Home Raumfahrt Grundlagen der Raumfahrt Site Map counter

Geschwindigkeitsberechnung für Raketen

Atlas Centaur Start Dies ist der fünfte Aufsatz über die Grundlagen von Raketen und Orbits. Wie die vorangehenden ist auch er sehr verständlich gehalten und für interessierte Laien gedacht. Für weitere Themengebiete sollten Sie auch die anderen Aufsätze dieser Reihe ansehen:

In diesem Aufsatz geht es um fundamentale Physik: Wie ist das mit dem Stufenprinzip, wie errechnet man die Endgeschwindigkeit einer Rakete und was zum Teufel ist dieser komische spezifische Impuls von dem ich immerzu lese? Dieses Thema wird im Aufsatz über die Raketengrundgleichung noch vertieft.

Aktio = Reaktio

Dies ist das grundlegende Grundprinzip einer Rakete. Eigentlich ist es ganz einfach. Diese Aussage von Newton wird übersetzt mit "Jede Kraft erzeugt eine gleich große in die Gegenrichtung wirkende Gegenkraft". Das kapiert auf Anhieb keiner. Aber denken Sie mal an einen Gummiball, den sie aus der Hand fallen lassen. Er wird beschleunigt und kommt am Boden mit einer Kraft auf. Dies bewirkt eine Gegenkraft, die in diesem Falle den Ball verformt und bewirkt das er genau in der gleichen Bahn wieder zurückspringt. Auch wenn Sie Schlittschuhlaufen und darin noch nicht so gut sind, kann es Ihnen passieren das sie beim Versuch nach vorne zu kommen durch die Gegenkraft nach hinten weg rutschen.

Das gleiche Prinzip bei Raketen. Raketen entwickeln durch eine Verbrennung Gase die Sie mit einer Masse M und einer Geschwindigkeit V ausstoßen. Dies bewirkt eine Kraft die berechenbar ist nach M*V. Genau die gleiche Kraft kann nun die Rakete in die Gegenrichtung beschleunigen, auch hier hat die Rakete eine Masse M1 und wird um V1 beschleunigt:

M*V = M1*V1

Dadurch wird eine Rakete wenn sie voll ist (M1 groß) langsam beschleunigt und wenn sie immer weniger Treibstoff hat, immer schneller.

Der spezifische Impuls

Diese Größe finden Sie immer wieder bei meinen Aufsätzen und in den Tabellen zu den Raketen. Was ist das nun? Vereinfacht gesagt es ist eine wichtige Größe wie viel Energie ein Triebwerk aus einer Treibstoffkombination herausholen kann. Man könnte es als eine Kenngröße bezeichnen die einen Antrieb mit einer bestimmten Treibstoffkombination kennzeichnet. Leider gibt es mindestens 2 Definitionen. Im folgenden möchte ich die meiner Meinung nach besser geeignete mit SI Einheiten vorstellen.

Hierbei hat man die Ausströmgeschwindigkeit der Gase aus der Düse als Basis für den spezifischen Impuls genommen. Diese Größe ist eine sehr wichtige für einen Antrieb denn wie man sich leicht denken kann, ist der Schub um so größer je schneller die Abgase die Düse verlassen (es ist die Geschwindigkeit V im obigen Beispiel). Aber auch der Treibstoff wird effizienter genutzt. Wenn man 1 kg eines Treibstoffes verbrennt der 2000 m/s Ausströmgeschwindigkeit liefert und 1 kg eines anderes Treibstoffes der 4000 m/s liefert so liefert der zweite den doppelten Schub oder die Brennzeit ist doppelt so lang bei gleichem Schub.

Definition: Spezifischer Impuls im SI System

spezifischer Impuls = Schub * Brennzeit / verbrauchtes Treibstoffgewicht

Man kann dies also einfach messen. In Einheiten:

Schub : N, Brennzeit: s, Gewicht: kg

-> Einheit N*s / kg

Nun ist aber das Newton eine zusammengesetzte Einheit: 1 N =  1 kg·m/s²

Nun kürzen sich die Einheiten : kg*m*s / s² * kg → m/s

m/s ist aber eine Einheit für die Geschwindigkeit. Es handelt sich um die Ausströmgeschwindigkeit der Gase an der Düse und daher verwendet man Ausströmgeschwindigkeit und spezifischer Impuls im SI System meistens synonym.

So bedeutet ein spezifischer Impuls von 4000 bei Wasserstoff, das 1 kg dieses Treibstoffes (zusammen mit dem Oxydator) insgesamt 4000 Ns Schub liefert, also z.B. 40 N Schub über 100 Sekunden Brennzeit genau 1 kg Treibstoff verbrauchen. Mann kann aber auch so den Treibstoffverbrauch errechnen: Ariane 5 hat in der Zentralen Stufe EPC ein Triebwerk mit 1120 kN Vakuumschub und einem spezifischen Impuls von 4248 m/s. Dieses verbraucht also 1120 * 1000 / 4248 = 263,5 kg Treibstoff pro Sekunde. Da die Rakete 155 000 kg Treibstoff mitführt reicht dieser für 155000 / 263,5 = 588 Sekunden. Und das passt auch genau zu der von der ESA angegebenen Brennzeit der Stufe von 590 Sekunden und einer Hochlaufzeit von 7 Sekunden bis zum Abheben.

