{"id":13801,"date":"2019-03-12T10:17:10","date_gmt":"2019-03-12T09:17:10","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=13801"},"modified":"2019-03-12T10:26:31","modified_gmt":"2019-03-12T09:26:31","slug":"gravitationsverluste-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2019\/03\/12\/gravitationsverluste-3\/","title":{"rendered":"Gravitationsverluste"},"content":{"rendered":"

So zum zweiten Mal – ich war gerade an dem Artikel, als vor einer Woche die Crucial SSD sich verabschiedete in die Speicherhölle – ein Grundlagenartikel zur Raumfahrt, der dann auch seinen Weg auf die Website finden wird<\/a>.\"\"\/<\/p>\n

Es geht um die Gravitationsverluste bei der Aufstiegsbahn einer Bahn. Es sind eigentlich zwei Verluste. Die erste Art ist physikalisch gesehen kein Verlust in der Praxis aber doch. Es ist die Hubarbeit im Gravitationsfeld.<\/p>\n

Hubarbeit im Gravitationsfeld<\/h3>\n

Im Gravitationsfeld hat jeder Körper zwei Energieformen. Das eine ist die potentielle Energie, die sich in dem Abstand vom Gravitationszentrum äußert. Je höher die Entfernung ist, desto mehr Arbeit wurde aufgebracht. Das weiß jeder, wer mal einen Berg bestiegen hat oder nur etliche Treppen hoch gelaufen ist.<\/p>\n

Die kinetische Energie ist dagegen bei einem Objekt auf der Erdoberfläche gleich Null. Es bewegt sich ja nicht relativ zum Gravitationszentrum. Für eine Umlaufbahn muss diese dagegen groß sein, die Zentrifugalkraft muss schließlich die Gravitationskraft aufheben. Diese Energieformen sind ineinander umwandelbar. Wer ein Pendel anstößt, wird in den Endpunkten keine Geschwindigkeit haben (kinetische Energie=0) und die höchste potentielle Energie. Am tiefsten Punkt ist die kinetische Energie maximal (höchste Geschwindigkeit) und die potenzielle Energie minimal.<\/p>\n

So geht das auch im Großen. Angenommen, wir feuern eine Kanone senkrecht ab, so hat sie anfangs die höchste Geschwindigkeit, wird immer langsamer, um eine Gipfelhöhe zu erreichen und dort kommt sie kurzzeitig zur Ruhe. Sie hat nun die maximale potentielle Energie. Beim Fallen zurück zur Erde kommt sie dann mit derselben Geschwindigkeit wieder an, mit der sie abgeschossen wurde – zumindest wenn wir den Luftwiderstand außer Acht lassen.<\/p>\n

Ein Satellit muss aber die Lufthülle hinter sich lassen, sonst verglüht er, das heißt man braucht eine Mindesthöhe, die er erreichen muss. Wir könnten nun die Rakete mit einer Kanone hochschießen und erst auf der Gipfelhöhe, der späteren Höhe der Umlaufsbahn zu zünden. Dann wäre die Sache ganz einfach: die Endgeschwindigkeit besteht aus der späteren Orbitgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit, die man braucht, um die Starthöhe zu erreichen. Das ist errechenbar nach:<\/p>\n

E<\/strong> pot<\/strong> <\/sub> = (<\/strong> 1<\/strong> <\/sup>\/ r<\/strong> <\/sub> – 1<\/strong> <\/sup>\/ r+x<\/strong> <\/sub> )*GM<\/strong><\/p>\n

GM: Das Produkt aus Masse und Gravitationskonstante, bei der Erde ~ 3,98×10 14<\/sup> m\u00b3\/s\u00b2<\/p>\n

r: mittlerer Erdradius (6378.000 m)<\/p>\n

x: Gipfelhöhe in Metern<\/p>\n

Die kinetische Energie berechnet sich nach:<\/p>\n

E<\/strong> kin<\/strong> <\/sub> = \u00bd v\u00b2<\/strong><\/p>\n

Ich habe in beiden Fällen die Masse des Körpers weggelassen, da sie sich bei dem Gleichstellen der Gleichungen herauskürzt.<\/p>\n

Setzt man E kin<\/sub> = E pot<\/sub> so folgt:<\/p>\n

v = Quadratwurzel(2*E<\/strong> pot<\/strong> <\/sub>)<\/p>\n

Macht man dies für eine 200 km hohe Umlaufbahn, so kommt man auf E pot<\/sub> = 1.897.294 J\/kg und umgerechnet in die kinetische Energie sind das 1.377 m\/s Startgeschwindigkeit. Auf diese Geschwindigkeit müssen wir eine Kanonenkugel beschleunigen, dass sie 200 km Höhe erreicht.<\/p>\n

