{"id":14289,"date":"2019-09-12T10:26:29","date_gmt":"2019-09-12T08:26:29","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=14289"},"modified":"2019-09-12T10:26:29","modified_gmt":"2019-09-12T08:26:29","slug":"tanks-und-die-abmessung-einer-rakete","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2019\/09\/12\/tanks-und-die-abmessung-einer-rakete\/","title":{"rendered":"Tanks und die Abmessung einer Rakete"},"content":{"rendered":"<p>Das heutige Thema ist nicht neu. Niels hat es schon mal mathematisch genau <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2013\/11\/05\/optimierung-von-tankdurchmessern\/\">hier im Blog<\/a> diskutiert. Doch da ich nicht Mathematik studiere, denke ich ist ein praktischer Ansatz vielleicht eine gute Erg&auml;nzung. Es geht um Tanks, und da sie das meiste Volumen einer Rakete ausmachen, die Form einer Rakete. Raketen k&ouml;nnen unterschiedliche Formen haben, von eher gedrungen wie die Jupiter, bis hin zu sehr schlank wie die Falcon 9, Scout oder SLV. Wenn ich mal die Feststoffraketen (eben Scout und SLV) ausklammere, weil bei ihnen andere Konstruktionsprinzipien zur Anwendung kommen, werden die meisten Raketen in ihrer Gr&ouml;&szlig;e von den Tanks bestimmt. Bei einer ersten Stufe machen sie problemlos 4\/5 der L&auml;nge aus. Bei oberen Stufen wegen der kleineren Tanks und auch wegen der l&auml;ngeren Triebwerken (durch die l&auml;ngeren Expansionsd&uuml;sen) nat&uuml;rlich weniger.<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/vg09.met.vgwort.de\/na\/f6826171b1cf4a56b52277fc0169ffe4\" alt=\"\" width=\"1\" height=\"1\" \/><!--more--><\/p>\n<h3 class=\"western\">Tanks und ihre Form<\/h3>\n<p>Lange Zeit war es so das bei neuen Tr&auml;gern die Gesamtl&auml;nge (mit Oberstufen und Nutzlastverkleidung) etwa das 10 bis 12-fache das Basisdurchmessers betrug. Beispiele daf&uuml;r sind die Saturn V, Titan II, Atlas Centaur oder Ariane 1. Wenn die Rakete verl&auml;ngert wurde, so verschiebt sich das nat&uuml;rlich, da der Basisdurchmesser gleich bleibt.<\/p>\n<p>Im Wesentlichen wird dieses Verh&auml;ltnis von den Tanks bestimmt. Zeit das einmal zu beleuchten. Die Wandst&auml;rke eines Tanks kann man nach der Kesselformel berechnen. Die Kesselformel gilt f&uuml;r Druckgastanks, doch sie gilt auch f&uuml;r Tanks f&uuml;r Fl&uuml;ssigkeiten. Zum einen &uuml;ben die Fl&uuml;ssigkeiten auch einen Druck aus \u2013 Kerosin und Sauerstoff haben eine Dichte leicht unterhalb und oberhalb von Wasser \u2013 und eine 10 m hohe Wasserschicht &uuml;bt einen Druck von 1 bar aus. Zum Zweiten stehen die Tanks auch unter Druck. Sie werden nicht zu 100 % gef&uuml;llt und das restliche Volumen wird mit Druckgas gef&uuml;llt, das bei Tankentleerung erg&auml;nzt wird. Es wird immer ein leichter &Uuml;berdruck aufrechterhalten auch bei ohne Innendruck stabilen Tanks. Er liegt bei etwa 0,5 bis 3 Bar &Uuml;berdruck.<\/p>\n<p>Die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2013\/11\/05\/optimierung-von-tankdurchmessern\/\">Kesselformel<\/a> zeigt das es einen linearen Zusammenhang gibt zwischen den folgenden Gr&ouml;&szlig;en<\/p>\n<ul>\n<li>Tankdruck<\/li>\n<li>Materialkonstante (Elastizit&auml;tsmodul)<\/li>\n<li>Durchmesser<\/li>\n<\/ul>\n<p>Daraus ergibt sich, dass ein Tank bei gegebenem Druck und Materialkonstante immer einen bestimmten Prozentsatz des Inhalts wiegt. Denn bei doppeltem Durchmesser wird auch die Wandst&auml;rke doppelt so hoch, zusammen mit der Oberfl&auml;che, die im Quadrat ansteigt, ergibt sich eine Steigerung des Gewichts des Tanks in der dritten Potenz, analog wie das Innenvolumen, in der dritten Potenz ansteigt. Nat&uuml;rlich gibt es bei ganz d&uuml;nnen Wandst&auml;rken noch andere Einflussgr&ouml;&szlig;en, die dann beherrschend werden. Doch bei Tanks mit einem Durchmesser von 1 m und mehr, wovon wir jetzt reden, spielen diese keine Rolle.