Die Lösung für ein überflüssiges Problem: Wie weit fliegt ein Golfball auf dem Mond?
Alan Shepard, im Privatleben wohl begeisterter Golfer lies es sich nicht nehmen auch auf dem Mond zu golfen. Der Golfball flog als Teil seiner persönlichen Dinge mit (das war noch vor dem Brief-Skandal von Apollo 15 als die Astronauten Briefe zum Mond mitnahmen und die später teuer verkauft wurden) der Schläger bestand aus einem Geologenhammer mit einer Verlängerung der dann ein „Eisen 6“ ergab.
Über das Resultat gibt es unterschiedliche Versionen. Nach Alan Shepard flog er bis er aus seinem Gesichtsfeld kam (das wäre auf dem mond wenn es keine Hügel gibt in 1,5 m Blickhöhe rund 2283 m entfernt), nach den Worten seines Kollegen aber nur ein par Hundert Meter weit.
Doch wie weit kann ein Golfball auf dem Mond fliegen?
Nun die Frage ist sehr einfach zu beantworten. Da es auf dem Mond keinerlei Luftwiderstand gibt, folgt ein abgeschlagener Golfball einer Wurfparabel. Wie man noch weiß, wenn man im Physikunterricht aufgepasst hat erreicht man bei dieser die maximale Weite bei einem Abschlagwinkel von 45° denn dann gilt:
vx = sin(45) * V0
vy = cos(45) * v0
vy und vy sind die Geschwindigkeiten in X bzw. Y Richtung, wobei uns nur X, also die Weite interessiert und V0 die Startgeschwindigkeit.
Da der Ball nach dem Abschlag der Gravitation unterliegt, wird er immer langsamer bis er die Geschwindigkeit 0 erreicht, damit die maximale Höhe. Danach wird die Geschwindigkeit negativ und er fällt, bis er wieder die Höhe 0 erreicht. Ohne Luftwiederstand sind beide Schenkel gleich groß und es reicht zu errechnen wenn vy = g*t ist, also das Produkt aus lunarer Schwerebeschleunigung und Zeit um die halbe Flugzeit t zu ermitteln.
Mittels S = vx * t können wir dann die Strecke bis zum Gipfelpunkt ausrechnen und nach S = 2*vx*t die Gesamtstrecke.
Wir brauchen also nur die Schlaggeschwindigkeit. Nun gibt es einen Rekord für Golf, der liegt bei 328,3 km/h. Doch typisch für Amateure sollen wohl 225 km/h sein. Das sind 62,5 m/s.
Damit ist vx = vy = sin(45) * 62,5 m/s = 44,19 m/s.
g liegt beim Mond bei 1,622 m/s². Somit ist t = 44,19 m/s / 1,622 m/s² = 27,26 s.
Ganz schön lange, zumal die Gesamt Flugzeit doppelt so lange ist.
Die Strecke S ist dann S = 2 * 27,26 s * 44,19 m/s = 2409 m.
Das ist schon ziemlich weit. Das würde zu Shepards Angaben passen, doch es ist zu bezweifeln dass er in dem Anzug so viel Wucht schafft wie auf der Erde. Ich denke auf der Erde liegt man beim Abschlag deutlich unter 300 m wie diese Webseite meint. Wir folgern daraus: auf dem Mond müssen Golfplätze großzügiger angelegt werden und dort gibt es dann sicher noch mehr dieser Elektroautos zum Rumfahren, sonst wird eine Partie etwas länglich.
Doch die Antwort ist zu leicht zu machen. Dehnen wir die Frage aus: Wie klein muss ein Himmelskörper sein, damit der Golfball eine Umlaufbahn erreicht? (oder die Fluchtbahn?)
Nun die Kreisbahngeschwindigkeit vk errechnet sich nach
vk = Quadratwurzel(GM/d)
G: Universelle Gravitationskonstante
M: Masse des Himmelskörpers
d: Distanz zum Zentrum, in diesem Fall Radius des Himmelskörpers, den wir suchen.
Nun brauchen wir aber noch die Masse. Wenn wir der Einfachheit halber annehmen, der Körper wäre eine perfekte Kugel so ist die Gesamtmasse M = 4/3 * π * d³ * ρ
Wobei ρ die mittlere Dichte ist.
Aus praktischen Gründen ist die Kreisbahngeschwindigkeit eigentlich uninteressant. Erreicht man eine Kreisbahn, so legt der Aufschlagsort den Startpunkt fest, das heißt spätestens nach einem Umlauf schlägt der Ball dort wieder auf. Das ist witzlos. Doch wenn er eine Fluchtbahn einschlägt ist er für immer weg. Die Fluchtgeschwindigkeit vf leitet sich aber einfach von der Kreisbahngeschwindigkeit ab die ist um den Faktor 1,414 größer, der Quadratwurzel aus 2.
vf = Quadratwurzel(2*GM/d)
Bleibt noch die Frage des Abschlagswinkels. Er ist egal, weil nur v0 zählt. Er legt nur fest in welcher Richtung man den Himmelskörper verlässt.
Nun suchen wir d, also können wir also gleichsetzen:
v0 = vf
V0 = Quadratwurzel(2*GM/d)
Da M unbekannt ist, ersetzen wir M durch die Berechnung der Masse aus dem Volumen:
V0 = Quadratwurzel(2*G* 4/3 * π * d³ * ρ/d* 1000)
Der Faktor 1000 kommt daher dass wir in Metern rechnen und 1 m³ hat bei Dichte 1,0 g/cm³ das Gewicht von 1000 kg
oder vereinfacht:
V0 = Quadratwurzel(2*G* 4/3 * π * d² * ρ*1000)
ρ ist nun variabel je nach Himmelskörper. Churymasov-Geramisenko scheint einige Hohlräume zu haben. Seine Dichte beträgt 0,4 g/cm³. Dies ist die kleinste bisher bekannte Dichte. Die Eismonde bei Saturn haben eine Dichte von 1. Irdische Gesteine wie Basalt und Granit liegen bei 2,2 bis 2,5, wenn sie nicht durch oberes Gestein komprimiert werden. Die Erde als dichtester Planet bei 5,6 und Eisenmeteorite eine von 8. Sie sind die dichtesten bekannten Körper im Sonnensystem. Nehmen wir an, wir landen auf einem massiven erdnahen Asteroiden mit einer Dichte von 2,4 so kann man bei dem gegebenen v0 von 62,5 m/s die Distanz d errechnen:
62,5 = Quadratwurzel(2*G* 4/3 * π * d² * 2,4)
d= Quadratwurzel(62,5² * 3 / ( 19600 * G * π )
Wir erhalten für d = 53959 m also ein Himmelskörper von fast 106 km Durchmesser. Das ist schon ein schöner Brocken. Wäre er aus Eis (Dichte=1) so wäre der Körper sogar über 167 km groß und bei der Dichte eines Eisen Meteoriten immerhin noch 59 km im Durchmesser.