Wie gesagt ist die Energie nicht verloren: Die Kreisbahngeschwindigkeit in 200 km Höhe ist kleiner als auf der Erdoberfläche und die Differenz in der kinetischen Energie ist genau die potentielle Energie.<\/p>\n

In der Praxis ist dem aber nicht so. Denn wenn wir den Geschwindigkeitsvektor betrachten, so haben wir einen Geschwindigkeitsvektor um anfangs Höhe zu gewinnen, der vom Erdmittelpunkt durch die Erdoberfläche verläuft. Bei einer Orbitalbahn dagegen einen Vektor, der parallel zur Erdoberfläche verläuft. Die beiden stehen senkrecht aufeinander, das heißt von der Geschwindigkeit, die ich in der Vertikalen habe, kann ich nichts in die nötige Zentrifugalgeschwindigkeit übernehmen. Der einzige Nutzen ist eine um rund 130 m\/s niedrigere Kreisbahngeschwindigkeit.<\/p>\n

Es ist daher aus nachvollziehbaren Gründen anzustreben, dass die Umlaufbahn möglichst erdnah ist. Wenn sie das nicht ist, dann ist es günstiger, wenn man zuerst eine erdnahe Umlaufbahn erreicht. Dort kompensiert die Zentrifugalkraft die Gravitationskraft. Beschleunigt man dann nochmals, so weitet sich die Bahn auf, bis man die spätere Zielhöhe erreicht. Dort angekommen kann eine zweite Zündung die Bahn zirkularisieren. Man kann leicht durch Rechnung zeigen, dass dieser „Zweiimpuls-Übergang“ energetisch viel günstiger ist, als direkt die Bahnhöhe zu erreichen. Bei sehr hohen Bahnen ist das sogar während der begrenzten Brenndauer einer Rakete nicht möglich. Denn der Aufbau der Zentrifugalkraft also ein Geschwindigkeitsvektor parallel zur Erdoberfläche ist nur in der Zielhöhe oder Höhe möglich. Das ergibt sich aus der Logik. Nehmen wir an eine Rakete, soll eine 200 km hohe Kreisbahn erreichen, hat aber schon in 100 km Höhe Brennschluss. Dann kann sie zwar die Geschwindigkeit erreichen, die man für die Bahn benötigt, aber da nun die erste Umlaufbahn beginnt und die aktuelle Position in der Ellipse sein muss, wird der erdnächste Punkt mindestens bei 100 km Höhe liegen, eventuell sogar noch tiefer.<\/p>\n

\"ArianeRaketen, die nicht zu einem Zweiimpuls-Manöver fähig sind, das sind z. B. Ariane 1-4<\/a> und die Ariane 5 ECA<\/a> müssen die spätere Orbithöhe erreichen, indem sie schon beim Start eine sehr hohe Vertikalbeschleunigung aufbauen. Die Nutzlast nimmt dann rapide ab. Bei einer Ariane 1 betrug die Nutzlast für einen 800 km hohen SSO nur 2,6 t. Wäre die letzte Stufe zu einem Zweiimpuls-Manöver fähig gewesen, es wären 4 t gewesen und die Aufstiegsverluste um fast 1000 m\/s geringer. Man sieht an den unterschiedlichen Aufstiegsbahnen sehr deutlich die Differenz. Die Gerade bei dem Zweiimpulsmanöver steht für die Zeit der Freiflugphase für die keine Daten vorliegen, da sie antriebslos ist. Sehr deutlich ist aber das die Stufe zuerst in niedriger Höhe Brennschluss hat und dann nur noch bei Erreichen von 800 km Höhe nochmals kurz zündet.<\/p>\n

Aufstiegsverluste<\/h3>\n

Immerhin kann man obigen Teil reduzieren. Eine Rakete wird beim Aufsteigen nicht zuerst senkrecht aufsteigen und erst in der Bahnhöhe dann sich um 90 Grad drehen. Sie wird sich vom Start weg langsam drehen und so langsam die horizontale Geschwindigkeit aufbauen, während der vertikale Geschwindigkeitsanteil kleiner wird. Man erhält dann eine Kurve, wie diese im Bild unten einer Falcon 9<\/a> beim einem Nachtstart.<\/p>\n

