Raketenkonstruktion für Anfänger am Beispiel des Starships

Zuerst mal eine Erklärung: Unter Raketenkonstruktion verstehe ich die Ermittlung wesentlicher Daten einer Rakete, die man für Berechnungen benötigt, wenn diese nicht bekannt sind oder nicht bekannt sein sollen. Das meiste davon hat nichts mit Mathematik zu tun, sondern Erfahrung und einer guten Bibliothek: Da die Physik und Chemie überall die gleiche ist, wird eine neue Rakete sich nicht so stark von existierenden oder mal existenten unterschieden. Das ist bei anderen technischen Geräten auch so. Das heißt, man zieht vergleiche. Wenn ich z. B. die Masse einer Stufe zu 100 t schätze und es eine Treibstoffkombination mit einer mittleren Dichte von etwa 1 ist dann kann ich die Trockenmasse auf 5 bis 8 t schätzen. Am unteren Bereich liegen Konstruktionen mit innendruckstabilisierten Tanks, leichten Legierungen und einem Integraltank, am oberen Bereich Konstruktionen mit Edelstahl, ohne Innendruckstabilisierung und zwei getrennten Tanks. Kennt man da noch einige Details, so kann man das weiter einkreisen. Auch die Stufenverhältnisse, also wie sich die Startmasse auf die Stufen aufteilt, kann man so gut abschätzen.

Wenn man Abbildungen hat, kann man die Stufen ausmessen und abschätzen, wie viel Volumen die Tanks haben, und damit in etwa wie viel Treibstoff vorhanden ist.

Ich habe das in den Achtzigern erstmals angewendet und so relativ genau russische Raketen rekonstruiert von denen man damals kaum etwas wusste. Dann benötigte ich das lange nicht mehr, bis vor einigen Jahren mit den neuen „kommerziellen“ Entwicklungen es üblich wurde, fast nichts mehr zu publizieren. Das gilt inzwischen auch für Starts durch NASA, ESA und Co, die früher Pressemitteilungen gespickt mit vielen Daten herausgaben.

Am 1.4. kam nun das „Users Manual“ zum Starship online. Ich dachte, als ich das 6 Seiten dünne Pamphlet las, es handele sich um einen Aprilscherz handelt, denn über die Rakete steht eigentlich nichts drin. Okay, das wird auch woanders seltener, im Ariane 6 User Manual findet man auch keine Stufendaten mehr, aber für die Benutzer sind wie für sie wesentlichen Daten noch enthalten und selbst diese sind auf das Minimum heruntergestrippt. Was man eigentlich über die Rakete erfährt, ist das die Nutzlastverkleidung 17,24 m lang ist bei 8 m Durchmesser und sie 100 t in LEO und 21 t in den GTO transportiert. An Letztem will ich einhaken und zeigen, wie man mit etwas Mathematik zumindest einen Wert ermitteln kann – die Trockenmasse des Starships.

Basis

Um das Problem zu vereinfachen, gehe ich im Folgenden davon aus, das wir die erste Stufe außen vor lassen und zwei Fälle haben:

  • Im ersten Fall startet das Starship mit 100 t Fracht in den LEO.
  • Im zweiten Fall startet das Starship mit 21 t Fracht in den GTO und 79 t (Differenz zu 100 t) Treibstoff sind dafür noch in den Tanks.

Die 79 t Treibstoff werden benötigt, um das Starship mit Nutzlast von der Geschwindigkeit eines LEO in den GTO zu befördern.

