{"id":5448,"date":"2011-10-21T00:09:02","date_gmt":"2011-10-20T22:09:02","guid":{"rendered":"http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=5448"},"modified":"2011-10-18T11:19:18","modified_gmt":"2011-10-18T09:19:18","slug":"die-bedeutung-des-spezifischen-impulses-ein-beispiel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2011\/10\/21\/die-bedeutung-des-spezifischen-impulses-ein-beispiel\/","title":{"rendered":"Die Bedeutung des spezifischen Impulses &#8211; ein Beispiel"},"content":{"rendered":"<p>Ein Kennzeichen unserer PISA Generation ist ja, dass es mit Mathe nicht so weit her gehen. Es ist ja auch so in der Schule das unbeliebteste Fach. Und der Standardspruch ist nat&uuml;rlich immer: &#8222;wof&uuml;r brauch ich das mal sp&auml;ter im Leben?&#8220; Na zum Beispiel, wenn man sich f&uuml;r Raumfahrt interessiert, dass man nicht alles glauben muss was man liest und selbst nachpr&uuml;fen kann. Das ist n&auml;mlich bei vielen Dingen recht einfach und dazu braucht man nicht mal Excel. Ein Taschenrechner mit der ln\/exp Funktion reicht v&ouml;llig aus.<!--more--><\/p>\n<p>Also die Endgeschwindigkeit einer Stufe ist berechenbar nach:<\/p>\n<p class=\"style1\">Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit der Gase * ln (Masse bei der Z&uuml;ndung \/ Masse bei Brennschluss)<\/p>\n<p>Die Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit der Gase ist auch eine der m&ouml;glichen Definitionen des spezifischen Impulses. Wenn man mehrere Stufen hat, so setzt man die Rechnung f&uuml;r jede Stufe an, wobei man dann die Endgeschwindigkeiten addiert. Zwar erh&ouml;hen die Stufen die Masse bei Brennschluss, womit der Teiler in der ln-Funktion kleiner wird, aber aufgrund der Eigenschaft der Ln-Funktion immer langsamer anzusteigen wird es in der Summe trotzdem ein Gewinn.<\/p>\n<p>Ich will das heute mal bei einem sehr einfachen Beispiel demonstrieren, wie verschiedene spezifische Impulse sich auswirken. Wir nehmen mal an, wir sitzen bei der ESA und sollen eine neue Tr&auml;gerrakete konstruieren. Die Aufgabe: Sie soll 4 t in einen niedrigen Erdorbit bringen. Gegeben ist das wir die H10 Oberstufe der Ariane 4 als Oberstufe nehmen. Die erste Stufe m&uuml;ssen wir neu konstruieren. Danach haben wir folgende Angaben:<\/p>\n<ul>\n<li>die Nutzlast: 4.000 kg<\/li>\n<li>die Endgeschwindigkeit: 9.400 m\/s (enth&auml;lt auch den Energiebedarf f&uuml;r den Aufstieg soweie andere Dinge)<\/li>\n<\/ul>\n<p>die letzte Stufe: verwendet wird die H-10 mit folgenden Daten:<\/p>\n<ul>\n<li>Startgewicht: 13.660 kg<\/li>\n<li>Gewicht bei Brennschluss: 1.760 kg<\/li>\n<li>Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit der Gase: 4365 m\/s<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diese Daten enthalten auch das Gewicht der VEB, die mit in den Orbit gebracht wird. Damit kann man schon mal die Leistung dieser Stufe berechnen:<\/p>\n<p>v<sub>2<\/sub> = 4365 m\/s * ln (4000 + 13660 \/ 4000 + 1760)<\/p>\n<p>v<sub>2<\/sub> = 4890 m\/s<\/p>\n<p>Das bedeutet diese Stufe bringt schon mehr als die H&auml;lfte der Geschwindigkeit auf. Es verbleiben:<\/p>\n<p>v<sub>1<\/sub> = v &#8211; v<sub>2<\/sub><\/p>\n<p>v<sub>1<\/sub> = 9400 &#8211; 4890 m\/s<\/p>\n<p>v<sub>1<\/sub> = 4510 m\/s<\/p>\n<p>Die Unterstufe sollen wir nun aus drei M&ouml;glichkeiten w&auml;hlen:<\/p>\n<ul>\n<li>Treibstoff Wasserstoff\/Sauerstoff. Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit 4250 m\/s. Erreichbare Strukturmassenverh&auml;ltnisse: 10:1<\/li>\n<li>Treibstoff Kerosin\/Sauerstoff. Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit 3200 m\/s. Erreichbare Strukturmassenverh&auml;ltnisse: 20:1<\/li>\n<li>Treibstoff Feststoff. Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit 2800 m\/s. Erreichbare Strukturmassenverh&auml;ltnisse 13:1<\/li>\n<\/ul>\n<p>Das Strukturmassenverh&auml;ltnis ist der obige Teiler, also das Verh&auml;ltnis von Startmasse zur Masse bei Brennschluss, allerdings nur f&uuml;r diese Stufe, ohne Ber&uuml;cksichtigung dass sie noch die obige Stufe mit Nutzlast tragen muss.<\/p>\n<p>Setzt man x als die gesuchte Gr&ouml;&szlig;e (Stufenmasse beim Start), c als das gegebene Strukturverh&auml;ltnis und ber&uuml;cksichtigt man die schon bekannte Masse der Oberstufe mit Nutzlast, plus weiterer 1000 kg f&uuml;r eine Nutzlastverkleidung und den Stufenadapter so kann man die Formel auch so schreiben:<\/p>\n<p>v1 = v<sub>gas<\/sub> *\u00a0 ln ( x + 13660 + 4000 + 1000 \/ (x\/c) + 13660 + 4000 + 1000)<\/p>\n<p>v1 = v<sub>gas<\/sub> * ln (x + 18660 \/ (x\/c)+18660)<\/p>\n<p>Da X sowohl in Z&auml;hler wie Nenner enthalten ist, ist es nicht m&ouml;glich x auf eine Seite zu bringen. Was man machen kann ist, einfach mal mit einem einem Gewicht die Berechnung anfangen und sehen was rauskommt. Ist die Geschwindigkeit h&ouml;her als die 4510 m\/s, so kann man es erniedrigen, ist es kleiner so muss man erh&ouml;hen. Heute in Zeiten von Excel kann man das auch automatisieren.