Es gibt aber auch Verluste, die entstehen unweigerlich. Nehmen wir eine Rakete, die anfangs senkrecht mit einer Geschwindigkeit von 13 m\/s\u00b2 startet. Die Erdgravitation soll (vereinfacht) bei 10 m\/s liegen. Nach einer Sekunde hat die Rakete dann um (13 m\/s\u00b2 – 10 m\/s\u00b2)* 1 s = 3 m\/s Geschwindigkeit erreicht – über 2<\/sup>\/ 3<\/sub> des Zuwachses gingen durch die Erdgravitation verloren! Allerdings wird die Rakete leichter, denn sie verbraucht ja Treibstoff. Das bedeutet: in der zweiten Sekunde beschleunigt sie etwas schneller, sagen wir 13,1 m\/s\u00b2 – der Gewinn ist dann auch größer und liegt bei 3,1 m\/s\u00b2. Eine Rakete kann bei Brennschluss der ersten Stufe eine Beschleunigung von 50 m\/s\u00b2 erreichen – dann sind 40 m\/s\u00b2 reine Nettobeschleunigung oder 80 % des Gesamtbetrags. Zudem wird die Erdgravitation mit steigender Entfernung immer kleiner, die Beschleunigung beträgt:<\/p>\n

g = GM \/ r\u00b2<\/strong><\/p>\n

Sie sinkt also mit zunehmender Höhe quadratisch ab.<\/p>\n

Das sind die Hauptaufstiegsverluste einer Rakete. Man kann aus der Beobachtung ableiten, das eine Rakete möglichst schnell die Orbitalgeschwindigkeit erreichen soll. Dann ist die mittlere Beschleunigung höher, und der Abzug durch die Erdgravitation kleiner.<\/p>\n

Leider muss der Wert durch eine Simulation ermittelt werden, da sowohl die Beschleunigung nicht linear ist als auch die Geschwindigkeit und der zurückgelegte Weg. Einfach die Brenndauer mit der Erdbeschleunigung g zu multiplizieren, um die Geschwindigkeit zu errechnen, klappt nicht.<\/p>\n

Man kann aber etwas ableiten – es ist günstig, schnell den Treibstoff zu verbrauchen. Da bei einem gewünschten konstanten Startschub der Treibstoffverbrauch nach<\/p>\n

\"FalconSchub = Treibstoffdurchsatz * spezifischem Impuls<\/strong><\/p>\n

vom spezifischen Impuls (Anströmgeschwindigkeit der Gase) abhängt, sind hier Raketen mit niedrigem spezifischen Impuls im Vorteil. Das gleicht daher ein bisschen den niedrigen spezifischen Impuls aus.<\/p>\n

Alternativ kann man natürlich schneller starten (höhere Startbeschleunigung), auch das resultiert die Brenndauer und zudem ist der Verlust durch die Erdbeschleunigung anfangs schon kleiner.<\/p>\n

Kombiniert man beide Aussagen, so kommt man zu der Erkenntnis, dass eine Rakete eine möglichst hohe Startbeschleunigung haben soll und in der ersten Stufe, die vor allem die Vertikalbeschleunigung aufbaut, der spezifische Impuls nicht so wichtig ist.<\/p>\n

Sortiert man die bekannten Raketentypen nach den Aufstiegsverlusten, so haben die geringsten Aufstiegsverluste reine Feststoffraketen – hohe Startbeschleunigung und niedriger spezifischer Impuls – sie erreichen teilweise nur 1.000 m\/s Verlust, wie die Vega<\/a>. Dann folgen schubstarke Raketen mit niederenergetischen Treibstoffen wie die Atlas<\/a>, Thor<\/a> oder Titan II<\/a> noch ohne schwere Oberstufen. Sie kommen auf 1.300 bis 1.500 m\/s mehr Geschwindigkeit als für die Bahn nötig. Am hinteren Ende liegen Raketen mit LOX\/LH2-Erststufen und schubschwachen Oberstufen – für diese ist das Kriterium zwar nicht ganz so wichtig, aber auch nicht vernachlässigbar. Die erste Version der Ariane 5<\/a> brauchte fast 2.500 m\/s mehr als für die Orbitalgeschwindigkeit eigentlich nötig.<\/p>\n

