{"id":18956,"date":"2026-09-19T18:58:23","date_gmt":"2026-09-19T16:58:23","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=18956"},"modified":"2026-09-19T18:58:23","modified_gmt":"2026-09-19T16:58:23","slug":"raumfahrtgrundlagen-fuer-dummys-bahnen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/09\/19\/raumfahrtgrundlagen-fuer-dummys-bahnen\/","title":{"rendered":"Raumfahrtgrundlagen für Dummys \u2013 Bahnen"},"content":{"rendered":"
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<\/path><\/svg><\/i> \"Loading\"<\/p>\n

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Im heutigen Teil des Grundlagen\u2011Kurses geht es um den Teil, der am meisten mit Mathematik verknüpft ist und wo es nur wenige einfache Gleichungen gibt. Aber ich will es trotzdem mal durchkauen und lasse eben das weg, was komplizierte Mathematik ist.<\/p>\n

Das Gravitationsgesetz<\/strong><\/h4>\n

Grundlage aller Bahnen ist das Gravitationsgesetz. Wie schon Isaac Newton erkannte, wirkt zwischen zwei Körpern eine Kraft, die sie zueinander zieht:<\/p>\n

F = M1 * M2 * \u00b5 \/ D\u00b2<\/b><\/p>\n

M1, M2: die Massen der Körper
\nD: Distanz
\n\u00b5: Gravitationskonstante 6,6726\u2026 \u00d7 10\u207b\u00b9\u00b9 m\u00b3 kg\u207b\u00b9 s\u207b\u00b2 (bzw. Nm\u00b2\/kg\u00b2)<\/p>\n

Will man die Beschleunigung auf einen der Körper, meistens den leichteren (M1), bestimmen, so bildet man:
\n\"\"\/
\na = F \/ M1<\/b><\/p>\n

So kürzt sich M1 aus den Gleichungen heraus, und das bleibt auch bei den folgenden Betrachtungen so:<\/p>\n

a = M2 * \u00b5 \/ D\u00b2<\/b><\/p>\n

Macht man dies mit der Masse der Erde (5,976\u202f\u00d7\u202f10\u00b2\u2074 kg), so erhält man die Erdbeschleunigung g\u2080 \u2248 9,81\u202fm\/s\u00b2. Das Ungefährzeichen, weil sie vom Abstand vom Erdmittelpunkt abhängt (das gilt für alle Berechnungen; ein weiterer Fehler bei eigenen Berechnungen ist, dass man die Distanzen in km und nicht in Metern angibt) und der ist bei der Erde nicht konstant. Am Äquator ist g\u2080 etwas kleiner als am Pol.<\/p>\n

Jeder Körper würde aufgrund der Anziehung zum Erdmittelpunkt fallen, sofern ihn nichts davon abhält. Er hat alleine dadurch, dass man ihn vom Erdmittelpunkt entfernt hat, eine Ruheenergie, die berechenbar ist nach:<\/p>\n

E\u209a\u2092\u209c = \u00b5 * M * (1<\/sup>\/R\u2081<\/sub> \u2013 1<\/sup>\/R\u2082<\/sub>)<\/b><\/p>\n

R\u2081 und R\u2082 sind die Distanzen vom Erdmittelpunkt. Wenn man z.\u202fB. 1\u202fkg um 2\u202fm vom mittleren Erdradius (6.378.000\u202fm) anhebt, so muss man eine Energie von 19,6\u202fJ aufwenden. Aus der Formel kann man, wenn man noch den Satz für die kinetische Energie hinzunimmt (beim Fallen wird die Ruheenergie in Bewegungsenergie, also kinetische Energie umgewandelt), berechnen, wie stark man einen Körper beschleunigen muss oder welche Energie er bekommen muss, um ihn gegen die Gravitation anzuheben:<\/p>\n

E\u2096\u1d62\u2099 = \u00bd * M * v\u00b2<\/b><\/p>\n

v = \u221a(2 * E\u209a\u2092\u209c)<\/b><\/p>\n

Für die Erdoberfläche errechnet man so die Fluchtgeschwindigkeit von 11,2\u202fkm\/s. Setzt man jeweils die Distanz vom Erdmittelpunkt ein, so kann man die Fluchtgeschwindigkeit für jede Höhe berechnen. Nimmt man R\u2081 und R\u2082, so kann man berechnen, welche Geschwindigkeit eine Kanone erreichen muss, damit das Projektil eine vorgegebene Spitzenhöhe erreicht. Das gilt auch für Raketen, aber da muss man die Gravitationsverluste berücksichtigen und dass der Brennschlusspunkt nicht am Erdboden liegt.<\/p>\n