Der wesentlich Vorteil des spezifischen Impulses im SI System besteht darin, dass man die Ausströmgeschwindigkeit der Gase für die Ziolkowsky Gleichung braucht um die Geschwindigkeit einer Rakete oder deren Nutzlast zu berechnen. Man kann diesen Wert also direkt nehmen. (Anders ausgedrückt: Mit den werten in den Tabellen die der Autor bei seinen Raketen veröffentlicht können Sie ohne Probleme direkt mit einem Taschenrechner die Endgeschwindigkeit der Rakete berechnen).

Spezifischer Impuls bei US Websites

In den USA, wo das SI System zwar empfohlen, aber nicht gesetzlich vorgeschrieben ist, rechnet man noch oft in "imperialen" Einheiten (Pfund, Meilen, Gallonen....). Hier wird der Schub in Kilopond gemessen und man dividiert durch die Erdbeschleunigung g um den spezifischen Impuls in der Einheit Sekunden zu bekommen (eigentlich sollte er dann ja dort "Spezific time" heißen).

Definition spezifischer Impuls in den USA

spezifischer Impuls = Schub * Brennzeit / verbrauchtes Treibstoffgewicht / Erdbeschleunigung g0

g0 = 9.80665 m/s².

Die Einheit ist Sekunden [s]. Der Wert gibt an, wie lange ein Antrieb brennt um gerade das Treibstoffgewicht mit g0 zu beschleunigen. Diese Angabe ist also nicht so nützlich. Zahlenwerte in amerikanischen Websites sind daher um den Faktor 9.81 kleiner als die hier veröffentlichten. Es ist allerdings Besserung in Sicht, zumindest intern in der NASA gibt es nur SI Einheiten, so wie im Rest der Welt (97 % der Weltbevölkerung benutzen das SI System, nur kommen eben viele Websites aus den USA, die neben dem Staat Malawi zu den letzten Staaten gehören, die nicht das SI System einsetzen). Nach dem Verlust der Raumsonde "Mars Climate Orbiter" durch Verwechslung der Einheiten bei den Teams von Lockheed und dem JPL findet man mittlerweile auch auf Webseiten für die Öffentlichkeit die SI Einheiten und die imperialen Einheiten in Klammern.

Da die meisten Websites aus den USA kommen, (und die Hersteller von Trägern und private Websites immer noch die US Werte verwenden) sind die niedrigeren Werte bei vielen bekannter und ich habe schon Hinweise bekommen, dass meine "falsch" wären. Das liegt vor allem an der "demokratischen Wirkung" des Internets: Wenn man 10 mal auf US Webseiten etwas anders gelesen hat, dann muss es ja richtig sein. Das gilt zumindest wenn man von der Materie keine Ahnung hat, denn bei Temperaturangaben in Fahrenheit, Distanzen in Meilen oder Schub in Pfund würden die selben Personen wohl erkennen, dass diese keine für uns praktischen Einheiten sind.

Ich verwende die gesetzlichen Einheiten nicht nur, weil bei uns das SI System gilt, sondern weil man nur mit diesen problemlos ohne Umrechnungsfaktoren Parameter wie Brenndauer einer Rakete, Schub oder Endgeschwindigkeit errechnen kann. Alle US Einheiten muss man erst ins SI System umwandeln, also warum nicht gleich beim SI System bleiben?

Klar ist damit das es sich bei dem spezifischen Impuls um eine Materialgröße handelt. Für jede Treibstoffkombination gibt es einen maximalen spezifischen Impuls, der praktisch nicht erreicht werden kann.

Warum kann man den spezifischen Impuls nicht einfach berechnen?

Sojus Trägerrakete Nun:

Die folgende Tabelle gibt den spezifischen Impuls der Verbrennung von Wasserstoff und Sauerstoff im Verhältnis 6:1 bei 220 Bar in Abhängigkeit des Entspannungsverhältnisses an

Entspannungsverhältnis 1 10 100 1000 10000 100000
Spez Impuls 1 Bar Außendruck 1534.2 3796.7 - - - -
Spez Impuls Vakuum 2869.2 4103.6 4597.6 4836.1 4944.2 5004.6

Man sieht dass man sehr große Düsen unwirtschaftlich sind. Zwar steigt das Entspannungsverhältnis an, aber gleichzeitig auch das Gewicht der Düse. Wo das Optimum ist darüber streiten sich die Experten.

Berechenbar ist der theoretische Vakuumimpuls nach folgender Formel:

v = Sqrt( ((2*κ) / ((1-κ)*M)) * R * TB * (1-Potenz((PM/PA),(κ-1)/κ)))

κ, steht mit dem Koeffizient cp, der tabelliert ist, in folgendem Zusammenhang :

cp = R * κ / (κ - 1)

Bei den meisten Gasen ist κ im Bereich von 1.1 bis 1.3. Für eine unendliche Expansion (Unendlich hoher Druck bei der Brennkammer, kein Druck an der Düsenmündung) verkürzt sich die Formel zu:

v = Sqrt ( 2*κ * R * TB / (κ-1)*M)

Das ist der maximale (theoretische) spezifische Impuls der mit einer bestimmten Treibstoffkombination erreichbar ist.

Größe des spezifischen Impulses

Wie schon erwähnt hängt der spezifische Impuls von dem verwendeten Treibstoff und dem Mischungsverhältnisses von Oxydator und Treibstoff ab. Mehr dazu im Artikel über Raketentreibstoffe. Dazu kommt der Antrieb. Wie oben erläutert spielen Verbrennungsdruck und Mündungsdruck eine Rolle. Die Berechnung ist daher schwierig. Manchmal gibt es auch Überraschungen wie bei dem HM-7 Antrieb der Ariane, bei welcher der spezifische Impuls von 4355 deutlich höher als die errechneten 4225 war. Für die heutigen verwendeten Treibstoffe gibt es allerdings schon Erfahrungswerte.

