Ich habe mir überlegt ob ich aus gegebenem Anlass etwas über die Leute zu \tschrieben, die ich vorgestern im Gottesdienst kenne lernte und die ich sonst das \tganze Jahr über nicht in der Kirche sehe. Das alleine wäre nichts worüber \tman sich aufregen sollte. Doch wenn ich schon einmal im Jahr einen \tGottesdienst besuche, dann sollte man sich auch beteilligen und mitsingen \toder zumindest das Gebet mitsprechen. Wenn man kein Interesse an allem hat, \twarum geht man dann hin?<\/p>\n
Aber lassen wir das, ich habe mir vorgenommen heute mal wieder etwas \tWissen zu vermitteln und zwar über die Berechnung von Gesichtsfeldern und \tAuflösungsvermögen von optischen Instrumenten. Fangen wir an mit den \tEinheiten. Da man die dreidimensionale Welt auf eine zweidimensionale \tAbbildung reduziert, sind bei den Berechnungen zweidimensionale Einheiten \tüblich und nicht dreidimensionale wie der Steriant oder das \tQuadratbogengrad. Stattdessen sind zwei andere Einheiten üblich, zwei weil \tes zwei Gebiete gibt, die miteinander verbunden sind: Die Astronomie und die \tOptik.<\/p>\n
<\/p>\n
Zuerst einmal: Reduziert man die dreidimensionale Welt auf 2 Dimensionen \tso wird aus der Kugel um uns herum ein Kreis. In der Astronomie unterteilt \tman nun diesen Kreis in 360 Grad und jedes Grad in 60 Bogenminuten und jede \tBogenminute in 60 Bogensekunden. Einige Hilfestellungen: Der Mond und die \tSonne sind etwa 33 Bogenminuten oder ein halbes Grad groß und der Planet \tJupiter 48 Bogensekunden.<\/p>\n
Einheitskreis in Bogenmaß : 360 Grad x 60 Bogenminuten (‚) x 60 \tBogensekunden (")<\/strong><\/p>\n Der einfache und doppelte Strich sind das Symbol für Bogenminuten und \tBogensekunden. Das Symbol für Grad ist das bekannte ?. Das Auge kann unter \tidealen Bedingungen noch Details von 60 Bogensekunden oder einer Bogenminute \twahrnehmen.<\/p>\n Im Instrumentenbau verwendet man dagegen den Radiant zur Einteilung. Ein \tRadiant ist ein Kreisstück der Länge 1 bei einem Radius von 1. Da der ganze \tKreis 2 π Umfang hat, ist dies 1\/ 6.28 des Einheitskreises oder 57.29 Grad im \tBogenmaß. Bruchteile dessen sind dann Millrad (1\/1000 Rad) oder Mikrorad. \t(Ein Milionstel Rad). Eine \tBogensekunde ist z.B. 5 Mikrorad groß.<\/p>\n Die Definition des Radiant leitet uns über zum Kapitel Vergrößerungen. \tDer Radiant entspricht bei einer planetaren Abbildung der Tatsache, dass \tein Objekt von Größe 1 in einer Entfernung von 1 gesehen wird. Das ist die \tDefinition der Normalbrennweite. Dies sind also 57.3 Grad. Bei Detektoren \tnimmt man oftmals die Diagonale. Beim Kleinbildfilm von 35 x 24 mm Größe ist \tdie Diagonale 42.4 mm groß. Ein Objektiv mit einer Brennweite von 42.4 mm \that also Normalbrennweite. Eines mit einer kleineren Brennweite ist ein \tWeitwinkelobjektiv und eines mit einer kleineren Brennweite ein \tTeleobjektiv.<\/p>\n Die Abbildung ist leicht zu berechnen, wenn man Abmessungen oder \tdiagonale des Detektors kennt (D) und die Brennweite (f) der Optik, dann \tgilt in Radiant:<\/p>\n Abbildung (A) = Brennweite f \/ Detektorgröße D<\/strong><\/p>\n Bei 20 mm Detektor Größe und 2000 mm Brennweite ist die Abbildung dann \t0.01 Rad groß oder 0.573 Grad. Nun ja nicht ganz: Der genaue Term ist <\/p>\n A = 2 \t* atan ( D \/ 2 F)<\/strong><\/p>\n Da die meisten Kameras die man aber einsetzt (mit wenigen \tAusnahmen) vergrößernde Kameras sind, also Teleobjektive oder Teleskope, \tkann man die Bildfeldkrümmung vernachlässigen und den oberen Term benutzen. Für die Normalbrennweite erhält man beim vereinfachten Term 57.3 Grad und \tbei genauer Berechnung 53.13 Grad. Bei 30 Grad vereinfachter Rechnung ist \tder Unterschied schon viel kleiner und macht nur noch 0.7 Grad aus. (29.33 \tGrad).