlich schon im Vakuum, man k&ouml;nnte f&uuml;r sie eine optimierte D&uuml;se w&auml;hlen. Alle diese Vorteile sind aber nur durch eine numerische Simulation herausfindbar. Irgendwelche pauschale Urteile wie \u201eRakete X wird durch Crossfeeding um y % leistungsf&auml;higer\u201c sind daher nicht m&ouml;glich.<\/p>\n<h2 class=\"western\">Einsatzgebiete<\/h2>\n<p>Auch ohne Simulation kann man den Nutzen absch&auml;tzen. Jenseits der Ziolkowski-Gleichung gibt es einen Grundsatz beim Raketenbau: trenne &uuml;berfl&uuml;ssige Masse so fr&uuml;h wie m&ouml;glich ab. W&auml;hrend eine Rakete den Orbit anfliegt, zerrt ja die Erdgravitation best&auml;ndig an ihr und vernichtet einen Teil der aufgebauten Geschwindigkeit. Je schneller man daher Masse abtrennt, die man so nicht auch noch weiter in gr&ouml;&szlig;ere H&ouml;he schleppt, desto g&uuml;nstiger ist das. Desto mehr Beschleunigung hat die Restrakete, desto schneller erreicht sie einen Orbit. Vergleicht man die Endgeschwindigkeiten von Raketen nach der Ziolokowsi-Gleichung mit der Geschwindigkeit, die man f&uuml;r den Orbit braucht, so sieht man das diese zwischen 1000 und 2500 m\/s mehr brauchen, und zwar mit einem eindeutigen Trend: je l&auml;nger die Rakete braucht, um den Orbit zu erreichen, desto h&ouml;her dieser Wert. Am oberen Ende liegen Raketen mit langen Brennzeiten, wie die Ariane 5G, am unteren reine Feststoffraketen.<\/p>\n<p>Wenn man diese Erkenntnis nun mal auf die Kombination von n Stufen anwendet, so findet man Folgendes:<\/p>\n<p>Bei n Parallelstufen mit Crossfeeding, aufgeteilt in 1 Zentralstufe und n-1 Booster<\/p>\n<p>sinkt die Brennzeit der Booster vergleichen zur Serienstufenrakete auf (n-1\/n) x t Sekunden, wenn t die Brennzeit jeder Stufe ist.<\/p>\n<p>Es d&uuml;rfte klar sein, dass dieser Term mit steigendem n immer mehr sich n x t also dem Fall der Serienstufe ann&auml;hert. F&uuml;r die zweite Stufe gibt es keinerlei &Auml;nderung. Bei symmetrischem Crossfeeding ist also n=3 die kleinste m&ouml;gliche Zahl, Bei asymmetrischem Crossfeeding n=2. Je m&uuml;he Booster man hat, desto kleiner wird der Vorteil.<\/p>\n<p>Weiterhin folgt aus der Regel, \u201eSo fr&uuml;h wie m&ouml;glich abtrennen\u201c auch, dass Crossfeeding um so g&uuml;nstiger ist, je l&auml;nger die Brenndauer der Stufe. Das ergibt sich aus der Logik. Nehmen wir zwei Stufen von 150 und 200 s Brenndauer, die Unterschiede in der Brenndauer kommen in der Praxis durch den verwendeten Treibstoff \u2013 je h&ouml;her der spezifische Impuls des Treibstoffs bei gleichem Schub ist, desto l&auml;nger ist die Brenndauer der Stufe.<\/p>\n<p>Ohne Crossfeeding h&auml;tte man bei 3 Stufen und 2\/1 Anordnung:<\/p>\n<p>Fall 1: 150 s + 150 s = 300 s<\/p>\n<p>Fall 2: 200 s + 200 s = 400 s<\/p>\n<p>Mit Crossfeeding:<\/p>\n<p>Fall 1: 100 s + 150 s = 250 s<\/p>\n<p>Fall 2: 133,3 s + 200 s = 333,3 s<\/p>\n<p>Im einem Fall reduziere ich also die Dauer um den Orbit zu erreichen oder die Zeit der Stufentrennung um 50 s, im zweiten dagegen um 66,6 s. Daher ist der Gewinn hier gr&ouml;&szlig;er.<\/p>\n<p>Man wird daher verstehen, warum ich mir bei der Antwort auf <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2019\/02\/23\/probleme-beim-crossfeeding\/#comment-82980\">Sebastians Beispiels<\/a> ausgerechnet die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/delta-3und4.shtml\">Delta IV Heavy<\/a> herausgesucht habe.<\/p>\n<h3 class=\"western\">Die \u201eideale\u201c Rakete<\/h3>\n<p>Die \u201eideale\u201c Rakete kann man so leicht ableiten. Sie hat in dem Sinne keine Stufen, sondern besteht aus sehr vielen Tanks und Triebwerken, die einzeln abgetrennt werden k&ouml;nnen. Alle Triebwerke nutzen alle Tanks, wobei aber immer nur ein Tank entleert wird. Sobald er leer ist, wird sein Totgewicht abgeworfen und auf den n&auml;chsten Tank umgeschaltet.<\/p>\n<p>Bei den Triebwerken ist es komplexer. W&auml;hrend Tanks wirklich nur unn&uuml;tzes Gewicht sind, ist es bei den Triebwerken so, das ihr Schub die Gravitationsverluste senkt. Von der aktuellen Beschleunigung wird ja die Erdbeschleunigung abgezogen und je h&ouml;her die Beschleunigung ist, desto kleiner ist dieser Faktor. Auf der anderen Seite kann man bei kurzen Brennzeiten kaum die Orbith&ouml;he erreichen, der erzielte Orbit ist dann instabil, mit einem zu niedrigen Perig&auml;um. Feststoffrakete, die systembedingt kurze Brennzeiten haben, haben daher eingeschobene Freiflugphasen, w&auml;hrend der Zeit aber durch die Erdgravitation die Geschwindigkeit wieder absinkt. Ich w&uuml;rde die kurzen Brennzeiten die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/thor.shtml\">Thor<\/a>, Titan, Atlas und R-7 hatten als das Minimum ansehen, um einen stabilen Orbit ohne Freiflugphase zu erreichen. Bei denen wurde dieser erst kurz vor Brennschluss erreicht. Das ist eine minimale Brenndauer von etwa 300 s. Man sollte also Triebwerke so abtrennen, dass man auf diese Brenndauer kommt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nachdem Elendssoft sich in seinem Blog mit den technischen Problemen besch&auml;ftigt hat, will ich mich in meinem Blog mit der Physik dahinter, genauer gesagt der Nutzen nach der Raketengrundgleichung, also nicht der Physik, wie man die Treibstoffe zu den Triebwerken leitet, besch&auml;ftigen. Alles beginnt wie immer mit der Ziokowski-Gleichung auch Raketengrundgleichung genannt:<\/p>\n","protected":false},"author":169,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-13772","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-raumfahrt","entry"],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack-related-posts":[{"id":18458,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2025\/10\/23\/die-agena-c-2\/","url_meta":{"origin":13772,"position":0},"title":"Die Agena C","author":"Bernd Leitenberger","date":"23. Oktober 2025","format":false,"excerpt":"Wie ihr sicher bemerkt habt, war es etwas ruhig hier im Blog. Der Grund ist ganz einfach, ich habe mich endlich entschlossen, einen Schlussstrich zu ziehen. Nein, nicht unter dem Blog. 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