<\/p>\n<table border=\"0\" frame=\"VOID\" rules=\"NONE\" cellspacing=\"0\">\n<colgroup>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/> <\/colgroup>\n<tbody>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\" height=\"22\"><\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">LOX\/LH2<\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">LOX\/Kerosin<\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">Feststoff<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Vollmasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">50000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">73000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">122000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Strukturverh&auml;ltnis<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">10<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">20<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">13<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Leermasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">3650<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9384,62<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Oberstufe und Nutzlast<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Zielgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4250<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">3200<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">2800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"22\">Reale Geschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4527,87<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4521,76<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4515,14<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wenn man das macht, so kommt man darauf, dass die Unterstufe bei LOX\/LH2 ungef&auml;hr 50 t wiegt, bei LOX\/Kerosin etwa 73 t und bei Feststoff 122 t. Das LOX\/Kerosin so nahe am Wasserstoff liegt, hat neben dem niedrigen spezifischen Impuls nat&uuml;rlich auch mit der kleineren Leermasse zu tun. Trotzdem kann das doppelt so gute Strukturmasseverh&auml;ltnis nicht den nur um 30% kleineren spezifischen Impuls kompensieren. Ist er um rund 50% kleiner, wie bei Feststoff und auch das Strukturmassenverh&auml;ltnis nicht viel besser, so wird die Stufe schon zweieinhalbmal so gro&szlig;.<\/p>\n<p>Die Situation wird extremer, wenn die Geschwindigkeitsanforderung h&ouml;her wird. Nehmen wir dieselbe Oberstufe, diesmal aber nur 1 t auf einen Fluchtkurs in den GTO Orbit. (v12.60 m\/s). Die Oberstufe bringt dabei 7320 m\/s auf. 5280 bleiben f&uuml;r die erste Stufe. Obwohl also die unteres Stufe weitaus weniger zus&auml;tzlich leisten muss als die Oberstufe, sieht das Ergebnis ganz anders aus:<\/p>\n<table border=\"0\" frame=\"VOID\" rules=\"NONE\" cellspacing=\"0\">\n<colgroup>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/> <\/colgroup>\n<tbody>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\" height=\"20\"><\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">LOX\/LH2<\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">LOX\/Kerosin<\/td>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\">Feststoff<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Vollmasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">71000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">107000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">215000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Strukturverh&auml;ltnis<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">10<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">20<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">13<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Leermasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">7100<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5350<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">16538,46<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Oberstufe und Nutzlast<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">18660<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Zielgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4510<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4250<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">3200<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">2800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Reale Geschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5300,61<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5296,35<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5300,02<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Nun ist die Feststoffstufe schon dreimal so schwer bei nur rund 800 m\/s mehr Geschwindigkeitsanforderung. Die L&ouml;sung in der Praxis ist es dann nicht eine stufe einzusetzen, sondern eben zwei.