<\/p>\n Die gleichen Beziehungen gelten auch für einzelne Detektorelemente, womit \tman das Auflösungsvermögen bestimmt. Doch dieses ist nicht nur von der \tBrennweite abhängig, sondern auch von der Größe der Optik. Im Allgemeinen gilt:<\/p>\n Auflösungsvermögen = Wellenlänge \/ Optikdurchmesser<\/strong><\/p>\n Das ist das maximal erreichbare Auflösungsvermögen. Man kann zwar die \tBrennweite der Optik so verlängern, das ein Detektorelement kleiner als das \terreichbare Auflösungsvermögen ist, aber dann verschmiert man nur die \tAbbildung und erhält nur ein unscharfes Bild. Diese Formel ist allgemein und \tfür alle Wellenlängen anwendbar, daraus ergibt sich z.B. sofort, dass ein \tTeleskop welches Infrarotwellen bündelt, eine geringere Auflösung hat, als \teines im optischen Bereich und man im UV eine größere Auflösung hat (weshalb \tman bei der Belichtung der Masken bei Halbleiterelementen auch zu immer \tkleineren Wellenlängen übergeht).<\/p>\n Wenn man es auf den Spezialfall sichtbares Licht reduziert, so gibt es \tfolgende Faustregel :<\/p>\n Auflösung in Bogensekunden (bzw. 5 Mikrorad) = 122 \/ Optikdurchmesser in \tmm.<\/strong><\/p>\n (Das entspricht einer Wellenlänge von 595 nm. Diese Faustformel gilt (das \twird aber gerne vergessen) nur wenn im Strahlengang kein Fremdkörper ist, \talso für Linsenfernrohre oder Objektive. Wenn sich dort ein Fangspiegel \tbefindet, so bewirkt er eine Störung, die abhängig ist vom Durchmesser des Fangspiegels. Empirische (d.h. aus Erfahrung) stammende Relationen sind:<\/p>\n Auflösung in Bogensekunden (bzw. 5 Mikrorad) = 153 \/ Optikdurchmesser in \tmm. bei Fangspiegeldurchmesser < 25 % des Optikdurchmessers<\/strong><\/p>\n Auflösung in Bogensekunden (bzw. 5 Mikrorad) = 178 \/ Optikdurchmesser in \tmm. bei Fangspiegeldurchmesser 25- 40 % des Optikdurchmessers<\/strong><\/p>\n Größere Fangspiegel als 40 % und kleinere als 20 % sind recht selten. 25 \t% ist ein typischer Wert für Newton oder Cassegrain Teleskope, 35-40 % werden \tvon Schmidt oder Maksuov Teleskopen erreicht. Der Umrechnungsfaktor von RAD \tin Bogensekunden ist gegeben durch die Definition der Normalbrenweite. Es \tgilt:<\/p>\n 1 Bogensekunde = 1\/57.3 \/ 60 \/ 60 = 1 \/ 206280 Rad. <\/strong><\/p>\n Und 1 Rad ist 1 m Objektgröße in 1 m Entfernung. Wie groß ist nun das \tAuflösungsvermögen bei gegebenem Abstand? Nun für Teleobjektive und \tTeleskope gilt folgender einfache Zusammenhang, den man aus dem Strahlensatz \tableiten kann:<\/p>\n Größe Objekt \/ Entfernung = Größe Detektor \/ Brennweite<\/strong><\/p>\n Hat man 3 Dinge gegeben (in der Regel Entfernung, Brennweite und \tDetektorgröße) so kann man nach dem fehlenden Parameter umformen:<\/p>\n Größe Objekt= Größe Detektor \/ Brennweite * Entfernung<\/strong><\/p>\n Damit kann man praktisch alles berechnen. Nehmen wir die Kamera HiRISE an \tBord von MRO. Von dieser kennt man folgende Daten:<\/p>\n Optikdurchmesser: 50 cm Angaben der NASA über die Leistung des Teleskops:<\/p>\n Auflösung aus 300 km Entfernung: 30 cm<\/p>\n Nun wie hoch ist die theoretische Auflösung? Verwendet man die Formel für \tCassegrain Teleskope so erhält man:<\/p>\n Auflösung = 153 \/ 500 = 0.306 "<\/p>\n Welche Auflösung wird praktisch erreicht?