Was die Kosten für eine Stufe angehen, so steigen diese mit dem spezifischen Impuls: Feststoffbooster sind wesentlich preiswerter als mit flüssigen Treibstoffen angetriebene Raketen und Wasserstoff als Treibstoff stellt einige Anforderungen an die Technik, die wiederum den Antrieb verteuern.

Der volumenspezifische Impuls

Eine weitere Größe ist der volumenspezifische Impuls. Er ist wichtig wenn die Rakete sehr groß wird, da natürlich die Kosten für die Fertigung auch von der Größe abhängen. Der volumenspezifische Impuls ist das Produkt von spezifischem Impuls und Dichte des Treibstoffes:

V spez = D * I spez

Diese Größe gibt an welchen spezifischen Impuls eine bestimmte Volumeneinheit erbringt. Dies ist insofern von Bedeutung, das bei ähnlichen spezifischen Impulsen ein Treibstoff hoher Dichte kleinere Tanks benötigt, die dadurch leichter sind. So liegen die Mischungen Kerosin / Sauerstoff und Stickstofftetroxyd / Hydrazin in ihren max. spezifischen Impulsen bei 1 Bar Druck sehr nahe beieinander: (2945 bzw. 2865). Jedoch ist die Mischung mit Hydrazin dichter (1.22 g/cm³ anstatt 1.02 g/cm³) und hat so trotz des niedrigeren spez. Impulses einen höheren volumenspezifischen Impuls. Dadurch ist die Leermasse etwas geringer und dieser Nachteil wird wieder etwas ausgeglichen.

Von Bedeutung ist, das Wasserstoff als Treibstoff sehr leicht ist, und Antriebe mit Wasserstoff nur eine spezifische Dichte von 0.2-0.3 erreichen. Dadurch benötigt der Wasserstoff sehr voluminöse Tanks, wodurch die Leermasse ansteigt.

Heute ist diese Größe in der Regel nicht so wichtig, da die Größe von Tanks nicht die Kosten einer Rakete dominieren. Der Ursprung dieser Einheit stammt auch von dem Bedürfnis, eine Rakete mit einer bestimmten Maximalgröße zu bauen, wie es bei der Unterbringung in normierte Silos für Interkontinentalraketen wichtig ist.

Die Geschwindigkeit einer Rakete

Wer in Physik aufgepasst hat, weiß, das man die Geschwindigkeit eines Körpers berechnen kann, indem man die Beschleunigung über die Zeit summiert. Da man von einer Rakete den Startschub und die Brenndauer kennt, liegt es nahe so die Geschwindigkeit zu berechnen. Dieser Weg ist jedoch sehr umständlich, denn die Beschleunigung bleibt nicht konstant. Da der Treibstoff laufend abnimmt wird die Rakete immer leichter, bei gleichem Schub nimmt also die Beschleunigung immer mehr zu.

Die Zusammenhänge sind aber bekannt und die Endgeschwindigkeit einer Rakete kann berechnet werden nach:

v = Ausströmgeschwindigkeit der Gase * ln(Vollmasse / Leermasse)

Logarithmus Funktion Hier erkennt man auch warum der spezifische Impuls so wichtig ist. Er geht direkt in die Geschwindigkeit ein. Anders ist bei dem Verhältnis von Vollmasse zu Leermasse. Hier wird nur der natürliche Logarithmus verwendet. Wie man an der Grafik erkennt verläuft diese nicht linear. Verdoppelt man z.B. das Verhältnis von Vollmasse zu Leermasse von 6 auf 12 so steigt der Logarithmus nur von 1.8 auf 2.5. Zudem ist der Leermasse auch durch Leichtbauweise eine technische Grenze gesetzt. Bei den großen Erststufen erreicht man max. 1:16 (Saturn V, N-1 Herkules), bei den Oberstufen die Satelliten tragen und meist durch Wasserstoff sehr große Tanks haben erreichen die Werte max. 1:10.

Will man die Nutzlast einer Rakete steigern, so ist es am sinnvollsten den spezifischen Impuls zu steigern. Leider ist dem als Materialgröße jedoch eine Grenze gesetzt. Immerhin kann man:

Entscheidende Verbesserungen kann man aber oft nur durch einen neuen Antrieb erreichen, so z.B. die Nutzlastverdoppelung der Delta 3 gegenüber der Delta 2 durch Übergang von einer Stufe mit Hydrazin als Treibstoff zu einer mit Wasserstoff als Treibstoff.

Oft muss man daher an dem Verhältnis Vollmasse / Leermasse drehen. Kleine Änderungen gehen durch leichtere Materialen, der häufigste Weg ist aber das man einfach die Tanks verlängert. Die Tanks machen gemessen am Gesamtgewicht der Rakete relativ wenig aus, so das eine Verlängerung es erlaubt, mehr Treibstoff mitzuführen ohne die Leermasse stark anzuheben. Hinzu kommt dass man das Stufenverhältnis vergrößert (siehe unten) und dadurch auch die Nutzlast.

Aber auch dem sind Grenzen gesetzt, denn die Triebwerke bleiben gleich, müssen nun aber mehr Nutzlast anheben. Die Beschleunigung wird geringer, was besonders bei den Erststufen die ja erst von der Erde abheben müssen und möglichst rasch Höhe gewinnen sollen wichtig ist. Eine geringere Beschleunigung bedeutet mehr Verluste durch den Luftwiderstand.