Als erstes sollte man also die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen LEO und GTOP ermitteln. Das ist eine profane Anwendung der Vis-Viva Gleichung, deren Ausführung ich mir schenke. Man errechnet:

Bahn Geschwindigkeit in 200 km Höhe Differenz zu 200 km Kreisbahn
200 km hohe Kreisbahn 7.784 m/s 0 m/s
200 x 35.790 km GTO Bahn 10.239 m/s 2.455 m/s

Für diese 2455 m/s Geschwindigkeitsänderung werden also 79 t Treibstoff verbraucht. Nach der Raketengrundgleichung kann man für eine Geschwindigkeitsänderung ansetzen:

v = Vspez * ln (Startmasse / Endmasse)

Der spezifische Impuls des Raptors ist nicht bekannt. Ich habe die 3.700 m/s, welche die Wikipedia angibt, angesetzt.. So sind noch Endmasse und Startmasse unbekannt. Immerhin wissen wir aber das im GTO-Fall die Endmasse 79 t kleiner als die Startmasse ist. Wenn wir also die unbekannte Endmasse mit x benennen, dann kann man ansetzen:

2455 m/s = 3.700 m/s * ln (x+79 / x )

Nun muss man nur noch nach x auflösen. Zuerst ziehen wir alle Konstanten nach links:

2455 / 3700 = ln (x + 79 / x)

dann muss der Logarithmus weg. Dazu exponentieren wir beide Seiten:

e(2455 / 3700) = (x + 79 / x)

Nun rechne ich die linke Seite aus:

1.941 = (x+79/x)

Die rechte Seite kann ich auch anders ausdrücken:

x+79 / x = (79 / x) +1

Und dann kann ich x direkt berechnen und komme auf ~ 84 t.

Gegenprobe:

3700 * ln (84+79 / 79) ergibt 2453 m/s – die kleine Differenz kommt durch Runden bei den Massen und Faktoren zustande.

Mit 21 t Nutzlast wiegt das Starship also 84 t, ohne 21 t Nutzlast sollte es also 63 t wiegen.

Erfahrungswissen

Bisher ging ich davon aus, das die Differenz zu 100 t nur Treibstoff ist. Das ist aber nicht der Fall. Vielmehr wiegt das Starship vom Start weg 79 t weniger. Die erste Stufe muss also 79 t weniger beschleunigen und hat daher bei Brennschluss eine höhere Geschwindigkeit. Das gilt auch für die zweite Stufe. Der Gewinn an Nutzlast ist ähnlich wie beim obigen Fall, nur laden wir eben nicht 79 t mehr Treibstoff zu, sondern haben eine um 79 t kleinere Startmasse, das ist wegen des Logarithmus in der obigen Gleichung nicht dasselbe. Es ist von anderen Trägern bekannt, wie viel mehr Nutzlast durch die erste Stufe erreicht wird, wenn die Oberstufenkombination um x kg leichter wird. Das dürften bei der der Super Heavy 25 % sein, also wenn die Oberstufe um 79 t leichter wird, dann kann die Erststufe ein Viertel davon abfangen. Die Nutzlasteinbuße würde also neu bei 80 % * 79 t liegen. Auf der anderen Seite ist der obige Ansatz von mehr Treibstoff in den Tanks ja auch nicht real. Sie sind nur zu 100 % füllbar. Das kostet wieder Nutzlast und das muss man abschätzen. Für 1200 t Startmasse des Starships komme ich auf 7 % zu viel Nutzlast.

Jetzt wird es also richtig kompliziert, denn wir haben zwei gegenläufige Faktoren, die noch dazu voneinander abhängen. Man müsste also in einer Schleife ausgehend von 84 t iterativ sich den wahren Massen nähern. Aber ich denke man kann das Schenken. Wenn man als Differenz von 25 und 7 % etwa 18 % ansetzt, dann dürfte die Startmasse des Starships um 18 % höher sein, also anstatt 163 t wären es 192 t. Damit wäre das Starship ohne Nutzlast 92 t schwer.

— und Wirklichkeit

Ich habe mir ja schon mal die Mühe gemacht, die Kombination zu simulieren und ich bin auf rund 140 t Masse für das Starship gekommen. Einen Monat später bestätigte dies Musk: Elon musk schreibt „Mk1 ship is around 200 tons dry & 1400 tons wet, but aiming for 120 by Mk4 or Mk5. Total stack mass with max payload is 5000 tons.“ Also man erstrebt 120 t Trockenmasse, was ziemlich nahe an den 140 t ist ,die ich errechnete, aber deutlich mehr als die obigen 92 oder gar 63 t ist.