<\/p>\n Auflösung = 0.3 m \/ 300.000 m = 1 Mikrorad Offensichtlich hat die NASA sich also eher an einem Refraktor orientiert \tund die Pixel kleiner gemacht als das theoretische Auflösungsvermögen. (Man \tfindet aber auch 35-40 cm aus 270 km Höhe, was dem berechneten Wert näher \tkommt, das hängt davon ab ob man die MRO oder HiRise Webseite besucht).<\/p>\n Ein anderes Beispiel: Die LORRI Kamera von New Horizons:<\/p>\n Optikdurchmesser: 208 mm Auch hier kann man die theoretische Auflösung errechnen und erhält:<\/p>\n Auflösung = 153 \/ 208 = 0.736 " Hier ist also die praktisch erreichte Auflösung kleiner als die \ttheoretisch möglich (das ist auch der Normalfall, die HiRise Kamera ist hier \teine echte Ausnahme). Man kann nun die Chipgröße berechnen und zwar gleich \tauf zweierlei Weise:<\/p>\n Blickfeld Detektor \/ 57.3 Grad = Größe Detektor \/ Brennweite<\/p>\n umgeformt zu:<\/p>\n Größe Detektor = Blickfeld Detektor \/ 57.3 Grad * Brennweite<\/p>\n wird:<\/p>\n Größe Detektor = 0.29 Grad \/ 57.3 * 2630 mm = 13.3 mm<\/p>\n oder über:<\/p>\n Detektorelemente * Auflösung Element (rad) * Brennweite = Detektorgröße<\/p>\n 1024 * 4.94e-6 * 2630 = 13.30 mm<\/p>\n Es handelt sich um einen CCD von E2V, Modell 47-20. Beim Hersteller \tfindet man eine Pixelgröße von 13 m für diesen Sensor, bei 1024 Elementen \tsind dies exakt 13.31 mm – die Rechnung liefert also das erwartete Resultat.<\/p>\n Als eine der Erkenntnisse gilt z.B.: Je kleiner ein Detektorelement ist, \tum so kurzbrennweitiger kann ein Instrument bei einer gegebenen Optik sein. \tDas nutzt man z.B. bei Digitalkameras aus. Ein Pixel hat dort nur noch etwa \t1.2-1.7 Mikrometer Größe. Eine Optik die beugungsbegrenzt ist muss dann nur \tnoch die 2-3 fachen Optikdurchmesser als Brennweite haben. Zusammen mit den \tkleinen Chipdurchmessern (typisch sind 6.5 x 4.5 mm) braucht man dann selbst \tfür große Vergrößerungen nur kleine Linsen und hat kurze Objektive.<\/p>\n Kennt man die Pixelgröße eines Sensors, so kann man über den Zusammenhang<\/p>\n 206280 \/ fak * Pixelgröße die Blende für ein System errechnen, bei dem \tder Chip beugungsbegrenzt abrietet, d.h. ein Sensorelement genau die \ttheoretische Auflösung wiedergibt.<\/p>\n der Faktor beträgt (wenn man die Pixelgröße in m angibt) 0.133 für \tLinsenfernrohre bzw. 0.153 und 0.178 für Spiegelfernrohre, entsprechend den \tFangspiegeln (es sind natürlich die obigen Faktoren nur eben in m \tangegeben). Für einen CCD von 13 ?m Größe errechnet man z.B. eine Blende von \t22, die LORRI Kamera hat nur eine von 12.8 (die Blende ist definiert als):<\/p>\n Blende = Brennweite Optik \/ Durchmesser Optik<\/strong><\/p>\n Allerdings hat das auch einen Preis: So kurzbrennweitige Objektive haben \thohe Bechungsindexes und erzeugen so leicht Farbfehler, da die Wellenlängen \tunterschiedlich gebrochen werden. Zudem müssen sie sehr genau gefertigt \twerden um bei den kleinen Detektorelementen noch scharfe Abbildungen zu \terzeugen. Vor allem aber sind die kleinen Pixels auch sehr lichtschwach. In \tder Astronomie und Raumfahrt ist seit 10 Jahren die Größe eines Pixels \tkonstant geblieben. sie liegt bei etwa 5-12 Mikrometern Breite, also 3-10 \tmal größer als ein Pixel in einer