Beispiel: Um 200\u202fkm Höhe zu erreichen, berechnet man erst die potenzielle Energie:<\/p>\n

E\u209a\u2092\u209c = \u00b5 * M * (1<\/sup>\/R\u2081<\/sub> \u2013 1<\/sup>\/R\u2082<\/sub>)<\/span><\/p>\n

E\u209a\u2092\u209c = 6,67\u2026\u202f\u00d7\u202f10\u207b\u00b9\u00b9 * 5,96\u2026\u202f\u00d7\u202f10\u00b2\u2074 * (1\/6.378.000 \u2013 1\/(6.378.000\u202f+\u202f200.000)) E\u209a\u2092\u209c = 1.900.891<\/p>\n

v = \u221a(E\u209a\u2092\u209c * 2) = 1.949,8\u202fm\/s<\/p>\n

Will man die Gravitationskraft nur aufheben, also nicht an Höhe gewinnen, so braucht man genau die halbe Energie für die Fluchtgeschwindigkeit, und über die Umrechnung in eine Geschwindigkeit kommt man auf die Kreisgeschwindigkeit:<\/p>\n

V\u2096\u1d63\u2091\u1d62\u209b = \u221a(\u00b5 * M \/ R)<\/b><\/p>\n

Das sind 7.910\u202fm\/s für den Erdboden; mit steigendem Abstand sinkt sie ab. Die Periode bei Ellipsen und Kreisen kann man auf mehrere Arten berechnen. Für Kreise kann man einfach den Umfang durch die Kreisgeschwindigkeit teilen:<\/p>\n

Periode = \u03c0 * r * 2 \/ V\u2096\u1d63\u2091\u1d62\u209b<\/b><\/p>\n

Für die Erdoberfläche wäre diese bei etwa 5.066\u202fSekunden oder 1\u202fStunde\u202f24\u202fMinuten. Für Ellipsen nimmt man anstatt dem Radius die große Halbachse, wobei ich zum nächsten Kapitel komme:<\/p>\n

Bahnen im Raum<\/strong><\/h4>\n

Um die genaue Lage einer Bahn und der aktuellen Position im Raum zu beschreiben, braucht man sechs Parameter. Ich nutze bei meinen Simulationen vor allem das kartesische Koordinatensystem. Das hat drei Raumachsen (x, y, z) und den Mittelpunkt im Gravitationszentrum (0, 0, 0). Im kartesischen System wird die Bewegung eines Körpers im Raum durch den Positionsvektor und den Geschwindigkeitsvektor beschrieben, jeder mit den Koordinaten in x\u2011, y\u2011, z\u2011Achse.<\/p>\n

Beim astronomischen Koordinatensystem ist es komplexer. Denn es gibt für die meisten der sechs Parameter mehrere Definitionen, die man umrechnen kann. So nutze ich oft den nächsten und fernsten Punkt der Bahn, Peri\u2011 und Apopunkt (je nach Himmelskörper des Zentralkörpers heißt der dann Perihel, Perigäum, Perilunäum oder Perijovium). Alternativ kann man auch große Halbachse und Exzentrizität nutzen, die man in den Peri\u2011 und Apopunkt umrechnen kann. Es gibt übrigens auch die bei der Ellipse bekannte kleine Halbachse, aber sie braucht man nicht für Berechnungen, wohl aber, wenn man eine geschlossene Bahn zeichnen will.<\/p>\n

Apopunkt und Peripunkt legen den minimalen und maximalen Abstand fest. Die Bahnneigung oder Inklination ist die Neigung der Bahnebene zu einer Referenzebene, per Definition der Äquatorebene. Damit ist die Bahnform beschrieben. Die wahre Anomalie \u2013 ein Winkel, der von \u2013\u03c0 bis +\u03c0 läuft \u2013 erlaubt es, die Position seit dem Durchlaufen des Peripunktes zu berechnen. Dann braucht man noch zwei Parameter, um die Lage im Raum zu fixieren. Üblich ist die Angabe des Arguments der Periapsis und des Winkels des aufsteigenden Knotens. Wenn ihr bei Wikipedia nachschaut<\/a>, dann seht ihr aber, dass es einige Definitionen gibt; 15\u202fDefinitionen gibt es, die nur zum Teil umrechenbar sind.<\/p>\n

