{"id":8489,"date":"2013-11-05T00:00:09","date_gmt":"2013-11-04T23:00:09","guid":{"rendered":"http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/?p=8489"},"modified":"2014-04-10T16:12:00","modified_gmt":"2014-04-10T14:12:00","slug":"optimierung-von-tankdurchmessern","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2013\/11\/05\/optimierung-von-tankdurchmessern\/","title":{"rendered":"Optimierung von Tankdurchmessern"},"content":{"rendered":"

Es gibt verschiedenste Möglichkeiten, Raketentanks zu konstruieren. Manche davon sind recht nahe liegend, bei anderen dagegen fragt man sich, wie die Konstrukteure überhaupt auf die Idee gekommen sind. Als Beispiel fällt mir der Block DM http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/block-d.shtml<\/a>\u00a0der Zenith ein, dessen schlechte Tankform sich in einer enormen Leermasse niederschlägt. Häufiger kommt aber eine andere Tankart vor, bei der ein verschlossener Zylinder den Treibstoff und den Oxidator aufnimmt. Mitunter sind auch beide Tanks kugelförmig. Mit der Optimierung und Masseberechnung dieser beiden Bauformen habe ich mich beschäftigt. Mittlerweile ist auch ein Folgeaufsatz <\/a>erschienen, bei dem es noch ausführlicher unkonventionelle Tankbauformen geht (unter anderem mit Lösung für das Seifenblasentankproblem).<\/p>\n

Der Blogeintrag ist zweigeteilt: Zunächst geht es um zylinderförmige Tanks, während danach kugelförmige Tanks folgen.<\/p>\n

Zylinderförmige Tanks<\/h2>\n

Das Ziel besteht darin, mit einigen gegebenen Daten eine minimale Tankmasse und den dazugehörigen Durchmesser zu errechnen, woraus sich andere Größen wie die Tanklänge ergeben. Angenommen werden Tanks mit halbkugelförmigen Zylinderverschlüssen. Vorher muss noch zwischen zwei Unterarten unterschieden werden:<\/p>\n

-gemeinsamer Tank für Oxidator und Treibstoff mit Zwischenboden<\/p>\n

\"Gemeinsametanks\"<\/a><\/p>\n

-getrennte Tanks für Oxidator und Treibstoff mit Verbindungsstruktur<\/p>\n

\"Getrennte<\/a><\/p>\n

Um dieses Problem zu lösen, habe ich mich der \u201eTabellenkalkulations-Probiermethode\u201c bedient: Ein Startwert wird in kleinen Abständen variiert, wobei die kleinste Masse die Lösung darstellt.<\/p>\n

Damit der folgende Text nachvollziehbar ist, sollte man sich zuerst die am Ende angehängten Tabellen herunterladen.\u00a0In den Tabellen müssen grundsätzlich nur Treibstoffmasse und Treibstoffeigenschaften angegeben werden. Als Ergebnis gibt es einen optimalen Durchmesser, die minimale Masse und die Darstellung des Tankmasseverlaufs bei verschiedenen Radien in einem Diagramm.\u00a0Um die Berechnung jedoch wirklichkeitsnäher zu machen, habe ich einige Einstellungsmöglichkeiten vorgesehen:<\/p>\n

-Flächenmasse pro m^2<\/p>\n

-Aufschlag für den halbkugelförmigen Zylinderverschluss als Verhältnis des Flächenmasse Verschluss\/ Normalflächenmasse<\/p>\n

-Aufschlag für den Zwischenboden als Verhältnis des Flächenmasse Zwischenboden\/ Normalflächenmasse<\/p>\n

Für die getrennte Tankform fällt der Zwischenboden weg, dafür kommt eine zylindrische Verbindungsstruktur dazu:<\/p>\n

-Aufschlag Zwischenstruktur als Verhältnis Zwischenstruktur Flächenmasse\/Normalflächenmasse<\/p>\n

-zusätzlicher Abstand zwischen den innenliegenden Tankenden in m<\/p>\n

-Masse Zwischenstruktur in kg<\/p>\n

Wird der Aufschlag für die Zwischenstruktur auf 0 gesetzt, so kann mit der Angabe der Masse der Zwischenstruktur ein Fixwert für den Verbindungsteil festgelegt werden, hilfreich z.B. bei einer Gitterstruktur.\u00a0Die Kalkulationstabelle berechnet dann für den immer in geringen Abständen geänderten Radius andere Größen wie die Tanklänge, woraus sich der Oberflächeninhalt und die Masse ergibt.<\/p>\n

