{"id":14854,"date":"2020-07-11T15:47:14","date_gmt":"2020-07-11T13:47:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=14854"},"modified":"2020-07-11T15:47:14","modified_gmt":"2020-07-11T13:47:14","slug":"mathematik-a-la-zubrin","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2020\/07\/11\/mathematik-a-la-zubrin\/","title":{"rendered":"Mathematik \u00e0 la Zubrin"},"content":{"rendered":"<p>Ich halte nicht viel von Zubrin, war aber bisher noch der Meinung das er zumindest die Grundrechenarten beherrscht. <a href=\"https:\/\/www.washingtonpost.com\/opinions\/2020\/06\/22\/send-spacex-dragon-moon\/\">Dieser Aufsatz<\/a> belehrt mich allerdings eines besseren. Er meint allen Ernstes, dass man eine bemannte Mondlandung mit zwei Falcon Heavy Starts und einer Crew Dragon durchf&uuml;hren kann. Zeit mal das nachzupr&uuml;fen. Hier mal die Fakten:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/vg04.met.vgwort.de\/na\/ea3c35abda734e648d4651a5c87ebae8\" alt=\"\" width=\"1\" height=\"1\" \/><!--more--><\/p>\n<ul>\n<li>Die Crew Dragon wiegt leer 9,5 t<\/li>\n<li>Der spezifische Impuls der Superdracos betr&auml;gt 2.000 m\/s<\/li>\n<li>Die NASA gibt das <span style=\"font-size: medium;\">\u0394<\/span>V f&uuml;r den Haloorbit, der angestrebt wird mit 840 m\/s (Hin-\/Zur&uuml;ck) an<\/li>\n<li>Bei Apollo hatte die Abstiegsstufe ein <span style=\"font-size: medium;\">\u0394<\/span>V von 2.500 m\/s<\/li>\n<li>Bei Apollo hatte die Aufstiegssstufe ein <span style=\"font-size: medium;\">\u0394<\/span>V von 2.200 m\/s<\/li>\n<li>Die Geschwindigkeit im 100-km-Mondorbit betrug rund 1.600 m\/s<\/li>\n<li>Der Apollo LM wog beim Start 16,5 t, wovon noch 2,3 t wieder in den Orbit kamen<\/li>\n<li>Das Voll-\/Leermasseverh&auml;ltnis der Apollo LM Abstiegsstufe betrug 4,85<\/li>\n<li>SpaceX gibt die GTO-Nutzlast der Falcon heavy mit 22,2 t an, die Marsnutzlast mit 14 t (real sind es wohl maximal 15 t in den GTO, aber da es auch mit 22 t nicht geht, nehme ich eben die Wunschvorstellungsdaten).<\/li>\n<li>Das <span style=\"font-size: medium;\">\u0394<\/span>V in einen GTO sind etwa 10,2 km\/s, in eine Mondtransferbahn 10,9 km\/s und zum Mars 11,4 km\/s.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Mein Ansatz ist es zu berechnen, was diese Kombination landen und wieder in den Halo Orbit bringen k&ouml;nnte, verglichen mit Apollo Mondlander. Dessen Leichtgewicht d&uuml;rfte heute nicht zu schlagen sein, denn schon wegen den inzwischen viel h&ouml;heren Sicherheitsanforderungen h&auml;tte er eine viel schwerere H&uuml;lle und man w&uuml;rde wojhl auch nicht nur zwei Astronauten zum Mond entsenden.<\/p>\n<p>Fangen wir mit der Nutzlast der Falcon Heavy f&uuml;r eine Mondtransferbahn an. Geschwindigkeitsm&auml;&szlig;ig liegt die Mondtransferbahn fast genau in der Mitte zwischen GTO und Marstransferbahn. Daher kann man ohne einen gro&szlig;en Fehler zu machen als Nutzlast f&uuml;r eine Mondtransferbahn das geometrische Mittel der Nutzlasten zwischen beiden Bahnen annehmen, das sind (22,2 + 14 ) \/ 2 = 18,1 t.<\/p>\n<h3 class=\"western\">Crew Dragon<\/h3>\n<p>Die Crew Dragon muss 840 m\/s aufwenden um in den Haloorbit einzuschwenken und ihn wieder zu verlassen. Selbst wenn man zus&auml;tzliche Man&ouml;ver f&uuml;r die Ankopplung an den Mondlander und Kurskorrekturen wegl&auml;sst, kann man den Faktor Startgewicht\/Trockengewicht f&uuml;r dieses \u0394v nach der Raketengrundgleichung wie folgt berechnen:<\/p>\n<p>f = exp<sup>(840\/2000)<\/sup> = 1,53<\/p>\n<p>Multipliziert mit der Trockenmasse von 9,5 t ergibt sich so eine Startmasse von 14,5 t. Dazu k&auml;men in der Realit&auml;t noch das Trockengewicht der Tanks und das zus&auml;tzliche Druckgas, denn die Crew Dragon ist ja f&uuml;r ISS Missionen ausgelegt und die haben ein kleineres \u0394V-Budget. Aber auch damit l&auml;ge sie sicher unter den 18 t.