Während ich fleißig an meinem Programm weiterarbeite, möchte ich einige Ergebnisse zeigen, die ich mit meinem Lambert-Solver gewonnen habe. Ich beginne mit der MMX-Mission, die am 19. Oktober gestartet ist. Alle folgenden Datumsangaben nach dem Startdatum sind leider nur noch näherungsweise:
- August 2027: Ankunft am Mars
- Dezember 2028: Abwurf von IDEFIX
- 2029 bis 2030: irgendwann in diesem Zeitraum Bodenprobenentnahme
- Spätjahr 2030: Verlassen des Mars
- Juli 2031: Ankunft der Bodenproben auf der Erde
Diese grobe Zeitskala könnte ich noch verstehen, wenn die Mission Ionentriebwerke, wie die beiden Raumsonden der JAXA verwenden würde, die bereits Bodenproben genommen haben, nämlich Hayabusa und Hayabusa 2. Da diese Antriebe sehr lange Schubphasen besitzen, plant man größere Zeiträume ohne Antrieb ein, um Störungen und Kursabweichungen abfangen zu können.
MMX verfügt jedoch nur über einen chemischen Antrieb. Daher müsste sich die Sonde eigentlich weitgehend nach den Gesetzen der Himmelsmechanik richten. Also rechne ich die Mission einmal nach, und zwar zunächst für das optimale Szenario.
Startfenster
Da die Reisedauer nicht genauer bekannt ist, denn der Ankunftszeitraum „August 2027“ umfasst immerhin einen Zeitraum von 31 Tagen, muss ich etwas herumspielen. Das ergibt ein Fenster von 285 bis 316 Tagen Flugzeit. Also lasse ich meinen Lambert-Solver nach den Optima suchen:
| Start | Ankunft | Flugdauer | dv Flucht-Start | dv Flucht-Ankunft | dv Flucht-Gesamt |
|---|---|---|---|---|---|
| 19.10.2026 | 31.08.2027 | 316,00 | 476,59 | 699,30 | 1175,89 |
| 20.10.2026 | 01.09.2027 | 316,00 | 471,57 | 696,75 | 1168,32 |
| 21.10.2026 | 02.09.2027 | 316,00 | 467,16 | 694,42 | 1161,59 |
| 22.10.2026 | 03.09.2027 | 316,00 | 463,33 | 692,35 | 1155,68 |
| 23.10.2026 | 04.09.2027 | 316,00 | 460,05 | 690,52 | 1150,57 |
| 24.10.2026 | 05.09.2027 | 316,00 | 457,27 | 688,96 | 1146,23 |
| 25.10.2026 | 06.09.2027 | 316,00 | 454,96 | 687,67 | 1142,63 |
| 26.10.2026 | 06.09.2027 | 315,00 | 452,56 | 686,61 | 1139,17 |
| 27.10.2026 | 06.09.2027 | 314,00 | 450,61 | 685,63 | 1136,24 |
| 28.10.2026 | 07.09.2027 | 314,00 | 449,53 | 684,68 | 1134,22 |
| 29.10.2026 | 07.09.2027 | 313,00 | 448,47 | 683,81 | 1132,28 |
| 30.10.2026 | 07.09.2027 | 312,00 | 447,92 | 683,03 | 1130,95 |
| 31.10.2026 | 07.09.2027 | 311,00 | 447,97 | 682,33 | 1130,30 |
| 01.11.2026 | 07.09.2027 | 310,00 | 448,69 | 681,71 | 1130,41 |
| 02.11.2026 | 07.09.2027 | 309,00 | 450,17 | 681,18 | 1131,36 |
| 03.11.2026 | 07.09.2027 | 308,00 | 452,50 | 680,75 | 1133,25 |
| 04.11.2026 | 07.09.2027 | 307,00 | 455,77 | 680,40 | 1136,17 |
| 05.11.2026 | 07.09.2027 | 306,00 | 460,05 | 680,17 | 1140,22 |
| 06.11.2026 | 18.09.2027 | 316,00 | 465,39 | 698,99 | 1164,39 |
| 07.11.2026 | 19.09.2027 | 316,00 | 470,87 | 702,68 | 1173,56 |
| 08.11.2026 | 20.09.2027 | 316,00 | 477,27 | 706,89 | 1184,16 |