Aufstiegszeit<\/h2>\n

Da die Rakete allerdings mit einer Geschwindigkeit von 0 startet und erst die Geschwindigkeit in der vertikalen und Horizontalen aufbauen muss, braucht sie eine endliche Zeit um die Bahnhöhe zu erreichen. Hat sie vorher Brennschluss, wie dies bei ganz kurzen Brennzeiten sein kann, dann liegt der erdnächste Punkt der Bahn zu tief. Diesen kann man im Apogäum durch eine zweite Zündung anheben. Doch wenn dies nicht möglich ist, z.B. weil die Oberstufe nicht erneut zündbar ist, was bei einem Feststoffantrieb normal ist, dann hat man ein Problem. Feststoffantriebe haben daher oft Freiflugphasen. So die Vega bei einem 700-km-Orbit eine 62 s lange Phase ohne Antrieb zwischen dem Ausbrennen der zweiten Stufe und Zündung der dritten Stufe. In diesen 62 Sekunden steigt sie von 101 auf 143 km Höhe. Freiflugphasen sind, da die Geschwindigkeit durch die Erdgravitation abnimmt ebenfalls ungünstig. Die Vega wird während dieser Zeit um 84 m\/s langsamer. Insgesamt überwiegt aber der Vorteil der hohen Anfangsbeschleunigung, sofern die Freiflugphase nicht zu lange dauert.<\/p>\n

Betrachtet man die Raketen, die keine Freiflugphasen haben, dann kristallisiert sich heraus, das man mindestens 300 s braucht, um einen Orbit zu erreichen. Diese Brenndauer hatten frühe Träger wie die R-7, Atlas, Titan ohne zusätzliche Oberstufen. Demgegenüber liegen Träger wie Ariane 5 oder Saturn V die rund 600 s für einen Orbit brauchen und dann 600 bis 1000 m\/s mehr aufbringen müssen, um eine Umlaufbahn zu erreichen bei hohen Aufstiegsverlusten. In meiner Simulation hatte ich große Probleme für die Feng Bao 1<\/a>, eine Rakete mit nur 268 s Brennzeit eine Aufstiegsbahn zu modifizieren. Die Bahn des Satelliten, den sie startete, war denn auch elliptisch mit einem Perigäum in nur 170 km Höhe. Für elliptische Bahnen ist die Gesamtbrenndauer nicht so wesentlich wie für kreisförmige niedrige Bahnen. Das liegt daran, dass die Nutzlast dann kleiner ist. Bei einer Kreisbahn erreicht die Rakete die Mindestgeschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit) erst zu Brennschluss. Eine elliptische Bahn hat eine Überschussgeschwindigkeit (eine 200 x 36000 km GTO Bahn z.B. rund 2.500 m\/s mehr als für die 200 km hohe Kreisbahn erforderlich). Sobald aber die Orbitalgeschwindigkeit erreicht wurde, hat man eine erste stabile Bahn. Während die Rakete nun noch die Zusatzgeschwindigkeit für die Ellipse aufbaut, hebt sie die Bahn an. Das gilt sowohl für sehr kurze Aufstiegszeiten wie auch für Oberstufen mit sehr langen Brennzeiten wie der EPS der Ariane 5G (1.100 s) oder der Breeze M der Proton<\/a> (3274 s). Die Voraussetzung ist dann für solche schubschwachen Oberstufen, das sie bei der Zündung nahezu Orbitalgeschwindigkeit haben. Das ist bei Ariane 5 und Proton gegeben.<\/p>\n

Off-Perigee<\/h2>\n

Eine Vorgehensweise, die bei den Titan IIIC Starts eingesetzt wurde für Starts in sehr hohe Umlaufbahnen wie den GEO war ein Start „Off-Perigee“. Das ist eine Aufstiegsbahn, die zwar das Apogäum in der richtigen Höhe hat. Das Perigäum liegt aber zu tief. Es kann sogar noch unterhalb der Erdoberfläche liegen (beim Start liegt es im Erdmittelpunkt). Das geht, wenn wie bei diesen militärischen Satelliten die Oberstufe die Anhebung des Apogäums durchfuhrt und dies ein Bestandteil der Mission ist. Bei einem kommerziellen Satelliten mit einem eigenen Antrieb ist dies riskant, da bei einer geostationären Übergangsbahn die Zündung weniger als 5 Stunden nach dem Start erfolgen muss. In dieser kurzen Zeit muss der Satellit kontaktiert, in Betrieb genommen und für die Zündung korrekt ausgerichtet werden. Versäumt man das Apogäum, so benötigt man in jedem falle mehr Treibstoff, gelingt die Zündung nicht innerhalb von 10 Stunden, so verglüht der Satellit beim Durchlaufen des ersten Perigäums. Heute sind solche Manöver daher unüblich.<\/p>\n

Folgerungen<\/h2>\n

Man erkennt aus den Tatsachen, warum Feststoffbooster als Starthilfe so populär geworden sind. Sie liefern eine hohe Startbeschleunigung und sind schnell ausgebrannt. Damit reduzieren sie die Aufstiegsverluste.<\/p>\n

Um den Effekt zu zeigen, habe ich eine künstliche einstufige Rakete simuliert.<\/p>\n

Sie besteht aus folgenden Komponenten:<\/p>\n