modernen Digitalkamera. Stattdessen \tfertigt man größere Chips oder Scanzeilen wie bei der HiRise Kamera und \tgrößere Flächen zu erfassen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Ich habe mir überlegt ob ich aus gegebenem Anlass etwas über die Leute zu schrieben, die ich vorgestern im Gottesdienst kenne lernte und die ich sonst das ganze Jahr über nicht in der Kirche sehe. Das alleine wäre nichts worüber man sich aufregen sollte. Doch wenn ich schon einmal im Jahr einen Gottesdienst besuche, dann […]<\/p>\n","protected":false},"author":169,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-84","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-allgemein","entry"],"a3_pvc":{"activated":false,"total_views":1685,"today_views":0},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack-related-posts":[{"id":4557,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2011\/04\/03\/atom-und-wahlnachlese\/","url_meta":{"origin":84,"position":0},"title":"Atom- und Wahlnachlese","author":"Bernd Leitenberger","date":"3. April 2011","format":false,"excerpt":"Nun einige Wochen nach dem Super-Gau von Japan wird es an der Zeit f?r eine Nachlese und zwar eine etwas allgemeiner gehaltene. Ich m?chte an dieser Stelle mal meine Einstellung zur Kernkraft in den letzten Jahrzehnten reflektieren. Ich war urspr?nglich f?r Kernkraft. Wie viele andere, glaubte ich an umweltfreundliche Energie\u2026","rel":"","context":"In "Allgemein"","block_context":{"text":"Allgemein","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/allgemein\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":5216,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2011\/08\/10\/fcea2\/","url_meta":{"origin":84,"position":1},"title":"FCEA2","author":"Bernd Leitenberger","date":"10. August 2011","format":false,"excerpt":"CEA2 (Chemical Equilibrium with Applications) ist ein seit gut 30 Jahren entwickeltes NASA Programm mit dem verschiedenste Probleme bei Gasphasen berechnet werden k\u00f6nnen. Ich beschr\u00e4nke mich auf das, was Raumfahrtliebhaber wohl am meisten machen: Die Berechnung der Performance von Triebwerken bei Raketen. Ich will die Benutzung des Programmes einmal erl\u00e4utern,\u2026","rel":"","context":"In "Raumfahrt"","block_context":{"text":"Raumfahrt","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg01.met.vgwort.de\/na\/89efc24160614a1a93d97d19447e81a6","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18542,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/02\/25\/mush-schleuder-auf-dem-mond\/","url_meta":{"origin":84,"position":2},"title":"Musks „Schleuder“ auf dem Mond","author":"Bernd Leitenberger","date":"25. Februar 2026","format":false,"excerpt":"Da k\u00fcndigt Jeff Bezos am 31.1.2026 an, das Blue Origin den Suborbitaltourismus f\u00fcr mindestens zwei Jahre einstellen will, um sich ganz auf den Blue Moon Mondlander zu konzentrieren. Und kaum ist das gesackt, will nun Elon Musk dann gleich eine ganze Stadt auf dem Mond bauen. (9.2.2026). Zufall? Anstatt das\u2026","rel":"","context":"In "Raumfahrt"","block_context":{"text":"Raumfahrt","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg07.met.vgwort.de\/na\/64ef0834094b4d9b9af02f70b7ad22f7","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18406,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2025\/09\/23\/der-blogautor-von-der-ki-beurteilt\/","url_meta":{"origin":84,"position":3},"title":"Der