Das Stufenprinzip

Die bisher gesagten Dinge gelten auch für eine Rakete mit mehreren Stufen. Vereinfacht gesagt addieren sich die Geschwindigkeiten der einzelnen Stufen und man kann jede Stufe wie eine komplette Rakete behandeln.

Das man nun aber Raketen nicht mit 100 Stufen baut, um sehr hohe Geschwindigkeiten zu erreichen hat primär mit drei Gründen zu tun:

Äußerer WirkungsradMan kann theoretisch nachweisen, dass die Masseverhältnisse von Stufen nicht beliebig gewählt werden können, sondern es ein Optimum gibt. Dieser äußere oder integrale Wirkungsgrad ist definiert als

Wirkungsgrad = ln (Startmasse/Endmasse)² /  (Startmasse/Endmasse)-1

Diese Funktion hat ein Optimum bei e1,59362426 das entspricht einem Masseverhältnis von 0.20318787. Bei diesem Verhältnis ist die Treibstoffausbeute bei einstufigen Raketen am besten. Nur damit kann man keinen Orbit erreichen. Man braucht also mehrere Stufen

Die Berechnung der Geschwindigkeit jeder einzelnen Stufe geht nach der gleichen obigen Formel, die nur um die Oberstufen geändert werden muss. (Wie man die Nutzlast bei gegebener Geschwindigkeit berechnet siehe unten, wichtig ist jetzt nur das eine größere Geschwindigkeit gleichbedeutend mit mehr Nutzlast für eine gegebene Geschwindigkeit ist).

v = spez. Impuls * ln((Vollmasse dieser Stufe + Vollmasse aller oberen Stufen + Nutzlast ) / (Leermasse dieser Stufe +Vollmasse aller oberen Stufen + Nutzlast))
v aller stufen: Summe der einzelnen Geschwindigkeiten jeder einzelnen Stufe

Konkret sieht dies z.B. bei einer Rakete aus zwei Stufen (100.000 kg / 10.000 kg erste Stufe, 20.000 kg / 2.000 kg zweite Stufe, spezifischer Impuls je 3000 m/s), Nutzlast 3000 kg so aus:

Bitte merken Sie sich dieses Beispiel, auf das wird noch mehrmals in dem Aufsatz zurückgegriffen. Es werden spezifischer Impuls und die Massen von erster und zweiter Stufe variiert. Gleich bleiben aber:

Zum Vergleich: Mit nur einer Stufe und gleicher Voll/Leermasse läge die Geschwindigkeit bei
v = 3000 * ln (120.000/12.000) = 6907 m/s.

Der Geschwindigkeitsgewinn wird jedoch immer kleiner. Bei den gleichen Werten für Voll/Leermasse und der gleichen Abstufung der Stufen (5:1) erhält man als Endgeschwindigkeit:

Man sieht, das der Geschwindigkeitszugewinn immer kleiner wird : Das liegt an der immer kleineren Stufenmasse, bei einer fünfstufigen Rakete wiegt die letzte Stufe nur noch 154 kg und kann die 3000 kg schwere Nutzlast kaum mehr beeinflussen. Bei einer "echten" Rakete würde die Nutzlast sogar zurückgehen, da das Vollmasse/Leermasseverhältnis einer kleinen Stufe schlechter als das einer großen ist.

Das Stufenverhältnis?

Sobald mehr als eine Stufe im Spiel ist stellt sich die Frage wie sich die Massen der Stufen zueinander verhalten. Nun es gibt hierfür ein paar Regeln:

Gleicher spezifischer Impuls

Haben die Stufen ungefähr gleiche spezifische Impulse so ist es am günstigsten, wenn jede Stufe die gleiche Geschwindigkeit aufbringt. Dies wiederum ist gegeben wenn das Verhältnis von Vollmasse(+alle oberen Stufen) zu Leermasse (+alle oberen Stufen) gleich ist, was zu einer komplexen Gleichung bei mehr als zwei Stufen hinausläuft. In erster Nährung kann man aber sagen. Das man über folgende Gleichung zur Lösung kommt

Erstens: Bilde das Verhältnis zwischen Vollmasse der gesamten Rakete und Nutzlast und nenne es M
Zweitens, der Gesamtteiler wird bestimmt nach:

Nutzlast: 1
letzte Stufe: 1*x (Nutzlast *x)
vorletzte Stufe (1+x)*x (Nutzlast+letzte Stufe)*x
zweitletzte Stufe ((1+x)*x)*x (Nutzlast+letzte Stufe+vorletzte Stufe)*x

und so weiter... Mit × wird also immer der gesamte letzte Term multipliziert. Alle Terme zusammen werden addiert und gleich M gesetzt;

M = 1+ x + (1+x)*x+ ( (1+x)*x)*x....

Wenn man diese Gleichung nach × auflöst, so erhält man den Stufenteiler. Die Masse erhält man wenn man die einzelnen Terme errechnet und mit der Nutzlastmasse multipliziert. So erhält man für das obige Beispiel als ideale Stufenkombination 103.8 t und 16.2 t, als Endgeschwindigkeit 8548,8 m/s, also nochmals 300 m/s als im Beispiel mit ungünstigerem Teiler von 5:1 errechnet.

Unterschiedlicher spezifischer Impuls

StufenverhältnisWenn - was der Normalfall ist - die Stufen unterschiedliche spezifische Impulse haben, so ist es günstiger, wenn die Stufe mit dem hohen spezifischen Impuls schwerer ist, also ihr Vollmasse zu Leermasse Verhältnis zur Nutzlast größer ist. Umgekehrt sollte bei niedrigem spezifischen Impuls dann das Verhältnis kleiner sein.