<\/p>\n<p>Die Kesselformel unterscheidet zwei F&auml;lle. Das eine ist die Zylinderwand und der Zweite ist der Abschluss, ein Kugelschnitt, im einfachsten Fall eine Halbkugel. Bei gegebenen anderen Gr&ouml;&szlig;en ist bei einem Tank in Kugelform immer die Wandst&auml;rke halb so gro&szlig; wie bei einem Zylinder.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignleft size-medium\" src=\"\/img\/airnae-5-eps.png\" width=\"385\" height=\"373\" \/>Daraus ergibt sich als Folgerung, das der optimalste Tank ein Kugeltank ist, wie er z.B. auch f&uuml;r Erdgas f&uuml;r Lagerung und Transport genutzt wird. In der Raketentechnik ist eher jedoch seltener. Er findet Anwendung bei Satelliten und teilweise bei Oberstufen, wie der EPS in dieser Abbildung zu sehen. Der einzige Einsatz bei einer Gro&szlig;rakete ist bei der N-1 bei der alle ersten drei Stufen Kugeltanks hatten.<\/p>\n<p>Der offensichtlichste Nachteil von Kugeltanks ist, das man sie schlecht stapeln kann. Die N-1 zeigt das; man musste die Kugeltanks durch ein Gitterrohrger&uuml;st verbinden. Ebenso findet man sie nur deswegen bei Oberstufen, weil man so die Kugeltanks in einem Ring um das Triebwerk herum anordnen kann. Bei Satelliten, wo er sich sowieso innerhalb es Satellitenk&ouml;rpers befindet, ist die Form auch kein Nachteil.<\/p>\n<p>Wenn der Durchmesser der Oberstufe gleich bleibt wie bei der Basisstufe, ist ihre Treibstoffzuladung bei Kugeltanks gering. Eine Kugel hat nur 2\/3 des Volumens eines Zylinders mit demselben Durchmesser und derselben H&ouml;he. Dann muss man sie zwar auch noch au&szlig;en mit einer H&uuml;lle umgeben doch die ist klein. In Russland verwendet man dagegen ringf&ouml;rmige Tanks bei Oberstufen.<\/p>\n<p>So ist der Zylinder mit einem Abschluss eines Kugelschnitts die heute g&auml;ngigste Form. Doch welches ist die optimale Form. Ein Zylinder kann lang und mit geringem Durchmesser sein wie eine Makkaroni, oder kurz und mit gr&ouml;&szlig;tem Durchmesser wie ein Damespielstein sein. Welches ist die optimale Form. Nun es ist die mit der bei einem gegebenem Volumen minimalen Oberfl&auml;che. Das Ist ein Problem einer Fragestellung, die mir noch in der Schule unterkam und damals &#8222;Minimum-Maximum Problem&#8220; hie&szlig;, und l&auml;uft im Wesentlichen auf die Ableitung der Formeln f&uuml;r Volumen und Oberfl&auml;che eines Zylinders heraus. Ich pr&auml;sentiere nur das Ergebnis: Der Zylinder mit der kleinsten Oberfl&auml;che bei gegebenem Volumen hat eine L&auml;nge, die dem zweifachen Durchmesser entspricht. Ein Zylinder mit 1 m Durchmesser w&auml;re also 2 m lang wenn er das beste Verh&auml;ltnis von Oberfl&auml;che zu Volumen haben soll.