Derzeit baue ich mein Programm „Rakete“ wieder um. Es begann mal als Berechnungsprogramm für die Nutzlast von Raketen, hat sich inzwischen aber zum universellen Berechnungstool für die Raumfahrt gemausert. Inzwischen nutze ich auch KI dafür, nach einigen schlechten Erfahrungen ausschließlich Claude. Ein vollkommen neuer Programmteil ist der Lambert‑Solver, der damit entstand. Die Kernroutinen zur Lösung des Lambert‑Problems stammen von der KI, die Iterationen, Visualisierungen und Suchmethoden, um das Optimum zu finden, stammen von mir.
Vorweg: Immer wenn man Code von einer KI erstellen lässt, besonders wenn es welcher ist, den man nicht versteht – hier die Umformung der astronomischen Gleichungen zur Lösung des Problems – muss man intensiv testen, in meinem Falle, indem ich zuerst historische Startdaten überprüft habe und dann Vorhersagen mit dem NASA Trajectory Browser gegengecheckt habe.
Aber zuerst: Was ist ein Lambert‑Solver und was ist das Lambert‑Problem? Das Lambert‑Problem ist eigentlich ganz einfach. Ich bin in einem Ausgangsorbit an einer bestimmten Position und will nach einer vorgegebenen Zeit in einem neuen Orbit an einer Position sein. Was muss ich tun, um dahin zu kommen? Der Lambert‑Solver bestimmt den Geschwindigkeitsvektor beim Start, den ich brauche, um einen Übergangsorbit zur richtigen Zeit zu erreichen, und welchen Geschwindigkeitsvektor ich brauche, um den Übergangsorbit dort in den neuen Orbit umzuwandeln. Das braucht man immer, wenn zwei Körper in unterschiedlichen Orbits ein Rendezvous durchführen. Also eine Raumsonde, die zu einem Himmelskörper fliegt, oder ein Raumschiff, das an der ISS andocken will. Man kann aber auch einfach den Geschwindigkeitsvektor für beliebige Orbitübergänge berechnen. In dem Fall sollte, um den Aufwand zu minimieren, der Solver multiorbitfähig sein. Das ist meiner nicht. Er dient zur Berechnung von Startfenstern und dem Geschwindigkeitsaufwand. Die nötigen Daten bekommt er über eine Text‑API vom NASA‑New‑Horizons‑Web‑Interface, die ich mit einem ebenfalls von der KI geschriebenen Parser auswerte.
Füttert man ihn z. B. mit den Daten von Europa Clipper (Start: 14. 10. 2024, Marsvorbeiflug am 1. 3. 2025), so erhält man folgende Daten:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 14.10.2024 | |
| Startentfernung: | 148,09 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 36.206,4 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 01.03.2025 | |
| Entfernung: | 247,65 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 24.295,5 | m/s |
| Differenz Start: | 6.560,9 | m/s |
| Differenz Ankunft: | 10.212,8 | m/s |
| Summe Δv: | 16.773,7 | |
| Differenz Fluchtgeschwindigkeit Start: | 1.806,8 | |
| Differenz Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 6.438,4 | |
| Differenz Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 8.245,2 | |
| Transferbahn Perihel: | 147,49 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | 403,58 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 2,047 | Grad |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 912 Tage | 2 J 182 d |
| Flugzeit: | 138 Tage | 138 d |
Europa Clipper schlug also eine sehr elliptische Bahn ein, deren sonnenfernster Punkt in über 400 Millionen km Distanz von der Sonne liegt. Der erste Block von Geschwindigkeitsdifferenzen bezieht sich auf die Sonnenumlaufbahn. Der zweite Block mit niedrigeren Geschwindigkeiten ist das, was die Sonde aufzubringen hat, wenn sie einen Orbit verlässt oder in einen Orbit einschwenkt, relativ zur Fluchtgeschwindigkeit (dazu kommt noch die Differenz der Orbitgeschwindigkeit im Peripunkt zur Fluchtgeschwindigkeit).