Daraus folgt gleich als nächste Forderung, das man Stufen mit hohem spezifischen Impuls als letzte Stufen einsetzt und solche mit schlechtem spezifischen Impuls als Startbooster.

Dies hat zwei Gründe. Zum einen kosten solche Stufen mehr, wenn man also die gleiche Geschwindigkeitssteigerung mit einer leistungsfähigeren aber teureren Stufe als erster oder zweiter (dritter etc.) erreichen kann, so ist es günstiger sie als Oberstufe einzusetzen.

Beispiel unsere Modellrakete: Eine Stufe soll nun einen spezifischen Impuls von 4200 m/s haben. Die andere hat nach wie vor einen von 3000. Als ideale Lösungen errechnen sich:

oder

die Endgeschwindigkeit von 10399 m/s und die Nutzlast von 3000 kg ist in beiden Fällen identisch! Jedoch benötigt man einmal eine 101.12 t und einmal eine 25.77 t schwere Stufe mit der teureren Technik. Die Grafik oben zeigt die erreichbare Endgeschwindigkeit mit einer vorgegebenen Nutzlast für eine Rakete mit einer variablen Aufteilung der Startmasse in erste und zweite Stufe. Auch hier wurde als erste Stufe eine mittelenergetische (spezifischer Impuls 3000 m/s) und als Oberstufe eine hochenergetische Stufe (spezifischer Impuls 4350 m/s). Hier liegt das optimale Verhältnis bei 3:1. Die untere Grafik zeigt die gleichen Stufenverhältnisse bei gleicher Nutzlast, jedoch zwei nahezu gleichen hochenergetischen Stufen (4200 und 4350 m/s spezifischer Impuls) an. Man sieht, dass zum einen die Abnahme hin zu höheren Verhältnissen geringer ist und sich das Optimum zu einem höheren Verhältnis (nun 4.5:1) verschoben hat. Die letzte Abbildung unten zeigt, was passiert, wenn man eine erste Stufe mit hohem spezifischem Impuls(4350) mit einer mit geringem spezifischen Impuls (3000 m/s) als Oberstufe kombiniert, also spezifischer Impuls der beiden Stufen in der ersten Abbildung vertauscht. Nun rückt das Optimum noch weiter weg zu hohen Verhältnissen (11.5:1).

Der zweite Grund ist ein anderer: Ändert sich die geforderte Geschwindigkeit so steigt oder sinkt die Nutzlast. Da man in der Praxis nicht für jeden Orbit die ideale Rakete konstruieren kann, muss man die Nutzlast anpassen, dadurch ändert sich aber das Verhältnis der Massen. Eigentlich ändert es sich aber nur für die letzte Stufe gravierend: Würde die Nutzlast bei der zweistufigen Rakete z.B. auf 1 t sinken so würde dies bei einer 100 t schweren Erststufe kaum etwas ändern, jedoch bei der 10 oder 20 t schweren Oberstufe. So ist es sinnvoll die Stufe die den größten Antriebsbedarf durch ihren hohen spezifischen Impuls decken kann, als Oberstufe zu wählen, dann nimmt die Nutzlast für eine geforderte höhere Geschwindigkeit nicht so stark ab.

Aus diesem Grund wurde der Antrieb Wasserstoff / Sauerstoff zuerst bei Oberstufen eingesetzt. Heute ist es sehr selten, das eine Rakete schlecht gewählte Stufenmassen hat, am Anfang der Raumfahrt gab es dies jedoch, da zuerst gar keine Oberstufen zur Verfügung standen. So stieg die Nutzlast der Atlas ohne Oberstufe von 1.3 t über die Agena Oberstufe auf 2.7 t und mit der Centaur auf 4.6 t. Auch die Verdopplung der Nutzlast der Delta 3 gegenüber der Delta 2 geht auf eine schwerere (19 anstatt 7 t) und leistungsfähigere Oberstufe zurück. Ähnliches ist bei der Ariane 5 mit der neuen Oberstufe ESC-B zu erwarten: Sie erhöht auch die Nutzlast um 60 %, obgleich die Startmasse nur um 2 % steigt.

Von der Geschwindigkeit zur Nutzlast

Alle Formeln bisher behandelten immer nur die Geschwindigkeit, wie aber bekommt man die richtige Nutzlast für eine vorgegebene Geschwindigkeit?

Der erste Ansatz ist dass man einen Schätzwert für die Nutzlast nimmt. So könnten wir für eine geforderte Geschwindigkeit von 10000 m/s bei unserer Beispielrakete mal eine Nutzlast von 1000 kg annehmen. Daraus errechnet sich eine Endgeschwindigkeit von 9923 m/s, also schon ganz nahe an unserer Zielgeschwindigkeit. Nun man kann für die letzte Stufe die Nutzlast errechnen wenn diese 10000 m/s erreichen soll. In diesem Fall sind 77 m/s aufzubringen. Das verringert die Nutzlast nach dieser Formel

Neue Nutzlast= (1/exp(vdiff/spez)*(Nutzlast+Leermasse))

mit vdiff = erreichte Geschwindigkeit-Zielgeschwindigkeit = 77 m/s errechnet man so eine Nutzlast von 923 kg. Nun berücksichtigt dies natürlich nicht, das sich auch das Masseverhältnis für die Grundstufe ändert, es taugt allerdings als Schätzung für eine neue Berechnung, die nun eine Endgeschwindigkeit von 9995 m/s ergibt. Wenn man nun für die Differenz wiederum die Schätzung durchführt, so erhält man 918 kg, die man wiederum in die Berechnung der Geschwindigkeit einsetzt...