<\/p>\n<h3 class=\"western\">Mondlander<\/h3>\n<p>Der Halo-Orbit ist ein Orbit von 3.000 x 70.000 km. F&uuml;r eine Mondlandung muss er angepasst werden, wobei ich mit Apollo vergleiche, weil das eben die bisher einzige Datenbasis ist. In der Praxis w&uuml;rde man leicht anders vorgehen und das Perilun&auml;um auf 0 km H&ouml;he legen.<\/p>\n<p>Um mit dem Apollo-Orbit zu vergleichen, m&uuml;sste man den Orbit auf einen 100 x 70.000 km Orbit umwandeln. Dann l&auml;ge das Perilun&auml;um wie bei Apollo, das Apolun&auml;um h&ouml;her, die zus&auml;tzliche Geschwindigkeit im Perilun&auml;um w&uuml;rde beim Abstieg vernichtet werden.<\/p>\n<ul>\n<li>Um das Perilun&auml;um abzusenken, ben&ouml;tigt man 34 m\/s<\/li>\n<li>Im Perilun&auml;um hat man eine Geschwindigkeit von 2.286 m\/s<\/li>\n<li>Die Kreisbahngeschwindigkeit in 100 km H&ouml;he liegt bei 1.637 m\/s<\/li>\n<li>Das ergibt zusammen eine Differenz von 2.286-1.637+34 = 683 m\/s<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dies muss man zu den 2.500 bzw. 2.200 m\/s \u0394V der Stufen berechnen, man erh&auml;lt so ein \u0394V von 3.183 m\/s (Abstiegsstufe) und 2.863 m\/s (Aufstiegsstufe)<\/p>\n<p>Man wird sicher aus Sicherheitsgr&uuml;nden und wegen der einfacheren Regelbarkeit ein Triebwerk mit lagerf&auml;higen Treibstoffen einsetzen. SpaceX hat f&uuml;r die Falcon 1 das Kestrel entwickelt, das auch im richtigen Schubbereich (~ 30 kN) liegt. Sein spezifischer Impuls betr&auml;gt 3105 m\/s.<\/p>\n<p>Vor der Landung muss der Mondlander aber zuerst in einen Mondorbit, denn die Besatzung muss ja von der Crew Dragon umsteigen. Daf&uuml;r ben&ouml;tigt man die H&auml;lfte des \u0394V der Crew Dragon (man verl&auml;sst den Orbit ja nicht mehr). Das sind weitere 420 m\/s. Ich habe sie zum \u0394V der Abstiegsstufe hinzugerechnet, die so auf ein dV von 3603 m\/s kommt.<\/p>\n<p>So kann man die Landemasse berechnen:<\/p>\n<p>Die Landemasse berechnet sich nach:<\/p>\n<ul>\n<li>Landemasse = 18,1 t \/ exp<sup>(3603 m\/s \/ 3105 m\/s)<\/sup><\/li>\n<li>Landemasse = 5,67 t<\/li>\n<\/ul>\n<p>F&uuml;r die Berechnung der Masse der Aufstiegsstufe muss man nun die Trockenmasse der Landestufe abziehen, denn die bleibt auf dem Mond. Nach der Definition des Strukturfaktors f mit Startmasse\/(Startmasse-Treibstoff) und dem Wert von 4,85 kann man schreiben:<\/p>\n<ul>\n<li>Trockenmasse = (18,1 \u2013 5,67)\/ (4,85-1)<\/li>\n<li>Trockenmasse = 3,22 t<\/li>\n<li>Zusammen mit dem verbrauchten Treibstoff (18,1 \u2013 5,67 t = 12,3 t) kommt man so auf eine Abstiegsstufenmasse von 15,65 t.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das l&auml;sst noch 2,45 t f&uuml;r die Abstiegsstufe &uuml;brig (5,67-3,22 t oder 18,1 \u2013 15,65 t)<\/p>\n<p>Damit k&ouml;nnte man eigentlich die Berechnung schon beenden, denn das ist das Gewicht der Apollo Aufstiegsstufe, nur eben ohne Treibstoff. Doch um Zubrins ganze Kompetenz zu zeigen, rechne ich weiter. Diese Kombination muss nun den Halo Orbit errechnen, f&uuml;r den ein \u0394v von 2.683 m\/s ben&ouml;tigt wird. Die Restmasse kann man wieder Errechnen nach<\/p>\n<ul>\n<li>Restmasse = 2,45 t \/ exp <sup>(2863 m\/s \/ 3105 m\/s)<\/sup> = 