{"id":3967,"date":"2010-12-12T16:54:58","date_gmt":"2010-12-12T15:54:58","guid":{"rendered":"http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=3967"},"modified":"2010-12-12T22:39:56","modified_gmt":"2010-12-12T21:39:56","slug":"nix-mit-google-raetsel-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2010\/12\/12\/nix-mit-google-raetsel-3\/","title":{"rendered":"Nix mit Google R&auml;tsel 3"},"content":{"rendered":"<p>Also ich hatte mit mehr Beteiligung am letzten R&auml;tsel gerechnet. Keiner hat auch nur einen Ansatz versucht. Nicht einmal die SpaceX Fans haben sich versucht.<\/p>\n<p>Also mal f&uuml;r alle. Die Methode ist bew&auml;hrt und wurde von mir schon zur Rekonstruktion der Daten sowjetischer Tr&auml;ger herangezogen, als diese noch nicht ver&ouml;ffentlicht wurden. Man braucht nur ein paar Grundlagen der Physik. In diesem Falle eigentlich nur die Raketengrundgleichung. Sie lautet bei der Falcon 9 folgenderma&szlig;en<\/p>\n<p>v = v1 * ln (s1 \/ l1) + v2 * ln (s2 \/ l2).<\/p>\n<p>v1 und v2 sind die Ausstr&ouml;mgeschwindigkeiten der Gase der einzelnen Triebwerke<\/p>\n<p>S1 und S2 die Startmasse bei der Z&uuml;ndung und L1 und L2 die Leermasse beim Brennschluss.<!--more--><\/p>\n<p>F&uuml;r zwei Bahnen unterscheiden sich:<\/p>\n<ul>\n<li>die Zielgeschwindigkeit v<\/li>\n<li>die Startmasse und Leermassen der Stufen<\/li>\n<\/ul>\n<p>Da v ein Ergebnis der letzten sind das vier Unbekannte, also eigentlich mit nur zwei Zielgeschwindigkeiten nicht zu l&ouml;sen.<\/p>\n<p>Was macht man in der Physik, wenn man ein Problem nicht l&ouml;sen kann? Man vereinfacht es. Das allgemeine Dreik&ouml;rperproblem ist in der Astronomie nicht geschlossen l&ouml;sbar, aber das eingeschr&auml;nkte, bei der eine Masse viel weniger wiegt als die anderen beiden. Das ist hier genauso. Es ist nicht n&ouml;tig die ganze Gleichung aufzul&ouml;sen. F&uuml;r die erste Stufe ver&auml;ndert sich kaum etwas: der Unterschied in der Masse bei einer GTO Mission betr&auml;gt 6 t. Das ver&auml;ndert die Startmasse der Rakete gerade mal um 2%.<\/p>\n<p>Konzentrieren wir uns auf die zweite Stufe. Auch hier haben wir noch zwei Unbekannte. Man kann nun die Gleichung aufl&ouml;sen, das wird wegen des Therms nicht ganz einfach. Man kann aber eine erste Ann&auml;herung machen. Die erste ist diese: Bei einer LEO Nutzlast betr&auml;gt die Nutzlast 10.450 kg. Bei einer GTO Mission 4.540 kg. Man kann sich nun &uuml;berlegen, dass die Differenz an Gewicht Treibstoff ist, der ben&ouml;tigt wird um die Differenz an Geschwindigkeit aufzubringen:<\/p>\n<p>2428 m\/s = 3354 m\/s * ln ((x + 10450) \/ (x + 4540))<\/p>\n<p>nach Umformen kommt man zu:<\/p>\n<p>e(2428\/3354) * (x + 4540) = x + 10450<\/p>\n<p>oder<\/p>\n<p>2.062 x + 9363 = x + 10450<\/p>\n<p>x = 527 kg<\/p>\n<p>Das ist aber nur eine Seite. Es ist nun aber so, dass die zweite Stufe schon davon profitiert, dass die Nutzlast niedriger ist. Es gibt einen Unterschied ob 10450 kg in einen Orbit bef&ouml;rdert werden die man dann zu 60% als Treibstoff annimmt, oder ob es nur 4.540 kg sind. Da die Exponentialfunktion nicht linear ist ergeben sich hier unterschiede durch unterschiedliche Teiler. Dann ist das ganze aber nicht mehr geschlossen l&ouml;sbar und man muss den Computer bem&uuml;hen. Ich habe im <a href=\"\/download\/spacex-falcon9.ods\">folgenden &#8222;Mini&#8220; Spreadsheet<\/a> (Openoffice) die Treibstoffmasse basierend auf den SpaceX Angaben (360 s Brennzeit, 411 kN Schub) berechnet. Wie man leicht sieht, erreicht man aber nicht einmal bei 0 kg Leermasse f&uuml;r die zweite Stufe die geforderte Geschwindigkeitsdifferenz von 2456 m\/s.<\/p>\n<p>Nun muss man noch den Effekt der ersten Stufe ber&uuml;cksichtigen. Er ist gering, aber er ist vorhanden. Es sind etwa 220 m\/s. Reduziert man die Zielgeschwindigkeit um 220 m\/s, so bekommt man bei einer Trockenmasse von 500 kg tats&auml;chlich eine L&ouml;sung. Wiegt nun die zweite Stufe tats&auml;chlich nur 500 kg? Wohl kaum. Sie fasst doppelt so viel Treibstoff wie die Falcon 1 Erststufe, die 1360 kg wiegt. Real w&uuml;rde ich eine Trockenmasse von 2.500 kg ansetzen (600 kg f&uuml;r das Triebwerk und 1.900 kg f&uuml;r die Tanks, basierend auf den Falcon 1 Werten). Das hei&szlig;t aber, dass die GTO Nutzlast deutlich niedriger als angegeben ist. In jedem Falle scheint eine GTO Nutzlast von 40% der LEO-Nutzlast bei einem so spezifischen Impuls von 3354 m\/s kaum m&ouml;glich. Sie m&uuml;sste eher bei 30-35% liegen. Ich tippe so auf 3.300 kg bei 10.450 kg Nutzlast. (Simulation der Rakete mit realistischen Trockenmasse).<\/p>\n<p>So, nachdem dieses R&auml;tsel eigentlich schon viel leichter als das erste war nun nochmals eine Stufe niedriger.<\/p>\n<p><strong>Welcher Himmelsk&ouml;rper drohte durch Laufendes &#8222;Schrumpfen&#8220; verloren zu gehen?<\/strong><\/p>\n<p>Ich habe auch zwei Schnipsel f&uuml;r neue Musikr&auml;tsel von Alexander und Hans, aber erst mal m&uuml;ssen wir das von Arne noch l&ouml;sen. Ich hoffe da kommt noch ein Tipp und ein weiteres Schnipsel-<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Also ich hatte mit mehr Beteiligung am letzten R&auml;tsel gerechnet. Keiner hat auch nur einen Ansatz versucht. Nicht einmal die SpaceX Fans haben sich versucht. Also mal f&uuml;r alle. Die Methode ist bew&auml;hrt und wurde von mir schon zur Rekonstruktion der Daten sowjetischer Tr&auml;ger herangezogen, als diese noch nicht ver&ouml;ffentlicht wurden. 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