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Fraktale und Julia Mengen

GrundFraktalFraktale haben ihre besten Zeiten hinter sich, sie waren groß "en Vogue" in den achtziger Jahre als man sie auf jedem Computer sehen konnte. Das besondere an Fraktalen beziehungsweise den mit ihnen verwandten Julia Mengen ist das sie selbstähnliche Strukturen sind, d.h. zoomt man in das Bild hinein, so sieht man immer wieder dieselben Strukturen auftauchen. Das war damals auch Bestandteil von Theorien, die diesen Tatbestand über die Natur übertrugen, so sehen Küstenlinien in jedem Maßstab in etwa gleich aus, genauso Wasserläufe vom Rinnsal bis zum Fluss. Beim Normalfraktal (Ausgangsgrafik: Bild links)( ist es das Apfelmännchen, das man wie man im zweiten Bild sieht, bei höheren Zoomstufen wiederfindet.

Fraktale, nach dem Mathematiker Benoit Mandelbrot auch Mandelbrot-Mengen benannt, waren damals auch populär um die Rechengeschwindigkeit von Computern zu messen. Der Rechner des Autors damals, ein 8 Bit Rechner mit einer Z80 CPU und 4 MHz, ein CPC 464 brauchte für das Grundfraktal das beim Start gezeigt wird in dieser Darstellung etwa eine Stunde, wobei der größte Teil auf das Berechnen entfiel, heute schafft es mein (nicht gerade taufrischer Rechner von 2009) in weniger als einer Sekunde, die meiste Zeit geh für das Setzen der Bildpunkte drauf. Das eigentliche Rechnen ist in 0,06 Sekunden erledigt, er ist also rund 50.000 mal schneller.

Warum die Grafiken so rechenintensiv sind, hat mit dem Formeln zu tun. Es wird nicht der Bildpunkt nach dem Funktionswert einer Formel eingefärbt, sondern die Koordinaten eines Bildpunktes sind Startwerte für eine komplexe Größe in einer Formel. Die X-Koordinate steht für den Realteil die Y -Koordinate, für den Imaginärteil. Das erhaltene Ergebnis, wieder eine komplexe Zahl, wird dann erneut in die Formel als Rechenwert verwendet und dies so lange wiederholt bis der Absolutwert der Zahl eine Grenze überschreitet. Der Bildpunkt wird dann eingefärbt je nach Anzahl der Wiederholungen, der Iterationstiefe. In der Mitte des Fraktals, wo es schwarz ist, wird die Funktion niemals das Abbruchkriterium erreichen. Damit der Rechner nicht unendlich lange rechnet, muss man daher eine Grenze vorgeben, ab der dann die Berechnung abbricht, dann wird der Bildpunkt schwarz eingefärbt.

  1. ZoomDies tun sie in dem Menü Parameter" mit der "Abbruchtiefe". Erhöhen sie diese so sehen sie bei größeren Zooms mehr Details, erniedrigen sie diese, geht es schneller. Beim Grundfraktal muss die Abbruchtiefe nicht sehr hoch liegen. 30 bis 50 ist da ausreichend, je kleinere Gebiete sie sehen (die Koordinaten stehen unten links) desto höher kann man den Wert ansetzen.
  2. Die beiden Mandelbrotparameter sind Konstanten in der Formel. Sie beeinflussen die Form. Der Parameter 2 ist der Absolutwert ab der die Iteration abgebrochen wird und Parameter 1 ein Multiplikationsfaktor.
  3. Analoges gilt bei den Juiamengen die nun weniger Apfelmännchen ähneln, sondern bei geeigneter Parameterwahl vielmehr Verästelungen die an die Verzweigungen von Nervenzellen oder Pilzmycel erinnern. (Drittes Bild von oben)

Die Bedienung des  Programmes geht sehr einfach durch die Menüs. Sie können zudem ein Bild in die Zwischenablage als Bitmap kopieren oder speichern. Die Farbgebung wird durch einen Multiplikationsfaktor angepasst, den sie eingeben können. Mit ihm wird das Funktionsergebnis multipliziert und man erhält einen RGB Wert mit dem der Punkt eingefärbt wird. Je nach Wahl kann man so Farbverläufe oder Stufen erhalten, sogar Gemisch (zuerst Verlauf, dann Stufe mit erneutem Verlauf).