In unserem Fall musste die Falcon Heavy Europa Clipper um 1,8 km/s über die Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen, wenn diese also bei 11 km/s (typisch für einen 200‑km‑Orbit) liegt, auf rund 12,8 km/s.
Die Bahn sieht dann so aus:
Startfenster
Wie schon gesagt nutze ich das Programm für die Berechnung von Startfenstern. Das Lambert‑Problem hat zwei Unbekannte: den Startzeitpunkt und den Ankunftszeitpunkt. Die Positionen lassen sich über die Orbitalgleichung für jeden Zeitpunkt berechnen, genau das macht das NASA‑Web‑Horizons‑Interface. Wenn man nur an den Planeten interessiert ist, dann kann man dies auch einfach über die wahre Anomalie und die bekannten Orbitparameter berechnen, aber mein Programm funktioniert so mit jedem Himmelskörper, für den Daten vorliegen. Hier die Startfenster über 10 Jahre zu dem exotischen Kleinplaneten Chiron, der zwischen Saturn und Uranus seine Kreise zieht.
Früher dachte ich, man würde zum besten Zeitpunkt starten. Das ergibt sich bei mir aus der Logik, das Optimum zu suchen. Inzwischen bin ich schlauer. Es wird das Ankunftsdatum festgelegt, und der Beginn und das Ende des Startfensters ist durch die Leistung der Trägerrakete vorgegeben. Damit reduziert man die Zahl der Unbekannten auf eine: das Startdatum.
Der Grund ist ganz einfach: Die Missionsplanung steht lange vor dem Start. Es gibt viele Gründe dafür. So kann bei der Ankunft der Planet hinter der Sonne sein; dann verhindert die Radiostrahlung der Sonne jede Kommunikation. Aus diesem Grund wurde die Ankunft von Galileo bei Jupiter um zwei Monate verschoben. Oft ist die gesamte Mission vorgeplant, also was die Sonde wann beobachten soll. Da wäre es dumm, wenn das Datum variabel wäre. Schlussendlich kann es sein, dass man ein Datum strategisch festlegen will. So war bei Deep Impact und Pathfinder das Ankunftsdatum fix auf den 4. 7. festgelegt, den Unabhängigkeitstag der USA.
Aufgetragen sind die drei Geschwindigkeiten relativ zu den Planeten. Die Δv-Start ist die Geschwindigkeit, die eine Raumsonde über die Fluchtgeschwindigkeit erreichen muss, um den Mars an der Zielposition zum Zielzeitpunkt zu treffen. Die Δv-Ankunft ist die Geschwindigkeit, die man mindestens aufwenden muss, um in einen ersten Orbit um Mars einzuschwenken (real etwas mehr, sonst ist der Orbit instabil). Und das letzte ist die Summe, relevant, wenn man diese minimieren will.
Man sieht: Die Kurven verlaufen weitestgehend synchron. So ist gerade heute ein schlechter Tag zum Starten, zusammen müsste man fast 20 km/s aufwenden. Die niedrigste Startgeschwindigkeit für diese Reisezeit gibt es am 13. 11. 2026 mit 653 m/s über der Fluchtgeschwindigkeit, die niedrigste Ankunftsgeschwindigkeit dagegen beim Start am 28. 12. 2026 mit 1.191 m/s, und die niedrigste Summe liegt am Start am 3. 12. 2026 mit 2.552 m/s vor.
Dass zwischen den Startfenstern die Geschwindigkeit hochgeht, liegt daran, dass irgendwann die Erde den Mars überholt und man dann richtig schnell starten muss, um ihn einzuholen. (Alle Simulationen sind prograd, also in Richtung der Planeten; man kann auch retrograde Simulationen machen, doch die ergeben noch höhere Geschwindigkeiten.)
