Im Mittel hat die Rakete ja das gleiche Gewicht, wie wenn der Treibstoff halb verbraucht wurde. Also kann ich doch auch linear rechnen, mit einer Masse von 55.000 kg<\/em>„. Nach dieser Rechnung würde die mittlere Beschleunigung 24,5 m\/s betragen. Die Endgeschwindigkeit läge dann bei 4909 m\/s und der Weg 491 km. Beide Werte weichen beträchtlich von der Simulation ab. Der Weg ein wenig. Die Geschwindigkeit sehr stark.<\/p>\nUnsere Simulation ist übrigens auch noch nicht ganz exakt. Da wir die Beschleunigung erst nach Ende jeder Sekunde bestimmen erhalten wir einen zu hohen Wert, bei Bestimmung zu Beginn jeder Sekunde würde man einen zu niedrigen Wert bekommen. Abhilfe: Man bildet den Mittelwert beider Werte oder für Excel Spezialisten: Man verkleinert die Schrittweite. Bei weiterer Verfeinerung wird man irgendwann einmal auf den exakten Wert von 6907,55 m\/s kommen. (Sie merken: Ich halte nicht viel von Excel).,<\/p>\n
Die Arbeit kann man sich sparen, wenn man wie Herr Ziolkowski zwar kein Excel hat, aber eine Ahnung von Mathematik. Die Beschleunigung ist eine Funktion der Gewichtsabnahme der Rakete, die der Form 1\/x gehorcht. Und was ist das Integral über 1\/x? Wer jetzt in einem Mathebuch nachschlägt kommt auf den Term ln(x). Weiterhin ist die Beschleunigung abhängig vom Schub, der wiederum mit dem Treibstoffverbrauch und damit der Gewichtsabnahme über die Ausströmungsgeschwindigkeit vspez abhängt:<\/p>\n
Und voila: Schon haben wir die Ziolkowski Gleichung in ihrer vollen Schönheit:<\/p>\n
v = v spez * ln (Vollmasse\/Leermasse)<\/p>\n
Nun kommen wir zu dem was mir wichtig ist und was offensichtlich viele Leute nicht kapieren: In dieser Formel sind zwei Dinge relevant: Das Verhältnis Voll\/Leermasse also den Treibstoffanteil der Rakete oder Stufe. Das ist ein Maß für den Leichtbau. Eine A-4 hatte ein Verhältnis von rund 4:1, große Stufen erreichen heute bis zu 15:1. Das zweite ist die Ausströmungsgeschwindigkeit der Gase, im Wesentlichen ein Maß für den Energiegehalt des Treibstoffs, Wegen der mathematischen Funktion des Logarithmus (der Anstieg wird immer kleiner je größer x ist) bringt ein höheres Voll\/Leermasseverhältnis weniger als eine Steigerung der Ausströmungsgeschwindigkeit. Nehmen wir an, der Zusammenhang wäre linear:<\/p>\n
v = v spez * (Vollmasse\/Leermasse)<\/p>\n
Dann müsste Vollmasse\/Leermasse = 15 und vspez= 3000 m\/s das gleiche ergeben wie Voll\/Leermasse = 10 und vspez= 4500 m\/s.<\/p>\n
In der Realität resultiert im ersten Fall eine Geschwindigkeit von 8124 m\/s und im zweiten Fall eine von 10361 m\/s, Also deutlich mehr. Das ist der Grund warum man so gerne Wasserstoff einsetzt – zumindest bei den oberen Stufen die einen Orbit erreichen<\/p>\n
Alles klar oder?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
In meiner kleinen Reihe „Raumfahrtgrundlagen ganz einfach (für Wirtschaftswissenschaftler und Geisteswissenschaftler)“ möchte ich mal erklären wie man zur Raketengrundgleichung oder Ziolkowskigleichung kommt. Damit alles einfacher wird, nehmen wir mal an wir betreiben die Rakete in der Schwerelosigkeit, also im freien Weltraum, so dass wir ohne Luftwiderstand und Gravitationskraft operieren können. Erstens einmal: Die Beschleunigung (a): […]<\/p>\n","protected":false},"author":169,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[450,448,449,447],"class_list":["post-1692","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-raumfahrt","tag-ausstroemgeschwindigkeit","tag-raketengrudngleichung","tag-spezifischer-impuls","tag-ziolokowskigleichung","entry"],"a3_pvc":{"activated":false,"total_views":1935,"today_views":0},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack-related-posts":[{"id":18724,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/06\/19\/wiederverwendung-eine-loesung-fuer-europa-1\/","url_meta":{"origin":1692,"position":0},"title":"Wiederverwendung: eine Lösung für Europa (1)","author":"Bernd Leitenberger","date":"19. 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