<\/p>\n<h3 class=\"western\">Treibstoffe und ihre Dichte<\/h3>\n<p>Nun ben&ouml;tigt man aber zwei Treibstoffe. Und die haben zum einen meist nicht die gleiche Dichte, sondern auch ein vorgegebenes Mischungsverh&auml;ltnis. So sind Tanks &uuml;blicherweise nicht gleich gro&szlig;. Eine Ausnahme ist die Kombination NTO mit MMH oder der 50:50 Mischung von Hydrazin und UDMH. Bei einem Verh&auml;ltnis von 1,6 zu 1, einem auch &uuml;blichen Verh&auml;ltnis, sind beide Tanks genau gleich gro&szlig;. Das nutzt man bei Satelliten aus, doch auch bei der Titan II und Ariane 1 waren die Erststufentanks aus diesem Grunde gleich gro&szlig;. Bei anderen Treibstoffen ist das nicht gegeben. Ich habe mal f&uuml;r g&auml;ngige Mischungsverh&auml;ltnisse hier die relativen Volumina aufgef&uuml;hrt, bei der Oxidator (LOX, NTO) immer auf 1 gesetzt wurde:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"4\">\n<colgroup>\n<col width=\"64*\" \/>\n<col width=\"64*\" \/>\n<col width=\"64*\" \/>\n<col width=\"64*\" \/> <\/colgroup>\n<thead>\n<tr valign=\"TOP\">\n<th width=\"25%\">Kombination<\/th>\n<th width=\"25%\">Mischungsverh&auml;ltnis<\/th>\n<th width=\"25%\">Oxidator<\/th>\n<th width=\"25%\">Treibstoff<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">LOX\/Kerosin (Nebenstrom)<\/td>\n<td width=\"25%\">2,3<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">0,63<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">LOX\/Kerosin (Hauptstrom)<\/td>\n<td width=\"25%\">2,6<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">0,43<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">LOX\/Methan<\/td>\n<td width=\"25%\">3.5<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">1,28<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">LOX\/LH2<\/td>\n<td width=\"25%\">5<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">3,35<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">LOX\/LH2<\/td>\n<td width=\"25%\">6<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">2,80<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">NTO\/Hydrazin<\/td>\n<td width=\"25%\">1,34<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">1,07<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">NTO\/UDMH<\/td>\n<td width=\"25%\">1,86<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">NTO\/Aerozin-50<\/td>\n<td width=\"25%\">1,6<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">NTO\/MMH<\/td>\n<td width=\"25%\">1,64<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr valign=\"TOP\">\n<td width=\"25%\">Salpeters&auml;ure\/UDMH<\/td>\n<td width=\"25%\">3<\/td>\n<td width=\"25%\">1<\/td>\n<td width=\"25%\">2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Man sieht das man bei den Kombinationen der lagerf&auml;higen Treibstoffe durchaus Mischungsverh&auml;ltnis findet bei denen die Tanks nahezu gleich gro&szlig; sind. Diese liegen zwar nicht am Optimum (1,2 bei NTO\/UDMH, 1,8 bei NTO\/MMH und 2,3 bei NTO\/UDMH) aber der spezifische Impuls ist nahezu gleich hoch. Bei der &auml;lteren Kombination Salpeters&auml;ure UDMH ergeben sich auch als Vorteil genau doppelt so gro0e Tanks.<\/p>\n<p>Man wird in der Praxis daher einen der beiden Tanks auf die ideale Gr&ouml;&szlig;e auslegen. Der andere ist dann k&uuml;rzer oder l&auml;nger. Bei Wasserstoff ist es in der Regel der Wasserstofftank, da er eine erheblich h&ouml;heres Volumen hat. Ich nehme mal als Beispiel die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/atlas.shtml\">Atlas D<\/a>. Die Atlas hatte ein Tankvolumen von 70.870 l f&uuml;r den fl&uuml;ssigen Sauerstoff und 44.093 l f&uuml;r Kerosin. Bei der Atlas D wurden 34.900 kg Kerosin und 78.900 kg LOX geladen. Es handelt sich um einen Integraltank, der oben aber einen abnehmenden Durchmesser hat. W&uuml;rde man 3,04 m Durchmesser nutzen (der Durchmesser betr&auml;gt 3,048 m, doch die Tanks haben nat&uuml;rlich noch eine Wandst&auml;rke so w&auml;re der LOX-Tank bei Zylinderform 9,73 m lang und der Kerosintank 6,07 m. Mit Triebwerken, Tankabschluss und Stufenabschluss war dann die Atlas 21,4 m lang. In diesem Falle ist der Kerosintank ziemlich genau zweimal so lang, wie er breit ist &#8211; man sieht also man hat das obige Kriterium angewandt \u2013 wobei man ber&uuml;cksichtigen muss, dass man aus nachvollziehbaren Argumenten immer \u201egerade\u201c Zahlen haben will. Bei der Atlas war dies ein Durchmesser von 10 Fuss = 304,8 cm.