„Mathematische“ Lösung<\/h4>\n

Eine zweite Lösungsmöglichkeit wäre der \u201emathematische\u201c Weg, bei dem der Punkt errechnet wird, bei dem der Anstieg der Masse als Funktion des Radius 0 ist. Mein Onkel (der praktischerweise Mathematiker ist) hat das mal gemacht. K steht immer für ein Verhältnis. Als Ergebnis bekommt man natürlich keine Tankmasse, sondern nur den optimalen Radius:<\/p>\n

Kv=Verschluss<\/p>\n

Kz=Zwischenboden (gemeinsam) bzw. Zwischenstruktur (getrennt)<\/p>\n

R=optimaler Radius<\/p>\n

Vo=Oxidatorvolumen<\/p>\n

Vt=Treibstoffvolumen<\/p>\n

Vo=Oxidatorvolumen<\/p>\n

Gemeinsame Tanks<\/h4>\n

r= ((Vo + Vt)\/2*PI*(2Kv + Kz \u2013 4\/3))^(1\/3)<\/p>\n

Getrennte Tanks,<\/h4>\n

Spezialfall zusätzlicher Abstand zwischen den Tankenden = 0<\/p>\n

r = (2*(Vo + Vt) \/ (16*PI*Kv – 32\/3*PI + 8*PI*Kz))^(1\/3)<\/p>\n

Wichtig: Der kleinere der beiden Tanks muss mindestens kugelförmig sein. Zur Überprüfung wird der Radius einer Kugel mit dem kleineren Volumen berechnet und der Wert mit dem Optimum verglichen, wobei der Kugelradius kleiner\/gleich sein muss. Ist das nicht der Fall, so hat der Tank eine Linsenform aus zwei zusammengesetzten Kugelsegmenten, die anders berechnet werden müssen. Der optimale Radius mit einem mindestens kugelförmigen kleinsten Tanks ist dann derjenige, bei dem der kleinste Tanks gerade noch kugelförmig ist. In meiner Berechnungstabelle ist der maximale Radius der Startwert, der in kleinen Schritten reduziert wird, sodass dieser Fehler nicht auftreten kann.<\/p>\n

Beispiel:<\/span><\/strong><\/h3>\n

Für eine typische Oberstufe, ich habe hier als Beispiel die \u201erussische Standardoberstufe\u201c (siehe http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2013\/08\/13\/eine-russische-standardoberstufe\/<\/a>) genommen, sehen die Ergebnisse folgendermaßen aus:<\/p>\n

Gemeinsame Tanks:<\/h4>\n

Eingabe:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Treibstoffmasse in t<\/td>\n20,5<\/td>\n<\/tr>\n
Dichte Treibstoff in g\/m^3<\/td>\n0,069<\/td>\n<\/tr>\n
Dichte Oxidator in g\/m^3<\/td>\n1,14<\/td>\n<\/tr>\n
Aufschlag Verschluss<\/td>\n1<\/td>\n<\/tr>\n
Aufschlag Zwischenboden<\/td>\n1<\/td>\n<\/tr>\n
Oberflächenmasse in kg\/m^2<\/td>\n13<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Ergebnisse:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Volumen Oxidator<\/td>\n\n

15,41<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\u00a0Volumen Treibstoff<\/td>\n\n

42,44<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Gesamtvolumen<\/td>\n\n

57,86<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Minimale Tankmasse<\/td>\n\n

1276<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Optimaler Radius<\/td>\n\n

1,75<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Optimaler Durchmesser<\/td>\n\n

3,5<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\"Gemeinsametanksdiagramm\"<\/a><\/p>\n

Die kleinen Zahlen unter dem Diagramm sind zu ignorieren.<\/p>\n

Getrennte Tanks<\/h4>\n

Eingabe wie bei den gemeinsamen Tanks, Zwischenstrukturverhältnis =1, zusätzliche Länge = 0,2m<\/p>\n

Ergebnisse:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Volumen Oxidator<\/td>\n15,41<\/td>\n<\/tr>\n
Volumen Treibstoff<\/td>\n42,44<\/td>\n<\/tr>\n
Gesamtvolumen<\/td>\n57,86<\/td>\n<\/tr>\n
Minimale Tankmasse<\/td>\n1631<\/td>\n<\/tr>\n
Optimaler Radius<\/td>\n1,39<\/td>\n<\/tr>\n
Optimaler Durchmesser<\/td>\n2,78<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\"Getrenntetanksdiagramm\"<\/a><\/p>\n