Dieses Verfahren nähert sich so der richtigen Nutzlast. Man bricht ab wenn man z.B. auf 1 kg oder 1 m/s an der Geschwindigkeit bzw. Nutzlast dran ist. Selbst bei schlechten Schätzungen hat nach 4-5 Berechnungen die Nutzlast recht genau ermittelt. Klar ist natürlich auch das sich so ein Verfahren vor allem für den Computer eignet....

Die Verluste beim Aufstieg

Zusammen mit dem Artikel über Orbits, haben sie nun alles, um zu errechnen welche Nutzlast eine Rakete in welchen Orbit bringt. Doch wenn Sie reale Raketen nachrechnen so werden sie sehen, das die Geschwindigkeit die diese benötigen um eine Nutzlast in den Orbit zu bringen 1200-2000 m/s höher als die Bahngeschwindigkeit ist.

Die Verluste haben drei Ursachen:

Während die Luftreibung sofort verständlich ist, weil jeder sie auf der Erde vom Fahren kennt. Zu den letzten beiden Punkten, die zusammen hängen. Wie jeder weis braucht man Energie um einen Körper in einem Gravitationsfeld anzuheben. Jeder der einen Spudelkasten einige Stockwerke hoch geschleppt hat weis dies. Diese Energie ist berechenbar nach :

E = GM * ((1/r1)-(1/r2))

GM : Produkt aus Gravitationskonstante und Masse der Erde = 5,976E24 kg * 6,6726E-11 (m³ / (kg*s²))

r1 : Startradius (Erdoberfläche = 63710000 m vom Erdmittelpunkt entfernt)

r2 : Endradius (gewünschte Höhe)

Rein theoretisch ist die Energie nicht umsonst aufgewandt worden, denn um genau denselben Energiebetrag sinkt die Kreisbahngeschwindigkeit ab. So beträgt sie an der Erdoberfläche 7912 m/s, in 200 km Höhe noch 7786 m/s und in 36000 km Höhe noch 3071 m/s. Würde man eine Rakete wie eine Kanonenkugel abschießen können und dann erst in der Zielhöhe zünden, so müsste man nur die Kreisbahngeschwindigkeit und die Energie für das Anheben aufbringen.

Leider ist dem nicht so. Eine Rakete braucht einige Minuten um die gewünschte Höhe zu erreichen und während der ganzen Zeit verbrennt sie Treibstoff. Das ist energetisch ineffizient, denn sie muss ja auch den Treibstoff auf die Zielbahnhöhe anheben. Sie bringt also für das Anheben des Treibstoffs (und der nicht in den Orbit beförderten Stufen Energie auf und diese Energie muss zusätzlich zu den 7910 m/s Gesamtenergie aufgebracht werden.

Man kann aus dieser Tatsache einen Schluss ziehen: Je schneller eine Rakete an Höhe gewinnt, d.h. je größer die Startbeschleunigung ist, desto geringer sind diese Verluste. Ordnet man zum Beispiel die Raketen nach den Verlusten, so fällt auf, das Raketen die sehr langsam starten wie die Saturn 5 größere Verluste haben als sehr rapide startende Raketen wie die Delta.

Aber die Erde bringt auch etwas mit sich

Die Erde rotiert und diese Geschwindigkeit addiert sich zu der Geschwindigkeit der Rakete. Deswegen starten die meisten Satelliten in Richtung der Erdrotation. Am Äquator beträgt die Rotationsgeschwindigkeit 463 m/s, in der Höhe von Cape Canaveral immerhin noch 405 m/s und beim nördlichsten Startplatz in Plestesk (64 Grad Nord) noch 202 m/s.

Addiert man die Verluste und den Gewinn so erhält man eine Geschwindigkeit von 1200 - 2000 m/s die zusätzlich aufgebracht werden muss. Am unteren Ende liegen Raketen die wie Pegasus aus der Luft starten oder mit starken Feststoffboostern ausgerüstet sind, am oberen Ende Raketen die sehr langsam beschleunigen wie z.B. die Saturn 5. Bei den meisten heutigen Raketen sind etwa 1500-1800 aufzubringen.

Parallelstufen Prinzip

Ariane 44LP Alle bisherigen Annahmen gingen davon aus, dass die Stufen nacheinander gezündet werden. Dies ist das klassische Stufenprinzip. Man nennt es wegen der Zündung nacheinander auf serielles Stufenprinzip. Alle Trägerraketen der ersten Jahre der Raumfahrt arbeiteten nach diesem Prinzip. Seit Mitte der sechziger Jahre hat sich im Westen jedoch als Ergänzung das Parallelstufenprinzip durchgesetzt. Bei dem Parallelstufenprinzip ordnet man eine (oder mehrere) Stufen nebeneinander an und zündet diese gleichzeitig. In der Regel brennt dann eine zentrale Stufe länger als die äußeren, so das es so zu einer mehrstufigen Rakete kommt. Die deutsche OTRAG Rakete wäre eine Rakete gewesen, die dieses Prinzip durchgehend benutzt hat. Heute verwendet man es nur bei der ersten Stufe wobei man die Zusatzraketen aus dem amerikanischen Sprachgebrauch als "Booster" bezeichnet. (Von to boost = Beschleunigen, verstärken). Von Vorteil beim Mehrstufenprinzip ist, das man durch Variation der Zusatzbooster man die Rakete der Nutzlast anpassen kann. So verwendet z.B. eine Delta 9 Zusatzbooster, es sind aber auch Versionen mit 3,4 oder 6 Boostern verfügbar. Bei Ariane 4 konnte man so einen breiten Nutzlastbereich von 1900-4900 kg GTO Nutzlast abdecken.