Doch das ist nur eine Lösung für eine Bahn, in diesem Fall 210 Tage Umlaufszeit. Lässt man die Optima für unterschiedliche Flugzeiten laufen, so bekommt man (diese Abbildung):
Logisch ist, dass „schnelle“ Bahnen enorm viel Geschwindigkeit benötigen. Bei diesem Startfenster 2026/2028 läge das Optimum so um 300 Tage. Genau sind es 294 Tage für die minimale Startgeschwindigkeit (494 m/s), 306 Tage für die Ankunft (665 m/s) und 312 Tage für die Summe (1.106 m/s). Für die minimale Startgeschwindigkeit erhält man also ein optimales Startfenster im Zeitraum Ende Oktober/Anfang November 2026 mit einer Ankunft in der zweiten Augusthälfte 2027.
Hier die 10 besten Bahnen:
Wir haben ein typisches Hohmann‑Typ‑II‑Startfenster. Walter Hohmann, deutscher Ingenieur, berechnete in den Zwanzigerjahren als erster die beste Transferbahn zwischen zwei Orbits, also z. B. um von der Erde zum Mars zu kommen. Das Optimum liegt vor, wenn der Winkel zwischen Start‑ und Ankunftspunkt 180 Grad beträgt, die Transferbahn halb durchlaufen wird. Das sind die Hohmann‑Transferbahnen. Die Flugzeit ist die halbe Umlaufszeit der Transferbahn, die wiederum von den Abständen der Planeten abhängt. Beim Mars schwankt diese relativ stark zwischen 206 und 249 Millionen km (etwa 238 bis 283 Tage in der Transferbahn).
Für eine der Bahnen sähen die Daten z. B. so aus:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 28.10.2026 | |
| Startentfernung: | 148,10 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 33.075,7 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 28.08.2027 | |
| Entfernung: | 229,56 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 21.397,6 | m/s |
| Δv Start: | 3.143,6 | m/s |
| Δv Ankunft: | 2.674,8 | m/s |
| Summe Δv: | 5.818,4 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 440,04 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 684,92 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 1.125,0 | |
| Abstand Start: | 219,12 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 288,11 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 147,86 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | 232,16 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 0,645 | Grad |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 522 Tage | 1 J 157 d |
| Flugzeit: | 304 Tage | 304 d |
Die Transferbahn führt weiter hinaus, bis auf 232 Millionen km, obwohl nur 229,56 Millionen km gereicht hätten. Die Transferbahn hat so eine Umlaufdauer von 1 Jahr 157 Tagen, gereicht hätten 1 Jahr 155 Tage. Eine Bahn mit einer Flugzeit, die länger ist als bei einer Hohmann‑Bahn, ist eine Hohmann‑Typ‑II‑Bahn; das Gegenteil ist eine Hohmann‑Typ‑I‑Bahn. Beide schneiden die Zielbahn, anstatt sich an sie anzuschmiegen. Bei einer Hohmann‑Typ‑I‑Bahn wird das Aphel nicht durchlaufen, und beim Typ II wird es durchlaufen. Wie man an der Grafik sieht, liegen die beiden Punkte auch nicht 180 Grad auf gegenüberliegenden Seiten.
Warum kommt nicht die Hohmann‑Bahn heraus? Weil keiner der Planeten die Sonne auf der gleichen Ebene (Ekliptik) wie die Erde umkreist. Ihre Bahnen sind alle geneigt:
- Merkur: ca. 7,0°
- Venus: ca. 3,4°
- Erde: 0,0° (da sie per Definition als Referenzebene dient)
- Mars: ca. 1,9°
- Jupiter: ca. 1,3°
- Saturn: ca. 2,5°
- Uranus: ca. 0,8°
- Neptun: ca. 1,8°
- Pluto: ca. 17 Grad
Ich muss also die Bahnebene ändern, und zwar umso mehr, je weiter der Planet am Zielpunkt sich von der Ekliptik entfernt. Die Erde umkreist die Sonne mit knapp 30 km/s. Eine Änderung um 1 Grad bedeutet eine zusätzliche Geschwindigkeit von mehr als 500 m/s – deutlich höher als der Aufwand, um in der obigen Ellipse zum Mars zu gelangen. Daher ist die optimale Bahn eine, bei der dieser Abstand von der Erdbahnebene minimal ist, und das kann sein, wenn man den Mars vor oder nach dem optimalen Punkt passiert, allerdings nur wenig, denn sonst steigt der Geschwindigkeitsaufwand wieder an.