Man erkennt, dass getrennte Tanks in der Regel einen kleineren Durchmesser haben sollten als gemeinsame Tanks. Der optimale Durchmesser beträgt 2,78m gegenüber 3,5m. Der nageliegende Grund besteht in der größeren Anzahl an Böden, deren Oberfläche in der zweiten Potenz mit dem Radius steigt.<\/p>\n

Kugelförmige Tanks<\/h2>\n

Für kugelförmige Tanks gibt es grundsätzlich zwei Anordnungen<\/p>\n

-Treibstoff und Oxidator in je einem Tank, wobei die Tanks übereinander liegen und durch eine Struktur verbunden sind, annäherungsweise bei der Delta IV realisiert<\/p>\n

-Treibstoff und Oxidator befinden sich in mehreren Tanks, die auch nebeneinander liegen können, wie z.B. bei der EPS der Ariane 5 G bis GS und ES<\/p>\n

Für die zweite Variante lassen sich schlecht Verallgemeinerungen durchführen, da man hier sehr beliebig bauen kann. Für die erste dagegen kann man neben der Tankmaße und Masse auch die Masse der Zwischenstruktur berechnen.\u00a0Der hier angenommene Idealfall ist, dass beide Tanks durch eine kegelstumpfförmige Struktur verbunden sind. An dieser Stelle möchte ich nun meinen Lösungsweg vorstellen.<\/p>\n

\"image1\"<\/a><\/p>\n

Gegeben sind zwei Tanks mit den Radien r1<\/sub> um den Mittelpunkt A und r2<\/sub> um den Mittelpunkt C. Zwischen beiden Tanks besteht ein Abstand Ab. Gesucht ist die Oberfläche der Mantelfläche eines Kegelstumpfes, der die Oberfläche beider Kugeln so berührt, dass beide Flächen an der Schnittkante zueinander parallel sind.<\/p>\n

Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes errechnet sich mit folgender Formel:<\/p>\n

M=(R+r)*\u03c0*c mit R und r gleich dem Radius an der Berührungsfläche und c gleich dem Abstand der Berührungsflächen. Da keine der Größen außer den anfangs genannten bekannt ist, müssen einige Zwischenberechnungen durchgeführt werden.\u00a0Begonnen wird zunächst mit der einfach zu berechnenden Länge von c:<\/p>\n

c=c\u2018<\/p>\n

\u221a c\u20182<\/sup>=g2<\/sup>-a2<\/sup>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 a=\u2502r1<\/sub>-r2<\/sub>\u2502 Es wird der Betrag errechnet, um vorher keinen Vergleich der Radien durchführen zu müssen.<\/p>\n

c\u2018=\u221a(g2<\/sup>-\u2502r1<\/sub>-r2<\/sub>\u25022<\/sup>)<\/p>\n

Nun zur Berechnung der beiden Radien, wobei fortan immer von Kreis statt Kugel die Rede sein wird:<\/p>\n

\"image2\"<\/a><\/p>\n

Die Strecke EH ist parallel zu AH (der Überstrich fehlt, weil weder die Textverarbeitung noch HTML eine Möglichkeit dafür bietet, jedenfalls meines Wissens nach). Auf dieser Strecke stehen zwei durch die Endpunkte verlaufende Senkrechte. Diese schneiden die den Kreis in je zwei Punkten, wobei die diese verbindende Strecke genau die Länge des Durchmessers hat. Die Senkrechten werden durch eine durch die Punkte C und A verlaufende Gerade so geschnitten, dass zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen.<\/p>\n

\"image3\"<\/a><\/p>\n

Die beiden Dreiecke ENA und DCO sind einander ähnlich und winkelgleich. Die Strecken NE und OD entsprechen den gesuchten Radien. Um ihre Länge berechnen zu können, werden zuerst die Winkel AEN und CDO benötigt.\u00a0Es gilt: AEN=CDO=DEH=GAC<\/p>\n

sin(GAC)=a\/g a=\u2502r1<\/sub>-r2<\/sub>\u2502 g=r1<\/sub>+r2<\/sub>+zusätzlicher Abstand<\/p>\n

GAC=sin-1<\/sup>(\u2502r1<\/sub>-r2<\/sub>\u2502\/g)<\/p>\n

R=NE<\/p>\n

r=OD<\/p>\n

cos(GAC)=R\/r1<\/sub><\/p>\n

R=cos(GAC)*r1<\/sub><\/p>\n

cos(GAC)=r\/r2<\/sub><\/p>\n

r=cos(GAC)*r2<\/sub><\/p>\n

Beispiel:<\/strong><\/h3>\n

Eingabe<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Masse Treibstoff in t<\/td>\n\n