| 09.11.2026 | 21.09.2027 | 316,00 | 484,59 | 711,64 | 1196,23 |
Ich habe am 19.10. begonnen, weil Startfenster so definiert sind: Der erste Tag des Startfensters ist der Tag, bei die Rakete H3 die MMX zum Mars entsenden kann, dann sinkt die Energie auf ein Minimum ab und steigt dann wieder an, sodass sich das Fenster wieder schließt. Hier steigt die Startgeschwindigkeit über die Fluchtgeschwindigkeit von 699,3 m/s am 19.10.2026 bis auf 712 m/s an. Das Minimum wird am 31.10.2026 mit etwas über 447 m/s erreicht. Ihr seht auch, das die Flugzeit variiert und nicht konstant ist. Hier liegt sie zwischen 306 und 316 Tagen. Setzt man dagegen den Starttag auf den 19.10.2026 fest und variiert den Ankunftstag über den August 2027 so erhält man folgende Tabelle:
| Starttag | Ankunftstag | Flugzeit | Δv Flucht Start | Δv Flucht Ankunft | Δv Flucht Summe |
|---|---|---|---|---|---|
| 19.10.2026 | 01.08.2027 | 286,00 | 493,03 | 935,01 | 1428,05 |
| 19.10.2026 | 02.08.2027 | 287,00 | 490,90 | 919,95 | 1410,85 |
| 19.10.2026 | 03.08.2027 | 288,00 | 488,96 | 905,51 | 1394,47 |
| 19.10.2026 | 04.08.2027 | 289,00 | 487,19 | 891,68 | 1378,87 |
| 19.10.2026 | 05.08.2027 | 290,00 | 485,57 | 878,43 | 1364,00 |
| 19.10.2026 | 06.08.2027 | 291,00 | 484,10 | 865,74 | 1349,84 |
| 19.10.2026 | 07.08.2027 | 292,00 | 482,76 | 853,60 | 1336,36 |
| 19.10.2026 | 08.08.2027 | 293,00 | 481,55 | 841,99 | 1323,53 |
| 19.10.2026 | 09.08.2027 | 294,00 | 480,45 | 830,90 | 1311,35 |
| 19.10.2026 | 10.08.2027 | 295,00 | 479,46 | 820,31 | 1299,77 |
| 19.10.2026 | 11.08.2027 | 296,00 | 478,57 | 810,22 | 1288,79 |
| 19.10.2026 | 12.08.2027 | 297,00 | 477,79 | 800,61 | 1278,39 |
| 19.10.2026 | 13.08.2027 | 298,00 | 477,09 | 791,47 | 1268,56 |
| 19.10.2026 | 14.08.2027 | 299,00 | 476,48 | 782,79 | 1259,27 |
| 19.10.2026 | 15.08.2027 | 300,00 | 475,95 | 774,57 | 1250,52 |
| 19.10.2026 | 16.08.2027 | 301,00 | 475,50 | 766,79 | 1242,29 |
| 19.10.2026 | 17.08.2027 | 302,00 | 475,13 | 759,45 | 1234,58 |
| 19.10.2026 | 18.08.2027 | 303,00 | 474,83 | 752,54 | 1227,37 |
| 19.10.2026 | 19.08.2027 | 304,00 | 474,60 | 746,06 | 1220,65 |
| 19.10.2026 | 20.08.2027 | 305,00 | 474,43 | 739,99 | 1214,42 |
| 19.10.2026 | 21.08.2027 | 306,00 | 474,33 | 734,33 | 1208,67 |
| 19.10.2026 | 22.08.2027 | 307,00 | 474,30 | 729,08 | 1203,38 |
| 19.10.2026 | 23.08.2027 | 308,00 | 474,32 | 724,23 | 1198,56 |
| 19.10.2026 | 24.08.2027 | 309,00 | 474,41 | 719,78 | 1194,19 |
| 19.10.2026 | 25.08.2027 | 310,00 | 474,55 | 715,71 | 1190,27 |
| 19.10.2026 | 26.08.2027 | 311,00 | 474,76 | 712,04 | 1186,79 |
| 19.10.2026 | 27.08.2027 | 312,00 | 475,01 | 708,74 | 1183,76 |
| 19.10.2026 | 28.08.2027 | 313,00 | 475,33 | 705,82 | 1181,15 |
| 19.10.2026 | 29.08.2027 | 314,00 | 475,69 | 703,28 | 1178,98 |
| 19.10.2026 | 30.08.2027 | 315,00 | 476,12 | 701,11 | 1177,22 |
| 19.10.2026 | 31.08.2027 | 316,00 | 476,59 | 699,30 | 1175,89 |