<\/p>\n<p>Die Verh&auml;ltnisse sind noch extremer, wenn man zwei Stufen mit demselben Treibstoff einsetzt. Hier ebenfalls die Raketen f&uuml;r 4 t Nutzlast bei reinen LOX\/LH2, Kerosin und Feststoffantrieben. Die zweiten Stufen haben dabei die h&ouml;chsten spezifischen Impulse die heute in gebauten Triebwerken vorhanden sind:<\/p>\n<table border=\"0\" frame=\"VOID\" rules=\"NONE\" cellspacing=\"0\">\n<colgroup>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/>\n<col width=\"107\" \/> <\/colgroup>\n<tbody>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" width=\"107\" height=\"20\">erste Stufe<\/td>\n<td align=\"RIGHT\" width=\"107\">40000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\" width=\"107\">81000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\" width=\"107\">220000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Strukturverh&auml;ltnis<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">10<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">20<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">13<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Leermasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4050<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">16923,08<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">zweite Stufe<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">11500<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">20000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">30000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Leermasse<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">1150<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">1000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">2307,69<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Zielgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9400<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9400<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9400<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4250<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">3200<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">2800<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Ausstromgeschwindigkeit 2<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4500<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">3300<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">2900<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Reale Geschwindigkeit 1<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4445,37<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4223,91<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4499,65<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Reale Geschwindigkeit 1<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4958,29<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">5176,43<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">4885,31<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Endgeschwindigkeit<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9403,66<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9400,34<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">9384,96<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td align=\"LEFT\" height=\"20\">Startmasse Rakete<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">55500<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">105000<\/td>\n<td align=\"RIGHT\">254000<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Die LOX\/Kerosinl&ouml;sung ist nun doppelt so schwer, die reine Feststoffrakete sogar fast f&uuml;nfmal so schwer. Da der spezifische Impuls aber auch eine so starke Bedeutung hat, macht es einem auch recht einfach die Daten unbemannter Tr&auml;ger abzusch&auml;tzen. Kleine Fehler bei der Sch&auml;tzung von Leer- und Startmasse schlagen nicht so stark durch. Hauptsache, die Ausstr&ouml;mgeschwindigkeit ist bekannt. Wenn man zwei Nutzlastangaben f&uuml;r verschiedene Bahnen hat, die sich am besten etwas unterscheiden (z.B. GTO\/LEO), dann kann man sogar recht genau die Trockenmasse der letzten Stufe bestimmen, auch wenn man viel probieren muss. Zumindest, bei Firmen, bei denen die Angaben &#8222;echt&#8220; sind. Ich hatte ja schon mal die Angaben von SpaceX bezweifelt. Neben dem vergleich mit existierenden Tr&auml;gern derselben Technologie kommt man auch aus physikalischen &Uuml;berlegungen zu diesem Ergebnis. So gab SpaceX bis zum April dieses Jahres 10,45 t LEO und 4,5 t GTO Nutzlast an. 40% GTO Nutzlast ist aber physikalisch bei dem speifischen Impuls nicht m&ouml;glich (beziehungsweise nur, wenn die Oberstufe praktisch nichts (&lt;900 kg) wiegt). Nun gibt es ja eine neue Falcon, die ist um 50% gr&ouml;&szlig;er (480 t anstatt 330 t Startgewicht), die GTO Nutzlast ist aber gleich geblieben. <a href=\"http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2008\/10\/04\/wetten-dass-spacex-ler\/\">Vorhersagen<\/a> konnte ich das schon vor Jahren&#8230;.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein Kennzeichen unserer PISA Generation ist ja, dass es mit Mathe nicht so weit her gehen. Es ist ja auch so in der Schule das unbeliebteste Fach. 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