Blogautor von der KI beurteilt","author":"Bernd Leitenberger","date":"23. September 2025","format":false,"excerpt":"Ich nutze inzwischen auch eine KI. Prim\u00e4r zu Recherche, im Browser https:\/\/www.perplexity.ai die f\u00fcr Recherchen (nach Eigenauskunft) spezialisiert ist. Seit ich vor mehr als zwei Jahren die KI zum ersten Mal getestet habe, hat diese sich enorm gebessert. Sie fabuliert weniger und ist intelligenter. Damals konnte man noch die AI\u2026","rel":"","context":"In "Allgemein"","block_context":{"text":"Allgemein","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/allgemein\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg01.met.vgwort.de\/na\/c334c52e97b74da9b82424a9e80c6d97","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18511,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/01\/27\/musks-ki-rechenzentren-im-orbit\/","url_meta":{"origin":84,"position":4},"title":"Musks KI-Rechenzentren im Orbit","author":"Bernd Leitenberger","date":"27. Januar 2026","format":false,"excerpt":"Bei meinem regelm\u00e4\u00dfigen Besuch des Space Reviews stie\u00df ich auf diesen Artikel: SpaceX, orbital data centers, and the journey to Mars. Ich hatte in meiner Nachlese schon erw\u00e4hnt das Elon Musk, nachdem er dies lange verschoben hat nun plant SpaceX an die B\u00f6rse zu bringen. Ich meinte aber, das l\u00e4ge\u2026","rel":"","context":"In "SpaceX"","block_context":{"text":"SpaceX","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/spacex\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg06.met.vgwort.de\/na\/0ee72da693054bc3b5c3f00214a7e2b3","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":18605,"url":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2026\/03\/13\/artemis-berechnungen\/","url_meta":{"origin":84,"position":5},"title":"Artemis-Berechnungen","author":"Bernd Leitenberger","date":"13. M\u00e4rz 2026","format":false,"excerpt":"Wie ihr vielleicht schon mitbekommen habt, gibt es im Artemisprogramm Neuigkeiten. Da wurde zuerst eine neue Erdorbitmission zur Erprobung der Lander eingeschoben, Artemis III wird also nicht auf dem Mond landen. Die zweite Neuerung war das die Oberstufe EUS wegf\u00e4llt. Zuerst mal dazu. Ein Bericht des OMG, so eine Art\u2026","rel":"","context":"In "Raumfahrt"","block_context":{"text":"Raumfahrt","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/category\/raumfahrt\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/vg07.met.vgwort.de\/na\/8003982d62154aaf9914aedb1248c232","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_sharing_enabled":true,"amp_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/84","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/169"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=84"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/84\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=84"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=84"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=84"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\tBrennweite: 1200 cm
\tTyp: Cassegrain Teleskop
\tDetektoren: 2048 x 128 Pixel, 24 x 1.5 mm groß<\/p>\n
\tAuflösung = (1\/ 206280) * 1 Mikrorad = 0.206 Bogensekunden.<\/p>\n
\tBrennweite: 2630 mm
\tDetektor: 1024 x 1024 Pixel
\tBlickfeld: 0.29 Grad
\tAuflösung 4.94 ?rad<\/p>\n
\tAuflösung = (0.736\/ 206280) = 3.56 ?rad<\/p>\n