Zuerst mal eine Erklärung: Unter Raketenkonstruktion verstehe ich die Ermittlung wesentlicher Daten einer Rakete, die man für Berechnungen benötigt, wenn diese nicht bekannt sind oder nicht bekannt sein sollen. Das meiste davon hat nichts mit Mathematik zu tun, sondern Erfahrung und einer guten Bibliothek: Da die Physik und Chemie überall die gleiche ist, wird eine neue Rakete sich nicht so stark von existierenden oder mal existenten unterschieden. Das ist bei anderen technischen Geräten auch so. Das heißt, man zieht vergleiche. Wenn ich z. B. die Masse einer Stufe zu 100 t schätze und es eine Treibstoffkombination mit einer mittleren Dichte von etwa 1 ist dann kann ich die Trockenmasse auf 5 bis 8 t schätzen. Am unteren Bereich liegen Konstruktionen mit innendruckstabilisierten Tanks, leichten Legierungen und einem Integraltank, am oberen Bereich Konstruktionen mit Edelstahl, ohne Innendruckstabilisierung und zwei getrennten Tanks. Kennt man da noch einige Details, so kann man das weiter einkreisen. Auch die Stufenverhältnisse, also wie sich die Startmasse auf die Stufen aufteilt, kann man so gut abschätzen.
Wenn man Abbildungen hat, kann man die Stufen ausmessen und abschätzen, wie viel Volumen die Tanks haben, und damit in etwa wie viel Treibstoff vorhanden ist.
Ich habe das in den Achtzigern erstmals angewendet und so relativ genau russische Raketen rekonstruiert von denen man damals kaum etwas wusste. Dann benötigte ich das lange nicht mehr, bis vor einigen Jahren mit den neuen „kommerziellen“ Entwicklungen es üblich wurde, fast nichts mehr zu publizieren. Das gilt inzwischen auch für Starts durch NASA, ESA und Co, die früher Pressemitteilungen gespickt mit vielen Daten herausgaben.
Am 1.4. kam nun das „Users Manual“ zum Starship online. Ich dachte, als ich das 6 Seiten dünne Pamphlet las, es handele sich um einen Aprilscherz handelt, denn über die Rakete steht eigentlich nichts drin. Okay, das wird auch woanders seltener, im Ariane 6 User Manual findet man auch keine Stufendaten mehr, aber für die Benutzer sind wie für sie wesentlichen Daten noch enthalten und selbst diese sind auf das Minimum heruntergestrippt. Was man eigentlich über die Rakete erfährt, ist das die Nutzlastverkleidung 17,24 m lang ist bei 8 m Durchmesser und sie 100 t in LEO und 21 t in den GTO transportiert. An Letztem will ich einhaken und zeigen, wie man mit etwas Mathematik zumindest einen Wert ermitteln kann – die Trockenmasse des Starships.
Basis
Um das Problem zu vereinfachen, gehe ich im Folgenden davon aus, das wir die erste Stufe außen vor lassen und zwei Fälle haben:
- Im ersten Fall startet das Starship mit 100 t Fracht in den LEO.
- Im zweiten Fall startet das Starship mit 21 t Fracht in den GTO und 79 t (Differenz zu 100 t) Treibstoff sind dafür noch in den Tanks.
Die 79 t Treibstoff werden benötigt, um das Starship mit Nutzlast von der Geschwindigkeit eines LEO in den GTO zu befördern.
Als erstes sollte man also die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen LEO und GTOP ermitteln. Das ist eine profane Anwendung der Vis-Viva Gleichung, deren Ausführung ich mir schenke. Man errechnet:
| Bahn | Geschwindigkeit in 200 km Höhe | Differenz zu 200 km Kreisbahn |
|---|---|---|
| 200 km hohe Kreisbahn | 7.784 m/s | 0 m/s |
| 200 x 35.790 km GTO Bahn | 10.239 m/s | 2.455 m/s |
Für diese 2455 m/s Geschwindigkeitsänderung werden also 79 t Treibstoff verbraucht. Nach der Raketengrundgleichung kann man für eine Geschwindigkeitsänderung ansetzen:
v = Vspez * ln (Startmasse / Endmasse)
Der spezifische Impuls des Raptors ist nicht bekannt. Ich habe die 3.700 m/s, welche die Wikipedia angibt, angesetzt.. So sind noch Endmasse und Startmasse unbekannt. Immerhin wissen wir aber das im GTO-Fall die Endmasse 79 t kleiner als die Startmasse ist. Wenn wir also die unbekannte Endmasse mit x benennen, dann kann man ansetzen:
2455 m/s = 3.700 m/s * ln (x+79 / x )
Nun muss man nur noch nach x auflösen. Zuerst ziehen wir alle Konstanten nach links:
2455 / 3700 = ln (x + 79 / x)
dann muss der Logarithmus weg. Dazu exponentieren wir beide Seiten:
e(2455 / 3700) = (x + 79 / x)
Nun rechne ich die linke Seite aus:
1.941 = (x+79/x)
Die rechte Seite kann ich auch anders ausdrücken:
x+79 / x = (79 / x) +1
Und dann kann ich x direkt berechnen und komme auf ~ 84 t.