Das Parallelstufenprinzip hat nichts mit der Anordnung der Stufen zu tun, sondern der gleichzeitigen Zündung. So zündeten bei der Titan 3 und 4 die Booster vor der Zentralstufe. Obwohl die Rakete genauso aussieht wie eine H-2 oder Ariane 5 ist sie daher eine Serienstufenrakete.

Technisch kann man mehrere Variationen dieses Prinzips unterscheiden. Bei der ich die Geschwindigkeitsberechnung kurz beleuchten möchte:

  1. flüssige Zusatzbooster: Sie sind die Ausnahme und bislang nur eingesetzt bei der Sojus, Ariane 4, Delta 4 Heavy, GSLV und einigen chinesischen Trägerraketen. Eine flüssige Stufe als Zusatzrakete macht technisch wenig Sinn. Denn es wäre besser für das Verhältnis von Voll/Leergewicht wenn dann die Zentralstufe mehr Treibstoff oder mehr / stärkere Triebwerke bekommt. Bei allen eingesetzten Raketen sprachen daher vor allem wirtschaftliche Gründe für das Vorgehen: Man verwendete schon entwickelte Stufen als Booster - und sparte so eine Neuentwicklung die Kosten verursacht hätte. Bei Ariane 4 erlaubte es der zusätzliche Schub die erste Stufe so zu verlängern, das sie 50 % mehr Treibstoff mitführen konnte, wodurch ihr Voll- zu Leermasseverhältnis günstiger wurde. Bei der Berechnung kann man hier, weil erste Stufe und Zusatzbooster in der Regel ähnliche spezifische Impulse haben diese zu einer Stufe zusammenfassen.
  2. Kleine feste Zusatzbooster: Man findet dies bei der Delta und Atlas. Die kleinen Booster dienten zuerst nur dazu sehr schnell Geschwindigkeit zu erreichen. Je schneller eine Rakete anfangs beschleunigt, je kleiner ist der Verlust durch den Luftwiderstand in den niedrigen Luftschichten und auch die Geschwindigkeit die man benötigt um eine bestimmte Mindesthöhe zu erreichen ist kleiner. Später wurden immer mehr dieser Booster (bis zu 9) angebaut, so das ihre Masse fast so groß wie die der ersten Stufe wurde. Da diese Feststoffbooster einen anderen Spezifischen Impuls und Masseverhältnisse als die Zentralstufe haben ist die Berechnung etwas schwieriger. Sinnvoll ist es zu errechnen, wie viel Treibstoff die Zentralstufe verbraucht hat, bis die Feststoffbooster ausgebrannt sind. Man berechnet dann aus beiden Treibstoffmengen und spezifischen Impuls einen Mittelwert und nimmt dann dies als Basis für eine "erste Stufe". Der Rest der Zentralstufe (verbleibender Treibstoff)+Leermasse bildet dann die "zweite Stufe". Wie sie an den Gänsefüßchen sehen ist dies nur eine gute Annäherung, denn in Wirklichkeit ist die Rakete eben "Eineinhalbstufig". (Zumindest für die Berechnung. Dieser Begriff wird oft so missverständlich verwendet, dass man ihn möglichst meiden sollte).
  3. Große feste Zusatzbooster: Heute am verbreitetesten, z.B. beim Space Shuttle, Ariane 5, H-2. Hier ist die Brenndauer der Zentralstufe erheblich länger als die der Booster. Bei Ariane 5 z.B. 605 zu 125 Sekunden. Man kann diese rechnerisch als getrennte Stufen betrachten, ohne viel Genauigkeitsverlust hinnehmen zu müssen. Der Vorteil das man die Zentralstufe nicht nach den Boostern zündet (wie bei der nächsten Variante) ist, das man die Funktion der Zentralstufe schon vor dem Start der Booster testen kann: Die meisten Probleme die ein Triebwerk hat, zeigen sich schon bei der Zündung wie z.B. zu niedrige Werte bei der Treibstoffförderung. Da der Schub der Zentralstufe nicht ausreicht damit die Rakete abhebt kann man das Triebwerk starten, testen und wenn es die Sollwerte erreicht hat dann erst die Booster zünden. Erst dann hebt die Rakete ab. Man nutzt dies ausgiebig beim Space Shuttle und Ariane 5 und hofft dadurch auf eine erhöhte Zuverlässigkeit. Als Nebeneffekt kann man die Rakete "untermotorisieren". Da der Großsteil des Schubs von den Booster kommt, kann man das Triebwerk der Zentralstufe kleiner auslegen als eigentlich notwendig. Sie sorgen für eine hohe vertikale Beschleunigung nach dem Start die nötig ist um die spätere Höhe des Orbits zu erreichen. (Bei der Ariane 5: 133 von 250 km Höhe). Bis das Zentraltriebwerk diese weiter alleine anheben arbeiten muss hat es aber schon einen Teil des Treibstoffs verbrannt. So wiegt die Ariane 5G ohne Booster 190 t, das Triebwerk der ersten Stufe hat jedoch nur einen Schub von 105 t. Ohne die Booster könnte die Rakete nicht abheben. Allerdings ist auch hier ein stärkeres Triebwerk von Vorteil, weil dadurch der Treibstoff schneller verbrannt wird und weniger Arbeit in das Anheben von Treibstoff fliest, die schlussendlich Verlustarbeit ist. So führte alleine die Einführung des schubstärkeren Vulcain 2 zu 700 mehr Nutzlast.
  4. Abwurf der Triebwerke: Dies ist ein Grenzfall der Parallelstufentechnik, den man mit etwas anderen Argumenten auch als Sonderfall der Serienstufung nehmen kann. Eingesetzt wurde dieses Prinzip nur bei der Atlas Trägerrakete (Bis zur Version Atlas 2). Dabei zündeten beim Start 3 Triebwerke in einer "normalen" Stufe. Zwei Triebwerke waren sehr schubstark und eines für den Vakuumbetrieb ausgelegt. Nach Verbrauch von 80 % des Treibstoffes, wenn das zentrale Triebwerk mit seinem geringeren Schub alleine für die Beschleunigung ausreichte wurden die beiden größeren Triebwerke abgesprengt. Die Masse der Stufe reduzierte sich so auf weniger als die Hälfte. Dies ist rechnerisch am schwierigsten zu modellieren. Ich habe bei der Atlas dies in zwei Stufen aufgespalten, wobei die zweite die Restmasse nach Abtrennung der Marschtriebwerke umfasst und die erste Stufe die Masse der Marschtriebwerke und ihr Treibstoff