| 19.10.2026 | 01.09.2027 | 317,00 | 477,12 | 697,86 | 1174,97 |
Das Startfenster schloss sich je nach Quelle zwischen dem 7. und 9. November 2026. Die kürzere Route, bei der bei der optimalen Lösung in der ersten Tabelle bis auf den ersten Eintrag alle Ankunftsdaten im September lagen, kostet zusätzliche Energie. Die Startenergie schwankt dabei nur geringfügig, die Ankunftsenergie sinkt während des Zeitraums jedoch kontinuierlich von 935 auf 697 m/s. Daher würde ich vermuten, dass die Sonde den Mars eher Ende als Anfang August erreicht.
Für die Rückreise gilt dasselbe. Auch hier gibt es ein Startfenster, sogar zwei: eines für eine Hohmann-I-Bahn und eines für eine Hohmann-II-Bahn. Dazwischen ist eine Rückkehr zur Erde sehr ungünstig.
Man sieht, dass der erste mögliche Rückflug bereits 2028 stattfinden würde. Es gibt ein lokales Minimum am 31. Juli, wichtiger ist jedoch das ausgedehnte Startfenster im Oktober und November 2028. Zu diesem Zeitpunkt ist IDEFIX aber noch nicht gelandet, daher verschiebt sich das nächste nutzbare Startfenster auf 2030.
Auch 2030 gibt es zunächst ein lokales Minimum um den 29. August 2030 mit einer Ankunft am 25. Juni 2031 sowie ein zweites, deutlich ausgedehnteres Startfenster, das sich vom 3. November 2030 bis zum 2. Februar 2031 erstreckt, wenn man ein Δv von weniger als 1000 m/s als Grenze ansetzt.
Das Optimum liegt am 6. Dezember 2030 mit einer Ankunft am 2. Oktober 2031. Da die NASA von einer Ankunft der Bodenproben im Juli 2031 spricht, scheint eher das erste Startfenster genutzt zu werden, obwohl es energetisch ungünstiger ist. Andererseits spricht die JAXA, die es schließlich wissen müsste, vom „Spätjahr 2030“, was eher zum zweiten Startfenster passen würde.
Das minimale Start-Δv beträgt 475 m/s bei einem Abflug am 27. Dezember 2030 und einer Ankunft am 2. Oktober 2031. Beim Rückstart befindet sich der Mars nahe des Perihels und ist nur etwa 208 Millionen Kilometer von der Erde entfernt.
Beide Δv-Werte sind relativ klein im Vergleich zu den Geschwindigkeitsänderungen innerhalb des Mars-Systems. Verbleibt MMX beispielsweise in einer Bahn, die zwischen Phobos und Deimos verläuft (5900 × 20.500 km), wie verlautbart, so werden allein etwa 1883 m/s benötigt, um das Mars-System zu verlassen.
| Bahn | Parameter[km] | v-Kreisbahn Peri | v-Kreisbahn Apo | v-real Peri | v-real Apo | dv | Periode |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bahn | 5.900 x 20.050 x 0,0 ° | 2.146,7 | 1.351,7 | 2.568,9 | 1.018,6 | 0,000 | 17 h 39 m |
| Bahn | 5.900 x -20.775 x 0,0 ° | 2.146,7 | NaN | 4.451,9 | NaN | 1.883,0 | |
| Summe: | 1.883,0 |
Erheblich besser ist es die Periapsis abzusenken, dann sind nur 1259 m/s nötig, obwohl ich einen Zusatzaufwand von 323 m/s für das Absenken der Periaspis habe. Wem das spanisch vorkommt, schaut mal in den Grundlagen vorbei oder schaut nach dem Stichwort „Hyperbolischer Exzess“ in der Website.