Gegenprobe:
3700 * ln (84+79 / 79) ergibt 2453 m/s – die kleine Differenz kommt durch Runden bei den Massen und Faktoren zustande.
Mit 21 t Nutzlast wiegt das Starship also 84 t, ohne 21 t Nutzlast sollte es also 63 t wiegen.
Erfahrungswissen
Bisher ging ich davon aus, das die Differenz zu 100 t nur Treibstoff ist. Das ist aber nicht der Fall. Vielmehr wiegt das Starship vom Start weg 79 t weniger. Die erste Stufe muss also 79 t weniger beschleunigen und hat daher bei Brennschluss eine höhere Geschwindigkeit. Das gilt auch für die zweite Stufe. Der Gewinn an Nutzlast ist ähnlich wie beim obigen Fall, nur laden wir eben nicht 79 t mehr Treibstoff zu, sondern haben eine um 79 t kleinere Startmasse, das ist wegen des Logarithmus in der obigen Gleichung nicht dasselbe. Es ist von anderen Trägern bekannt, wie viel mehr Nutzlast durch die erste Stufe erreicht wird, wenn die Oberstufenkombination um x kg leichter wird. Das dürften bei der der Super Heavy 25 % sein, also wenn die Oberstufe um 79 t leichter wird, dann kann die Erststufe ein Viertel davon abfangen. Die Nutzlasteinbuße würde also neu bei 80 % * 79 t liegen. Auf der anderen Seite ist der obige Ansatz von mehr Treibstoff in den Tanks ja auch nicht real. Sie sind nur zu 100 % füllbar. Das kostet wieder Nutzlast und das muss man abschätzen. Für 1200 t Startmasse des Starships komme ich auf 7 % zu viel Nutzlast.
Jetzt wird es also richtig kompliziert, denn wir haben zwei gegenläufige Faktoren, die noch dazu voneinander abhängen. Man müsste also in einer Schleife ausgehend von 84 t iterativ sich den wahren Massen nähern. Aber ich denke man kann das Schenken. Wenn man als Differenz von 25 und 7 % etwa 18 % ansetzt, dann dürfte die Startmasse des Starships um 18 % höher sein, also anstatt 163 t wären es 192 t. Damit wäre das Starship ohne Nutzlast 92 t schwer.
— und Wirklichkeit
Ich habe mir ja schon mal die Mühe gemacht, die Kombination zu simulieren und ich bin auf rund 140 t Masse für das Starship gekommen. Einen Monat später bestätigte dies Musk: Elon musk schreibt „Mk1 ship is around 200 tons dry & 1400 tons wet, but aiming for 120 by Mk4 or Mk5. Total stack mass with max payload is 5000 tons.“ Also man erstrebt 120 t Trockenmasse, was ziemlich nahe an den 140 t ist ,die ich errechnete, aber deutlich mehr als die obigen 92 oder gar 63 t ist.
Das Problem dabei: setzt man eine Rakete an, welche die obigen Grenzwerte hat (5.000 t Startmasse, 1200 t zweite Stufe alleine und nimmt man noch die Informationen der Wikipedia hinzu, dann findet sich keine Lösung, die gleichzeitig 21 t in den GTO und 100 t in den LEO bei dieser Stufenmasse hat. Wenn eine modellierte Rakete 21 t in den GTO transportiert, dann sind es deutlich mehr als 100 t in den LEO und wenn es 100 t in den LEO sind, dann erreicht sie keinen GTO oder mit fast keiner Nutzlast. Mit den Wikipedia Eckwerten (3 aktive Triebwerke im Starship) komme ich z.B. auf 14 t GTO und 130 t LEO. Also im GTO deutlich weniger und im LEO deutlich höher. Das ist auch nicht verwunderlich, denn wie schon gesagt, die Physik gilt auch für SpaceX, und wenn wir oben 63 t für das Starship errechnen, dann können die anderen Faktoren, die ich im ersten Schritt weggelassen habe, daran noch etwas ändern aber nicht so viel, das ein doppelt so schweres Starship immer noch diese hohe GTO-Nutzlast hat. Das ergibt sich einfach daraus, das die 79 t Treibstoff und ihr Energiegehalt fix sind und die lassen eben nur eine bestimmte Geschwindigkeitsänderung zu.