20,50<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Mischungsverhältnis<\/td>\n\n

6,00<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Dichte Treibstoff in g\/cm3<\/sup><\/td>\n\n

0,069<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Dichte Oxidator in g\/cm3<\/sup><\/td>\n\n

1,14<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Abstand zwischen den Tanks<\/td>\n\n

0,00<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Aufschlag Verbindungsstruktur<\/td>\n\n

1,00<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
Masse Zwischenstruktur<\/td>\n\n

0,00<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Oberflächenmasse in kg\/m2<\/sup><\/td>\n\n

13,00<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Ergebnisse:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Volumen Oxidator<\/td>\n\n

15,41<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Volumen Treibstoff<\/td>\n\n

42,44<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Gesamtvolumen<\/td>\n\n

57,86<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Tankmasse<\/td>\n\n

1700,07<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Durchmesser Oxidatortank<\/td>\n\n

3,09<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

Durchmesser Treibstofftank<\/td>\n\n

4,33<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

„Seifenblasen-Tanks“:<\/h3>\n

Bei der Beschäftigung mit Raketentanks kam mir die Idee, zwei kugelförmige Tanks so zu verbinden, dass sie sich ein einer Fläche berühren. Sicher hat jeder das Bild vor Augen, wenn sich zwei annähernd kugelförmige Seifenblasen verbinden und zwischen beiden eine Kreisfläche entsteht, daher auch der Name. Bei Raketentanks ist diese wahrscheinlich optimale Form allerdings nicht machbar. Zum einen muss der Treibstoff eine Mulde haben, in der er sich bei einem fast leeren Tank sammeln kann, zum anderen müsste eine ebene, Kreisförmige Trennwand strukturell verstärkt sein, sodass mögliche Massevorteile wieder aufgehoben werden. Realisierbar sollte allerdings ein Kugelförmiger Tank sein, der unterschiedlich weit in den zweiten hineinragt. Dadurch ist kann unter Umständen die Verbindungsstruktur zwischen Oxidator- und Sauerstofftank eingespart werden, welche bei getrennten Kugeltanks nötig ist. Die Lage des kugelförmigen Tanks sollte Variabel sein. Treibstoff kann sich ein einer Art Schüssel genauso sammeln wie in einer Rinne.\u00a0Sollte die Verbindungsstelle der beiden Tanks nicht in der Lage sein, alle Kräfte aufzunehmen, so wäre wieder eine separate Verbindungsstruktur nötig. Für ihre Berechnung \u00a0wird wie bei den getrennten kugelförmigen Tanks verfahren.<\/p>\n

\"Seifenblasenkugeltanks\"<\/a><\/p>\n

Jeder der Tanks hat einen Radius r, hier mit\u00a0 r1<\/sub> und r2 <\/sub>bezeichnet. Die Einrückungstiefe des einen Tanks wird mit h1<\/sub> bezeichnet, der Abstand der Berührungsstelle der Kugeln mit dem Mittelpunkt des unteren Tanks mit. h2<\/sub>. Der Radius einer gedachten Kreisfläche auf Höhe der Berührungsstelle\u00a0 heißt b. Der Radius des ersten Tanks ergibt sich durch umstellen der einfachen Volumenformel einer Kugel. Der obere Tank habe das Volumen V1<\/sub>, der untere das Volumen V2<\/sub>:<\/p>\n

V1<\/sub>=4\/3* \u03c0*r1<\/sub><\/p>\n

r1<\/sub>=3*V1<\/sub>\/(4*\u03c0)<\/p>\n

b ist nach dem Satz des Pythagoras:<\/p>\n

b=\u221a(r1<\/sub>2<\/sup>-(r1<\/sub>-h1<\/sub>)2<\/sup>)<\/p>\n

Die Höhe h2<\/sub> lässt sich ähnlich mit<\/p>\n

h2<\/sub>=\u221a(r2<\/sub>2<\/sup>-b2<\/sup>)<\/p>\n

 <\/p>\n

Der zweite Tank lässt sich in eine Halbkugel und eine Kugelschicht abzüglich eines Kugelsektors mit den Maßen h1<\/sub> und b zerlegen. Das Volumen beträgt somit:<\/p>\n