| Bahn | Parameter[km] | v-Kreisbahn Peri | v-Kreisbahn Apo | v-real Peri | v-real Apo | Δv | Periode |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bahn | 5.900 × 20.050 × 0,0 ° | 2.146,7 | 1.351,7 | 2.568,9 | 1.018,6 | 0,000 | 17 h 39 m |
| Bahn | 200 × 20.050 × 1,6 ° | 3.451,1 | 1.351,7 | 4.544,5 | 697,17 | 322,34 | 13 h 15 m |
| Bahn | 200 × -20.775 × 1,8 ° | 3.451,1 | NaN | 5.480,7 | NaN | 936,29 | |
| Summe: | 1.258,6 |
Zu Saturn, Uranus und Neptun
Schnelle Routen sind vor allem bei den drei äußeren Planeten energetisch anspruchsvoll. Hohmann-transferbahnen zu Saturn dauern 6 ½ Jahre, zu Uranus rund 16-17 Jahre und zu Neptung 30 bis 31 Jahre, anhängig davon wo die Planeten bei Ankunft sind. Für den Saturn ist dies noch kein Problem, Missionen die lange unterwegs sind gab es einige, aktuell sind z.B. BepiColombo, Europa Clipper und JUICE auf langen Reisen unterwegs. BepiColombo startete 2018 und erreicht jetzt den Merkur nach acht Jahren. Setzt man 10 Jahre als Maximum, so lange waren New Horizons und Rosetta unterwegs, so erhält man als nächste Startfenster:
Saturn:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum Erde: | 30.06.2027 | |
| solare Entfernung Erde: | 152,71 | Mill. km |
| Ankunftsdatum Saturn: | 03.06.2032 | |
| solare Entfernung Saturn: | 1.349,2 | Mill. km |
| c3 Start: | 119,39 | km²/s² |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Erde Start: | 4.550,0 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Saturn Ankunft: | 499,46 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Gesamt: | 5.049,4 | m/s |
| Transferbahn Perihel: | 152,12 | Mill. km |
| Transferbahn Aphel: | 1.366,0 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 5,561 | Grad |
| Zurückgelegter Weg | 1.808,8 | Mill. km |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 4174 Tage | 11 J 159 d |
| Flugzeit: | 1800 Tage | 4 J 340 d |
Und für Uranus. Nun nur noch Bahnen mit max. 10 Jahren Flugdauer:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum Erde: | 25.07.2027 | |
| solare Entfernung Erde: | 152,50 | Mill. km |
| Startgeschwindigkeit bei Erde: | 40.825,0 | m/s |
| Ankunftsdatum Uranus: | 22.07.2037 | |
| solare Entfernung Uranus: | 2.801,1 | Mill. km |
| c3 Start: | 134,13 | km²/s² |
| c3 Ankunft: | 40,504 | km²/s² |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Erde Start: | 5.021,6 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Uranus Ankunft: | 968,86 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Gesamt: | 5.990,4 | m/s |
| Transferbahn Perihel: | 152,50 | Mill. km |
| Transferbahn Aphel: | 3.426,1 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 2,198 | Grad |
| Zurückgelegter Weg | 3.183,4 | Mill. km |
| Umlaufdauer Transferbahn: | 15107 Tage | 41 J 142 d |
| Flugzeit: | 3650 Tage | 10 J |
Bei Uranus reicht eine Ellipse noch aus, das sorgt für eine relativ niedrige Relativgeschwindigkeit zu Uranus, aber es sind schon 400 m/s mehr als bei der Hohmann-Transferbahn mit über 16 Jahren Flugzeit. Bei Neptun erreicht man 10 Jahre Flugzeit nur mit einer Hyperbel:
| Parameter | Wert | Einheit |
|---|---|---|