Zwei Varianten des Stufenprinzips wurden bislang nicht eingesetzt. Das eine ist der Abwurf der leeren Treibstoffbehälter der äußeren Booster ohne die Triebwerke. Da diese sehr leicht sind und man so kaum Masse verliert ist dies auch unökonomisch. Das zweite nicht umgesetzte Prinzip ist das einer klassischen Parallelstufenrakete. Bei dieser zünden Zentralstufe und Außenstufen gemeinsam, aber zuerst wird nur der Treibstoff der Außenstufen verbraucht. Nach Abwurf der Booster wird der Treibstoff der Zentralstufe verbraucht. Dies hat den Vorteil, dass diese noch ganz voll ist und man so keine halb leeren Tanks mit beschleunigen muss.

"Bauplan" einer Rakete

Manch einer hat die Lust selbst Raketen zu konstruieren, daher an dieser Stelle für die Interessierten eine Anleitung wie man eine Rakete (mit flüssigen Treibstoffen angetrieben) in den wesentlichen Daten konstruiert. Die Angaben stammen aus dem Buch "Raumfahrttechnik I+II" von Harry Ruppe aus den achtziger Jahren, sind also nicht ganz aktuell.

Vorgehensweise

Man geht von der Nutzlast aus und berechnet zuerst die Masse der Stufe darunter, mit diesen Daten dann die der Stufe darunter etc....

Hat man die Rakete zusammen, so kann man die Endgeschwindigkeit berechnen und gegebenenfalls die Nutzlast anpassen oder die Stufen neu berechnen.

Masse einer Stufe

Sie müssen wissen:

Zuerst für die Nutzlasthülle und den Stufenadapter eine Unterscheidung ob sie die Rechnung für die letzte Stufe machen oder eine andere Stufe:

Fall 1: letzte Stufe:

Fall 2: Unterstufe

Von nun an ist alles identisch:

Triebwerksname Schub Gewicht Verhältnis Schub zu Gewicht Wasserstoffantrieb
HM 7B 64.0 kN 155 kg 41.3 Ja
RL-10C 255.7 kN 317 kg 49.1 Ja
RL-50 290 kN 500 kg 58 Ja
Vulcain 2 1350 kN 1800 kg 75.0 Ja
SSME 2278 kN 3177 kg 73.1 Ja
S5.98M 19.62 kN 98 Kg 20.6 Nein
AJ-10 118K 43.44 kN 95 kg 44.3 Nein
RD-124 294.3 kN 480 Kg 61.3 Nein
LR-91.1 467 kN 589 kg 79.2 Nein
RD-120 833 kN 1125 kg 74.0 Nein
RD-180 4152 kN 5393 Kg 76.9 Nein
RD-171 7903 kN 9500 kg 83.1 Nein

Sie erhalten so die Leermasse der Stufe indem sie diese Einzeldaten addieren. Da einige Parameter von der Gesamtmasse abhängig sind (Schub, Steuerung) kann es sein, dass zuerst einen Schätzwert für die Leermasse annehmen und diese Berechnung iterativ wiederholen.

Danach haben Sie die Masse einer Stufe. Nun gehen Sie an dieselbe Rechnung, nur ist eben das zu tragende Gewicht dann das der Oberstufe + Nutzlast. So erhalten sie die Masse der Rakete. Im folgenden Feld können Sie so eine Stufe berechnen (Javascript muss aktiviert sein).

Wasserstoff Ja

Letzte Stufe?

Ja
Nutzlast + Oberstufen kg
Schub KN
Treibstoff kg
Triebwerk kg
Tanks kg
Treibstoffreste kg
Struktur kg
Steuerung kg
Adapter kg
Nutzlasthülle kg
Gesamtmasse ohne Nutzlasthülle kg

Die Geschwindigkeitsberechnung wird im Aufsatz über die Raketengrundgleichung noch vertieft.

Dieser Text stammt von Bernd Leitenberger
© des Textes: Bernd Leitenberger. Jede Veröffentlichung dieses Textes im Ganzen oder in Auszügen darf nur mit Zustimmung des Urhebers erfolgen.

Sitemap Kontakt Neues Impressum / Datenschutz Hier werben / advert here Buchshop Bücher vom Autor Top 99