Bei jedem Startfenster gibt es zwei Minima: einmal für die Hohmann‑Typ‑I‑Bahn und einmal für die Typ‑II‑Bahn. Eine von beiden ist die bessere. Dieses Jahr ist es Typ II, wie auch die Ausgabe des NASA Trajectory Browsers zeigt:
Die ersten beiden Bahnen sind Typ‑II‑Bahnen, die anderen dann Typ‑I‑Bahnen. Bei ihnen muss man 2026 mehr Geschwindigkeit aufbringen.
Experimente
Man kann das Programm dann natürlich für verschiedene Experimente nutzen. So wird ja immer wieder propagiert, man sollte doch, um die Belastung der Personen zu verringern, schnell zum Mars fliegen. 100 Tage Flugzeit werden vorgeschlagen. Also: Was ist das beste Startfenster in den nächsten zwei Jahren mit 100 Tagen Reisedauer?
Wenn ich die Ankunftsgeschwindigkeit ignoriere, da man ja direkt landet und sie so zum Teil durch die Atmosphäre abbaut, so ergibt sich als Optimum ein Start am 18. 12. 2026 mit einer Ankunft am 28. 3. 2027:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 18.12.2026 | |
| Startentfernung: | 146,47 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 37.874,8 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 28.03.2027 | |
| Entfernung: | 248,73 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 26.254,6 | m/s |
| Δv Start: | 8.606,8 | m/s |
| Δv Ankunft: | 14.415,1 | m/s |
| Summe Δv: | 23.022,0 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 2.965,2 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 10.338,3 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 13.303,5 | |
| Abstand Start: | 154,05 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 120,92 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 144,10 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | 558,13 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 1,674 | Grad |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 1313 Tage | 3 J 218 d |
| Flugzeit: | 100 Tage | 100 d |
Der Preis ist eine extreme Steigerung der Startgeschwindigkeit. Typische Differenzen zur Fluchtgeschwindigkeit bei optimalen Bahnen liegen bei Mars unter 600 m/s, und hier sind es fast 3 km/s. Und man nähert sich auch dem Mars sehr schnell: Anstatt mit < 1 km/s sind es hier über 10 km/s. Da fällt es schwer zu glauben, dass man diesen Überschuss bei der dünnen Marsatmosphäre abbauen kann.
Der Periheldurchgang von Halley 1986 war damals ein Medienereignis. Er zieht auf einer extrem elliptischen, noch dazu retrograden Bahn seine Kreise. Wenn man in 10 Jahren zu Halley will: Was wäre der ideale Zeitpunkt?
Ich errechne den 6.9. 2036 mit einer Ankunft am 6.9.2047. Man braucht 11,4 km/s mehr als die Fluchtgeschwindigkeit, das ist heute nicht machbar. Dazu kommt eine Ankunftsgeschwindigkeit von über 13 km/s, da bleibt nicht viel Zeit für Beobachtungen. Der späte Termin liegt daran, dass Halley sich inzwischen wieder nähert iw man auch am Unterschied zwischen dem Abstand bei Start und Ankunft sieht (das Aphel hat er 38 Jahre nach dem Periheldurchgang also 2024 durchlaufen)
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 06.09.2036 | |
| Startentfernung: | 151,04 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 42.095,5 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 06.09.2046 | |
| Entfernung: | 3.939,2 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 9.040,0 | m/s |
| Δv Start: | 19.517,7 | m/s |
| Δv Ankunft: | 13.221,2 | m/s |
| Summe Δv: | 32.739,0 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 11.399,7 | |
| Abstand Start: | 4.976,4 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 4.042,0 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 144,73 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | -18.676,2 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 20,815 | Grad |
| Flugzeit: | 3652 Tage | 10 J 2 d |
Uranus und Neptun sind weit entfernt. Auf Hohmann‑Bahnen braucht man 16 bzw. 30 Jahre, um sie zu erreichen. Wenn man maximal 10 Jahre Zeit hat, wie viel Geschwindigkeit muss man aufwenden? Bei der hohen Umlaufszeiten der Planeten gibt es jedes Jahr ein Startfenster, das sich über die Jahre kaum unterscheidet:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 26.07.2027 | |