<\/p>\n<p>Zumindest fr&uuml;her, wegen der begrenzten Informationen kann ich zu aktuellen Tr&auml;gern nichts sagen, hat man auch eine Eigenschaft ausgenutzt: Wie erw&auml;hnt &uuml;bt der Tankinhalt auch einen Druck aus. Doch anders als bei einem Gas ist er nicht &uuml;berall gleich. Er ist vielmehr unten durch die h&ouml;here Fl&uuml;ssigkeitsschicht h&ouml;her als oben. Bei der Atlas aber auch <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/saturn5.shtml\">Saturn V<\/a> Erststufentanks, wurde die Wandst&auml;rke daher variiert. Sie war unten am h&ouml;chsten, und nahm nach oben hin ab. Beim ersten Teststart f&uuml;r Mercury brach daher die Struktur in diesem Bereich. Als Folge erhielten die Atlas dann verst&auml;rkte Tanks.<\/p>\n<h3>Folgerungen<\/h3>\n<p>Aus den absoluten Volumina, die man ben&ouml;tigt ergibt, sich auch eine Folge: hinsichtlich Volumina und Stufenh&ouml;he ist die Kombination eines Treibstoffs mit hoher Dichte und LOX\/LH2 besonders attraktiv. Das ergibt sich aus zwei Gr&uuml;nden. Zum einen ist es aus physikalischen Gr&uuml;nden so, das es g&uuml;nstiger ist mit Wasserstoff als Treibstoff die Oberstufe gr&ouml;&szlig;er auszulegen, als wenn man die Kombination der Erststufe verwendet. Bei der Atlas hatte z.B. die <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/agena.shtml\">Agena<\/a> 6,8 t Masse, die Centaur 15,8 t. Zum Zweiten ergibt sich aus der niedrigen Dichte, die etwa dreimal niedriger als bei LOX\/Kerosin ist, das die Oberstufe nicht so viel kleiner ist als die Erststufe. Das bedeutet auch, dass man den Durchmesser der Erststufe beibehalten kann und die Fertigungsanlagen dieser verwenden kann, ohne eine zu ung&uuml;nstige Tankform (extrem kurze Tanks) zu erhalten. Bei der ersten Version der Atlas Centaur war so die Atlas 19,81 m lang und die Centaur 9,10 m, also knapp halb so lang, sie wog aber nur ein Achtel der Atlas.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignright size-medium\" src=\"\/img\/Ariane4-Oberstufen.png\" width=\"1600\" height=\"1142\" \/>Umgekehrt: Setzt man auf eine LOX\/LH2 Stufe eine zweite LOX\/LH2 Stufe, so erh&auml;lt man relativ ung&uuml;nstige Tankabmessungen wenn man den Durchmesser beibeh&auml;lt. Man kann dies deutlich bei diesem Schnittbild der Oberstufen von <a href=\"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/ariane4.shtml\">Ariane 4 <\/a>und den beiden kryogenen Oberstufen f&uuml;r Ariane 5 sehen. Nur selten findet man den Fall, das man den optimalen, niedrigen Durchmesser beibeh&auml;lt. So bei der Atlas V. Dann hat man eine Nutzlastverkleidung, die entweder bei der 4 m Version einen h&ouml;heren Durchmesser hat oder im Falle der 500-er Version dann die ganze Stufe umh&uuml;llt.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Das heutige Thema ist nicht neu. Niels hat es schon mal mathematisch genau hier im Blog diskutiert. Doch da ich nicht Mathematik studiere, denke ich ist ein praktischer Ansatz vielleicht eine gute Erg&auml;nzung. Es geht um Tanks, und da sie das meiste Volumen einer Rakete ausmachen, die Form einer Rakete. 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