Ich brauche für weitere Berechnungen nur die Halbachse, die wie folgt definiert ist:<\/p>\n

a = (Periapsis + Apoapsis) \/ 2<\/b><\/p>\n

(a steht hier für Halbachse, nicht Beschleunigung). Denn damit kann man mit der Vis\u2011Viva\u2011Gleichung die momentane Geschwindigkeit bei einem bestimmten Abstand berechnen:<\/p>\n

v = \u221a(\u00b5 * M * (2<\/sup>\/r<\/sub> \u2013 1<\/sup>\/a<\/sub>))<\/b><\/p>\n

Die Gleichung funktioniert auch bei Hyperbeln. Da ist der Apopunkt negativ und damit auch die Halbachse; man kann aber bei ihnen keine Umlaufdauer berechnen.<\/p>\n

Besondere Bahnen<\/h4>\n

Es gibt einige bekannte Abkürzungen für bestimmte Orbits.<\/p>\n

LEO: Low Earth Orbit:<\/strong> Der Orbit mit der höchsten Nutzlast. Das liegt vor, wenn man direkt nach Osten startet und damit die Erdrotation (465\u202fm\/s am Äquator, cos(Breitengrad)\u202f\u00d7\u202f465 für einen beliebigen Breitengrad) mitnimmt. Die Bahnhöhe sollte möglichst niedrig sein, aber doch so hoch, dass man einen Satelliten in Betrieb nehmen kann. Als Standard wurden früher bei den USA meist 185,2\u202fkm Bahnhöhe (100\u202fnautische Meilen) verwendet. Wie man an den Ausführungen über die Ruheenergie im Gravitationsfeld sieht, muss man trotz abnehmender Bahngeschwindigkeit für höhere Bahnen mehr Energie aufbringen. Sofern dies möglich ist, nutzt man daher einen Zweiimpulstransfer (siehe unten).<\/p>\n

SSO: Sun\u2011Synchronous Orbit:<\/strong> Ein Orbit mit einer Bahnneigung etwas über 90\u202fGrad, typisch 95 bis 99\u202fGrad. Er verläuft daher nahezu über die Pole, aber rückwärts. Dieser besondere Orbit hat den Vorteil, dass die Passage eines Punktes auf der Erde immer zur gleichen lokalen Uhrzeit erfolgt, also z.\u202fB. immer zwischen 14:30 und 15:00 nachmittags. Das ist für Erdbeobachtung und Fotoaufklärung wichtig, da man so immer den gleichen Schattenwurf hat und so auch Fortschritte durch Vermessen der Schattenhöhe berechnen kann.<\/p>\n

PEO: Polar Earth Orbit:<\/strong> Ein Orbit, der genau über die Pole führt, und somit ist die ganze Erdoberfläche beobachtbar.<\/p>\n

GSO: Geosynchroner Earth Orbit:<\/strong> Ein Orbit, der über dem Äquator verläuft und eine Periode von 23\u202fStunden\u202f56\u202fMinuten hat. In genau derselben Zeit rotiert die Erde um ihre eigene Achse. Ein Satellit im GSO steht daher für einen Beobachter immer an derselben Stelle, was die Ausrichtung von Antennen stark erleichtert. Der GSO verläuft in rund 36.000\u202fkm Distanz von der Erde. Ist die Bahn leicht zum Äquator geneigt, dann bleibt der Satellit nicht stehen, sondern beschreibt eine Bahn in der Form einer \u201e8\u201c.<\/p>\n

GTO: Geosynchroner Transfer Orbit.<\/b><\/strong> Es ist sehr ungünstig, erst senkrecht in 36.000\u202fkm Höhe zu fliegen und dort in den Orbit umzulenken; um diese Höhe zu erreichen, braucht man fast die Fluchtgeschwindigkeit. Man bringt den Satelliten in zwei Schritten in den GTO. Zuerst transportiert man ihn in einen Orbit, dessen erdnächster Punkt einem LEO entspricht, dessen erdfernster dann im GSO liegt. Nach etwas mehr als 5\u202fStunden gelangt er dort an. Dort wird meist ein interner Antrieb gezündet, der den Satelliten nochmals beschleunigt, sodass er den GSO erreicht. Dabei wird auch die Bahnneigung, die jeder Satellit hat, außer er startet vom Äquator aus, abgebaut.<\/p>\n