| Startdatum Erde: | 21.05.2027 | |
| solare Entfernung Erde: | 151,94 | Mill. km |
| Ankunftsdatum Neptun: | 21.05.2037 | |
| solare Entfernung Neptun: | 4.461,5 | Mill. km |
| c3 Start: | 176,95 | km²/s² |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Erde Start: | 6.317,8 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Neptun Ankunft: | 2.817,9 | m/s |
| Δv Fluchtgeschwindigkeit LEO Gesamt: | 9.135,7 | m/s |
| Transferbahn Perihel: | 151,82 | Mill. km |
| Transferbahn Aphel: | -4.215,8 | Mill. km |
| Transferbahn Inklination: | 3,096 | Grad |
| Zurückgelegter Weg | 4.677,9 | Mill. km |
| Flugzeit: | 3653 Tage | 10 J 3 d |
Das negative Aphel zeigt, das diese Bahn eine Hyperbel ist. Schaut man auf die Ankunftsgeschwindigkeit, so ist diese indiskutabel hoch. Der Wert ist ja nur der, den man benötigt um, eine sehr exzentrische Bahn zu erreichen, für eine brauchbare Bahn liegen wir bei mehr als 3 km/s, was bei lagerfähigen Treibstoffen bedeutet das 2/3 der Sonnenmasse Treibstoff ist. Die Differenzgeschwindigkeit sinkt aber mit steigender Reisedauer ab:
| Reisedauer | Δv Ankunft |
| 3650 Tage | 2.818 m/s |
| 4000 Tage | 2.268 m/s |
| 4400 Tage | 1.796 m/s |
| 4800 Tage | 1.420 m/s |
| 5.200 Tage | 1.184 m/s |
| 5.600 Tage | 985 m/s |
| 6.000 Tage | 828 m/s |
Man sieht den Trend, die Differenz der Geschwindigkeit nimmt immer ab, würde man tatsächlich 30 Jahre (10950 Tage) unterwegs sein, man könnte die Differenz auf 357 m/s drücken. Real ist aber ein Orbiter um Neptun mit chemischem Antrieb heute jenseits dessen, was wirtschaftlich durchführbar ist. Dazu bräuchte man Ionenantriebe, die von einem Kernreaktor gespeist werden, der kann auch schon während der Reise genutzt werden die Differenzgeschwindigkeit zu verringern.
Umweg über Jupiter
Ich habe bisher nur die Ankunftsgeschwindigkeit angegeben, doch auch die Startgeschwindigkeit zu den Planeten ist hoch. Wir haben nach den Ausgaben ein Δv relativ zur Fluchtgeschwindigkeit aus einem LEO von 4450, 5990 und 5318 m/s. Das kommt noch zu den rund 11 km/s der Fluchtgeschwindigkeit hinzu. Wir reden also von 15,5 bis 17,4 km/s relativ zur Erdoberfläche.
Die schnellste bisher gestartete Sonde war New Horizons mit 16,9 km/s. Dabei konnte eine Atlas V 551 mit zusätzlicher Oberstufe, die rund 21 t in einen LEO transportieren kann, nur noch etwa 500 kg auf diese Geschwindigkeit beschleunigen.
Nutzt man Jupiter als Sprungbrett, so benötigt man eine geringere Startgeschwindigkeit, rund 14,5 km/s, um in zehn Jahren den Neptun zu erreichen. Das spart immerhin bis zu 3 km/s ein.
Diese Geschwindigkeit ist im Wesentlichen konstant, unabhängig davon, ob man zu Saturn, Uranus oder Neptun aufbricht. Was sich ändert, ist der Minimalabstand zu Jupiter. Cassini nutzte Jupiter als Sprungbrett auf dem Weg zum Saturn. Da die Sonde jedoch anders als die Voyager-Sonden in einen Orbit einschwenken sollte, durfte sie nicht zu stark beschleunigt werden. Der Geschwindigkeitsgewinn betrug daher nur etwa 1 km/s, während er bei einem Flug zum Neptun 4 bis 5 km/s betragen würde. Entsprechend näherte sich Cassini dem Gasriesen nur bis auf etwa 10 Millionen Kilometer.