975 kg<\/li>\n<\/ul>\n<p>Etwas knapp, aber das ist ja noch mit dem Antriebssystem. Ohne Landegestell und die gesamte Ausr&uuml;stung Wasser, Sauerstoff und Batterien wird der Strukturfaktor des Antriebssystems h&ouml;her sein. SpaceX erreichte bei ihrer Falcon 1 Zweitstufe einen f von 8,42, also nehme ich diesen auch an. Damit erh&auml;lt man als Trockenmasse:<\/p>\n<ul>\n<li>Trockenmasse = (2,45 \u2013 0,975) \/ (8,42 \u2013 1)<\/li>\n<li>Trockenmasse = 199 kg<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die muss man noch von den 975 kg abziehen, dann bleiben noch 776 kg &uuml;brig. 776 kg f&uuml;r ein Raumfahrzeug mit Kommunikationsausr&uuml;stung, Luftschleuse, Avionik, Energieversorgung, Thermalkontrolle, Wohnraum (Au&szlig;enh&uuml;lle), Vorr&auml;ten und nicht zu vergessen einigen Astronauten mit ihren Backpacks und Anz&uuml;gen und die Mondproben. Hmmm, d&uuml;rfte knapp werden. Aber ich bin sicher Zubrin hat eine L&ouml;sung daf&uuml;r z.B., indem er einen riesigen Luftballon als Mondlander nimmt. Menschenleben bedeuten ihm ja nicht viel, wie man von seinen hochriskanten Marspl&auml;nen ja schon weis.<\/p>\n<h3>Kurze Absch&auml;tzung ohne Rechnung<\/h3>\n<p>Es gibt aber eine andere Erkl&auml;rungsm&ouml;glichkeit, n&auml;mlich das Zubrin absolut nichts von Weltraumfahrt versteht. Warum? Schon ohne Rechnung wusste ich das dieser Plan mit zwei Falcon Heavy eine Mondlandung durchzuf&uuml;hren nicht klappen kann. Warum? Nun auch ohne genaue Rechnung war die Nutzlast einer Falcon Heavy, wie oben erl&auml;utert, irgendwo zwischen 14 und 22 t abzusch&auml;tzen. Anders als bei Apollo musste der LM aber die Fluchtgeschwindigkeit und nicht die Kreisbahngeschwindigkeit des Mondes vernichten bei der Landung und fast dieselbe Geschwindigkeit auch beim R&uuml;ckstart, da der Haloorbit ein sehr hohes Apolun&auml;um hat. Da ist klar, dass diese Masse nicht ausreicht, zumal der Lander schon nicht mehr als der Apollo LM wiegen kann, der vom CSM in einen niedrigen Mondorbit gebracht wurde und auch nur diesen erreichen muss. Man kann sich auch der Sache aus einem anderen Blickwinkel n&auml;hern \u2013 die Apollo CSM-LM Kombination wog bis zu 48,6 t, so viel k&ouml;nnen zwei Falcon heavy nicht zum Mond schaffen und wie Zubrin selbst schreibt, wiegt alleine die Crewed Dragon, im Prinzip also nur die Kommandokapsel, 1,5 mal mehr als die von Apollo. Wie also soll das gehen? Negative Masse? Anti-Schwerkraft?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ich halte nicht viel von Zubrin, war aber bisher noch der Meinung das er zumindest die Grundrechenarten beherrscht. Dieser Aufsatz belehrt mich allerdings eines besseren. Er meint allen Ernstes, dass man eine bemannte Mondlandung mit zwei Falcon Heavy Starts und einer Crew Dragon durchf&uuml;hren kann. Zeit mal das nachzupr&uuml;fen. Hier mal die Fakten:<\/p>\n","protected":false},"author":169,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[4386,1865,2200],"class_list":["post-14854","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-raumfahrt","tag-crew-dragon","tag-falcon-heavy","tag-zubrin","entry"],"a3_pvc":{"activated":false,"total_views":776,"today_views":0},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack-related-posts":[{"id":18605,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/03\/13\/artemis-berechnungen\/","url_meta":{"origin":14854,"position":0},"title":"Artemis-Berechnungen","author":"Bernd Leitenberger","date":"13. 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