Zwei Impuls Transfer<\/strong><\/h4>\n

Es ist energetisch günstiger, einen hohen Orbit nicht direkt zu erreichen, sondern über einen Umweg. Man bringt einen Satelliten zuerst in einen niedrigen Orbit. Je niedriger er ist, desto weniger Energie braucht man, weil zur Geschwindigkeit in der Kreisbahn \u2013 eine Zentrifugalkraft, die die Gravitationskraft in Schach hält \u2013 noch die potenzielle Energie aufzubringen ist, um diese Bahnhöhe überhaupt zu erreichen; das sind selbst bei niedrigen Orbits rund 1.800\u202fm\/s. Die Untergrenze setzt die Atmosphäre, die rasch immer dichter wird. Unter 160\u202fkm Höhe verglüht ein Satellit innerhalb eines Tages, das ist das absolute Minimum.<\/p>\n

Beschleunigt man aus diesem Orbit weiter, so weitet sich die Kreisbahn zur Ellipse auf. Man stoppt dies, wenn die gewünschte Zielbahnhöhe erreicht ist. Dann muss man warten, bis diese Höhe erreicht ist, nach einer halben Periode, bei niedrigen Erdorbits typisch 50\u202fMinuten. Dort angekommen würde der Satellit sich nun der Erde nähern. Deswegen zündet man erneut den Antrieb und zirkularisiert die Bahn.<\/p>\n

Der Vorteil ist nicht nur, dass man so die Ruheenergie im Gravitationsfeld aufbringen muss, sondern diese Strategie spart sogar noch Energie ein, wie dies beim Übergang LEO \u2192 GSO deutlich wird:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n
Bahn<\/td>\nBahnparameter<\/td>\nGeschwindigkeit<\/td>\nDifferenz<\/td>\n<\/tr>\n
LEO<\/td>\n200 km kreisförmig<\/td>\n7784 m\/s<\/td>\n+2458 m\/s<\/td>\n<\/tr>\n
GTO<\/td>\n200 x 36000 km<\/td>\n10.242 m\/s @ 200 km
\n1.590 m\/s @ 36000 km<\/td>\n		+1477 m\/s<\/td>\n<\/tr>\n
GSO<\/td>\n36000 km kreisförmig<\/td>\n3067 m\/s<\/td>\n+ 3935 m\/s<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die Differenz von LEO\u2011 und GSO\u2011Kreisbahngeschwindigkeit beträgt 7.784\u202f\u2013\u202f3.067\u202fm\/s\u202f=\u202f4.717\u202fm\/s, also rund 800\u202fm\/s mehr als die 3935 m\/s beim Zweiimpulstransfer. Man spart also Treibstoff ein. Allerdings kann nicht jede Rakete Zweiimpulsmanöver durchführen, denn dazu muss sie mehrmals zündbar sein. Ariane\u202f1\u20135 verwendeten über Jahrzehnte das nur einmal zündbare HM\u20117\u2011Triebwerk. Das war kein Nachteil, weil die meisten Starts in den GTO führten; da schaltete man das Triebwerk einfach nicht ab, wenn der LEO erreicht war, sondern erst, wenn das Apogäum in 36.000\u202fkm Höhe lag. Die Zirkularisierung führte dann der Satellit selbst durch. Es ist übrigens normal das im Peripunkt bei Ellipsen die Geschwindigkeit immer größer als die Kreisbahngeschwindigkeit in dieser Höhe ist und Apopunkt immer kleiner. Nur wenn der Satellit sich genau in einer Entfernung (vom Erdmittelpunkt) befindet die der Halbachse entspricht ist seine Geschwindigkeit gleich der lokalen Kreisgeschwindigkeit, aber sein Geschwindigkeitsvektor zeigt eben in eine andere Richtung.<\/p>\n

Bei den wenigen Starts von Ariane in sonnensynchrone Umlaufbahnen nahm aber dann die Nutzlast von Ariane viel stärker ab als bei anderen Trägern, weil man so beschleunigen musste, dass der niedrigste Bahnpunkt in der späteren Bahnhöhe (typisch 700\u2013800\u202fkm Höhe) liegt.<\/p>\n

Die Abbildung zeigt die Unterschiede bei zwei Ariane 5 Typen. Die geraden Bahnstücke sind jeweils ohne Antrieb durchgeflogene Kurven. Deutlich wird der Unterschied.<\/p>\n

<\/p>\n

Das wars für heute. Der nächste Artikel geht dann auf die Besonderheiten ein, wenn man nicht Bahnen um die Erde, sondern im Sonnensystem betrachtet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Im heutigen Teil des Grundlagen\u2011Kurses geht es um den Teil, der am meisten mit Mathematik verknüpft ist und wo es nur wenige einfache Gleichungen gibt. Aber ich will es trotzdem mal durchkauen und lasse eben das weg, was komplizierte Mathematik ist. Das Gravitationsgesetz Grundlage aller Bahnen ist das Gravitationsgesetz. 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