V2<\/sub>=2\/3\u03c0r3<\/sup>+ \u2159\u03c0h2<\/sub>*(r2<\/sub>2<\/sup>+b2<\/sup>+h2<\/sub>2<\/sup>)- \u2159*\u03c0h1<\/sub>(3b2<\/sup>+h1<\/sub>2<\/sup>)<\/p>\n

Da h2<\/sub> unbekannt ist, muss diese Variable durch h2<\/sub>=\u221a(r2<\/sub>2<\/sup>-b2<\/sup>) ersetzt werden:<\/p>\n

V2<\/sub>=2\/3\u03c0r3<\/sup>+ \u2159\u03c0*\u221a(r2<\/sub>2<\/sup>-b2<\/sup>)*2*r2<\/sub>2<\/sup>– \u2159*\u03c0h1<\/sub>(3b2<\/sup>+h1<\/sub>2<\/sup>)<\/p>\n

Leider ist es meines Wissens nach nicht möglich, Gleichungen fünften Grades und höher zu lösen. Beim Auflösen der Wurzel wird man diese Grenze wahrscheinlich überschreiten, jedenfalls gab Wolfram Alpha keine eindeutige Lösung aus. Zwar gibt es Näherungsverfahren zur Lösung, aber ich stelle mir das Aneignen und vor allem die Umsetzung per Tabellenkalkulation als sehr aufwendig vor. Ich habe das Problem erst spät festgestellt, und so möchte ich den Lösungsweg bis dahin nicht vorenthalten. Ich habe allerdings eine Idee, wie das Problem zu umgehen ist, sodass später eine Erweiterung folgen könnte. Leider produzierten die alternativen Wege bisher bei der Lösung richtige Riesenformeln, mit denen sich eher schlecht arbeiten lässt.<\/p>\n

Abschließender Vergleich<\/h2>\n

Bei der Konstruktion von Raketen ist es nicht möglich, immer die für die jeweilige Stufe optimale Form wählen, da auch andere Kriterien wie Aerodynamik oder Stabilität hineinspielen. Außerdem muss die Rakete als Gesamtsystem gesehen werden. Eine optimale Oberstufe kann zu einer suboptimalen Unterstufe führen und umgekehrt. Zudem bezog sich die Optimierung nur auf die Tanks und ihre Zwischenstruktur. Zwischenstufen und Nutzlastadapter wurden nicht mit einbezogen. Trotzdem kann ein Vergleich zwischen verschiedenen Bauformen gezogen werden. Da alle Verhältnisse auf 1 gesetzt werden, wird nur die Gesamtoberfläche ausgerechnet und mit der Flächenmasse=13kg\/m^2\u00a0multipliziert, es finden also keine Differenzierungen zwischen Seitenwand, Struktur und Zwischenboden statt. Die Seifenblasentanks könnten eine weitere Verbesserung bringen, wenn nur die zuvor geschilderten Berechnungsprobleme nicht wären.<\/p>\n

Vorher noch vollen Respekt an diejenigen, die dem Text bis hierher gedanklich gefolgt sind, ich würde meine eigenen Erklärungen wahrscheinlich nicht verstehen \ud83d\ude09<\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\nGemeinsame Tanks<\/td>\nGetrennte Tanks<\/td>\nGetrennte Kugeltanks<\/td>\nGetrennte Kugeltanks ohne Zwischenstruktur<\/td>\n<\/tr>\n
Volumen in m2<\/sup><\/td>\n57,86<\/td>\n57,86<\/td>\n57,86<\/td>\n57,86<\/td>\n<\/tr>\n
Masse in kg<\/td>\n1276<\/td>\n1631<\/td>\n1700<\/td>\n1154<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Hier der Link zu meinen Berechnungs-Tabellen:<\/p>\n

Zylinderförmige Tanks:<\/p>\n

.xlsx-Format:<\/p>\n

Gemeinsame Tanks<\/a><\/p>\n

Getrennte Tanks<\/a><\/p>\n

.ods-Format:<\/p>\n

Gemeinsame Tanks<\/a><\/p>\n

Getrennte Tanks<\/a><\/p>\n

Kugelförmige Tanks:<\/p>\n

.xlsx-Format:<\/p>\n

Getrennte Kugeltanks<\/a><\/p>\n

.ods-Format:<\/p>\n

Getrennte Kugeltanks<\/a><\/p>\n

Die Quelle für die Oberflächenmasse pro m^2 war dieser Beitrag:\u00a0http:\/\/www.bernd-leitenberger.de\/blog\/2013\/06\/17\/wir-basteln-uns-eine-oberstufe\/<\/a><\/p>\n

\u00a0\"\"<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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