| Startentfernung: | 152,48 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 40.827,2 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 23.07.2037 | |
| Entfernung: | 2.801,1 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 4.535,7 | m/s |
| Δv Start: | 11.579,0 | m/s |
| Δv Ankunft: | 6.362,6 | m/s |
| Summe Δv: | 17.941,6 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 4.968,3 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 934,40 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 5.902,7 | |
| Abstand Start: | 2.987,0 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 2.951,8 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 152,47 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | 3.425,2 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 2,040 | Grad |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 15101 Tage | 41 J 136 d |
| Flugzeit: | 3650 Tage | 10 J |
Bei Uranus reicht noch eine etwas elliptische Umlaufbahn. Ich muss knapp 5 km/s beim Start aufwenden und kommt mit einem kleinen Überschuss von unter 1 km/s an. Das kann ich durch Verlängern der Flugzeit kaum verbessern. Es sind zusammen rund 5,9 km/s. Das Optimum errechne zu 5,65 km/s bei 5710 Tagen also mehreren Jahren mehr. Anders sieht es bei Neptun aus. Die optimale Bahn mit 10 Jahren Reisedauer ist diese:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 22.05.2027 | |
| Startentfernung: | 151,98 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 42.572,6 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 19.05.2037 | |
| Entfernung: | 4.461,6 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 11.182,5 | m/s |
| Δv Start: | 13.314,3 | m/s |
| Δv Ankunft: | 11.813,7 | m/s |
| Summe Δv: | 25.128,1 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 6.267,4 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 2.812,6 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 9.080,0 | |
| Abstand Start: | 4.554,7 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 4.591,3 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 151,77 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | -4.202,3 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 3,019 | Grad |
| Flugzeit: | 3650 Tage | 10 J |
Hier erreiche ich 10 Jahre Flugzeit nur durch eine hyperbolische Bahn. Die Startgeschwindigkeit ist mit 6,3 km/s etwas höher als bei Uranus, aber vor allem kommt man mit 2,8 km/s relativ zu einem Orbit an. Das heißt: Um in eine Umlaufbahn anzukommen, muss ich um mindestens 3 km/s abbremsen, was praktisch mit chemischem Antrieb unmöglich ist. Die Geschwindigkeit bei der Ankunft (weniger als beim Start) nimmt aber schnell mit steigender Reisedauer ab.
Lasse ich mir 12 Jahre Zeit, so sind es schon 5,8 km/s beim Start und 1,8 km/s bei der Ankunft (Startdatum übrigens fast dasselbe, weil zwei Erdjahre auch zwei Umläufe bedeuten). Das Optimum für die Gesamtgeschwindigkeit habe ich bei einer Reisedauer von 5.234 Tagen, über 14 Jahre, dafür komme ich nur mit 1,1 km/s relativ an:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum: | 22.05.2027 | |
| Startentfernung: | 151,98 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit: | 41.571,9 | m/s |
| Ankunftsdatum: | 20.09.2041 | |
| Entfernung: | 4.460,1 | Mill. km |
| Ankunftsgeschwindigkeit: | 6.392,3 | m/s |
| Δv Start: | 12.533,4 | m/s |
| Δv Ankunft: | 7.451,9 | m/s |
| Summe Δv: | 19.985,4 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Start: | 5.673,0 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Ankunft: | 1.157,7 | |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit Gesamt: | 6.830,7 | |
| Abstand Start: | 4.554,7 | Mill. km |
| Abstand Ankunft: | 4.343,5 | Mill. km |
| Transferbahn Perihel: | 151,41 | Mill. km |
| Transferbahn Apohel: | 14.073,9 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 4,210 | Grad |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 119731 Tage | 328 J 11 d |
| Flugzeit: | 5235 Tage | 14 J 125 d |