Was Startfenster zu den drei äußeren Planeten über Jupiter unattraktiv macht, sind deren lange Umlaufzeiten. Im Prinzip muss man dafür nur die Umlaufzeiten von Jupiter und dem jeweiligen Zielplaneten betrachten. Da bereits Jupiter eine Umlaufzeit von über elf Jahren hat, bewegt er sich in einem Erdjahr nur um etwa 30 Grad weiter. Diesen Winkel holt die Erde in ungefähr einem Monat auf. Danach haben beide Planeten aus Sicht der Erde wieder nahezu dieselbe relative Position.
Es gilt allgemein:
1 / gemeinsame Periode = (1 / Periode Planet 1) − (1 / Periode Planet 2)
wobei Planet 1 der Planet mit der kleineren Umlaufzeit ist.
Für Jupiter und Saturn ergeben sich so Startfenster nur etwa alle 19 bis 20 Jahre. Eines nutzten Voyager 1 und 2 im Jahr 1977, das nächste Cassini 1997. Das Fenster von 2016/17 wurde nicht genutzt. Die nächste Gelegenheit ergibt sich daher erst 2035/36.
Bei Uranus beträgt das Interval etwa 13,3 Jahre und bei Neptun etwa 12,3 Jahre. Die Gelegenheiten sind also äußerst selten. Die Ankunftsgeschwindigkeit ist nicht wesentlich kleiner. Bei einer 10 Jahres Bahn zu Neptun kommt man auch hier nicht unter 2 km/s, immerhin keine 2,8 km/s.
Bei Uranus kommt noch ein weiterer Aspekt hinzu. Eine Raumsonde möchte möglichst die gesamte Oberfläche der Monde abbilden. Die Gasplaneten selbst besitzen ja keine feste Oberfläche. Die gesamte Mondoberfläche kann man bei einem Planeten mit geneigter Rotationsachse nur um die Tagundnachtgleichen herum beobachten, wenn die Rotationsachse für kurze Zeit weder zur Sonne hin noch von ihr weg zeigt. Bei der Erde ist dies um den 21. März und 22. September der Fall.
Verpasst man diesen Zeitpunkt bei der Erde, ist das kein großes Problem. Selbst zur Sonnenwende liegen maximal die Regionen jenseits von 66 Grad Breite dauerhaft im Schatten. Dadurch bleiben höchstens etwa 1,2 % der Erdoberfläche unbeobachtbar.
Die Rotationsachse von Uranus ist jedoch nicht um knapp 24 Grad, sondern um 98 Grad geneigt. Er rotiert in der Bahnebene! Die Folgen erkennt man in dem Diagramm. Es zeigt die maximale Elevation der Sonne über dem Horizont für Südpol, Äquator und Nordpol. An den Polen gilt: Ein Pol liegt jeweils etwa 42 Jahre lang dauerhaft im Sonnenlicht, der andere ebenso lange im Schatten.
Nur um die Tagundnachtgleichen herum lässt sich die gesamte Oberfläche beobachten. Je weiter man sich von den Polen entfernt, desto geringer ist allerdings der maximale Sonnenstand. Bei 70 Grad Breite erreicht die Sonne zur Sonnenwende beispielsweise nur noch etwa 20 Grad Höhe über dem Horizont. Das entspricht ungefähr dem maximalen Sonnenstand in Deutschland zur Wintersonnenwende.
Uranus benötigt 84 Jahre für einen Umlauf um die Sonne. Die Tagundnachtgleichen wiederholen sich daher nur alle 42 Jahre. Die letzte fand am 7. Dezember 2007 statt. Als Voyager 2 Uranus passierte, war die Sonnenwende gerade vorüber. Sie lag im Dezember 1985 und damit nur etwa zwei Monate vor dem Vorbeiflug. Die Sonde konnte daher praktisch nur die Südhalbkugel aller Monde beobachten. Die Monde umkreisen Uranus nämlich in seiner Äquatorebene und ihre Rotationsachsen sind weitgehend parallel zur Rotationsachse des Planeten ausgerichtet. Wir können also entweder bis 2049 warten oder eine einfachere Lösung wählen: Wir kartieren die Monde nicht mit Kameras, sondern mit einem Radargerät.