Das Zoom geht auch sehr einfach mit der Maus:

Julia MengeDas eigentliche Programm ist so einfach, das man es sich fast nicht getraut den Quelltext beizulegen. Ich habe es trotzdem getan, weil sich vielleicht der eine oder andere dafür interessiert. Ich habe ihn früher als Beispiel in den Vorlesungen für die Benutzung der Leinwand (Canvas) und der Maus genutzt. Er ist daher auch nicht auf Geschwindigkeit optimiert. Das Programm wurde mit Delphi XE2 erstellt, verwendet aber keine Besonderheiten dieses Delphis. (Es basiert auf einem Vorläufer erstellt mit Delphi 4, nur habe ich das nicht mehr zum Kompilieren zur Hand). Es sollte mit jeder älteren Version nach leichten Anpassungen (auskommentieren unbekannter Instruktionen sowie Rückumbenennung der Units wie "VCL.Forms" in "Forms" kompilieren lassen. In 15 Minuten war es in ein Lazarus Projekt umgewandelt. Der Quelltext für beide Entwicklungsumgebungen befindet sich auch im Paket, ebenso wie die ausführbare Version für 32 Bit-Windows und 64 Bit-Windows. Die 64 Bit Version rechnet doppelt so schnell, da allerdings der Großteil der Zeit nur auf den Bildaufbau entfällt schlägt sich deis nicht in der Performance nieder.

Download von Fraktal

Fraktal ist Freeware. Es läuft unter Windows XP, Vista und Windows 7 (32 und 64 Bit Versionen). Wie alle meine Programme, benötigt es keine Installation. Kopieren sie es einfach in ein Verzeichnis ihrer Wahl und starten sie es von dort.

Wenn sie das Programm gut finden, so können sie mittels Paypal für das Programm spenden.

Zum Thema Computer ist auch von mir ein Buch erschienen. "Computergeschichte(n)" beinhaltet, das was der Titel aussagt: einzelne Episoden aus der Frühzeit des PC. Es sind Episoden aus den Lebensläufen von Ed Roberts, Bill Gates, Steve Jobs, Stephen Wozniak, Gary Kildall, Adam Osborne, Jack Tramiel und Chuck Peddle und wie sie den PC schufen.

Das Buch wird abgerundet durch eine kurze Erklärung der Computertechnik vor dem PC, sowie einer Zusammenfassung was danach geschah, als die Claims abgesteckt waren. Ich habe versucht ein Buch zu schreiben, dass sie dahingehend von anderen Büchern abhebt, dass es nicht nur Geschichte erzählt sondern auch erklärt warum bestimmte Produkte erfolgreich waren, also auf die Technik eingeht.

Die 2014 erschienene zweite Auflage wurde aktualisiert und leicht erweitert. Die umfangreichste Änderung ist ein 60 Seiten starkes Kapitel über Seymour Cray und die von ihm entworfenen Supercomputer. Bedingt durch Preissenkungen bei Neuauflagen ist es mit 19,90 Euro trotz gestiegenem Umfang um 5 Euro billiger als die erste Auflage. Es ist auch als e-Book für 10,99 Euro erschienen.

Mehr über das Buch auf dieser eigenen Seite.

Hier geht's zur Gesamtübersicht meiner Bücher mit direkten Links zum BOD-Buchshop. Die Bücher sind aber auch direkt im Buchhandel bestellbar (da ich über sehr spezielle Themen schreibe, wird man sie wohl kaum in der Auslage finden) und sie sind natürlich in den gängigen Online-Plattformen wie Amazon, Libri, Buecher.de erhältlich.


© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.
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