Das Problem dabei: setzt man eine Rakete an, welche die obigen Grenzwerte hat (5.000 t Startmasse, 1200 t zweite Stufe alleine und nimmt man noch die Informationen der Wikipedia hinzu, dann findet sich keine Lösung, die gleichzeitig 21 t in den GTO und 100 t in den LEO bei dieser Stufenmasse hat. Wenn eine modellierte Rakete 21 t in den GTO transportiert, dann sind es deutlich mehr als 100 t in den LEO und wenn es 100 t in den LEO sind, dann erreicht sie keinen GTO oder mit fast keiner Nutzlast. Mit den Wikipedia Eckwerten (3 aktive Triebwerke im Starship) komme ich z.B. auf 14 t GTO und 130 t LEO. Also im GTO deutlich weniger und im LEO deutlich höher. Das ist auch nicht verwunderlich, denn wie schon gesagt, die Physik gilt auch für SpaceX, und wenn wir oben 63 t für das Starship errechnen, dann können die anderen Faktoren, die ich im ersten Schritt weggelassen habe, daran noch etwas ändern aber nicht so viel, das ein doppelt so schweres Starship immer noch diese hohe GTO-Nutzlast hat. Das ergibt sich einfach daraus, das die 79 t Treibstoff und ihr Energiegehalt fix sind und die lassen eben nur eine bestimmte Geschwindigkeitsänderung zu.

13 thoughts on “Raketenkonstruktion für Anfänger am Beispiel des Starships

  1. Hab das ganze mal wieder mit den Angelsachsen geteilt Bernd und dabei ist diese frage herausgekommen:

    „I’ve been reading this a couple of time I’m not sure that the assumption on witch you base all of this is that the difference in payload capacity between different orbits is put back into the second stage of the Rocket as fuel.

    Do you mean for example that Falcon 9 is rated around 16t to LEO and 6t to GTO reusable. Do you mean that F9 S2 when launching to GTO has 10t more fuel than for LEO.

    I hope that I’m the one understanding this wrong, because that’s dumb AF.“

    Der Fragensteller ist übrigens laut seinem Redditverlauf mit ziemlicher Sicherheit ein Muskjünger.

    1. Nachtrag:

      Er hat wohl gesehen, dass ich dich hier gefragt habe und ist gleich beleidigend geworden und kommt mit Semenatik. Kennen wir schon von anderen Leuten.

      https://www.reddit.com/r/SpaceXFactCheck/comments/fx5xg9/rocket_design_for_beginners_using_the_starship_as/

      Du kannst es ja selbst nachlesen.

      Ja, habs auf Reddit mit DeepL übersetzt (es sind also möglicherweise Fehler drin) hab aber auf deinen Blog verlinkt. Klar, hätte ich es (hast du auch ja angeboten) direkt im Blog übersetzen können, aber die Leute, mit denen man in diversen Diskussionsbereichen dort zu tun hat, sind noch verbohrter als bestimmte Leute in einem gewissen Forum.

      Und die wollte ich dir in der Kommentarsplate ersparen.

      1. Ich gehe nur auf Kommentare ein die hier direkt gestellt werden, das kann auch in englisch erfolgen. Wenn jemand das nicht möchte dann hat er Gründe dafür und was woanders diskutiert wird auch wenn es um meine Beiträge geht ist eine Angelegenheit dieser Foren.

        Pass auf, das es Dir nicht wie bei der Raumcon geht und jeder Post auf meinen Blog gleich gelöscht oder kommentiert wird das ich das Diskutieren über diese nicht möchte (was ich nie gesagt habe, sondern nur das ich in meinem Blog nicht über Raumcon Beiträge diskutiere, was die gleiche Politik wie oben ist: die Diskussion mit dem Autor über Beiträge soll in dem Forum stattfinden in dem sie veröffentlicht werden.

        1. Passt. Das Ganze hat sich sowieso erledigt. Der Kerl hat dermassen rumgetrollt, dass ich leider den Bann Hammer schwingen mußte.

          Und dass meine Posts gelöscht werden ist eher unwahrscheinlich.Ein Subreddit ist bewußt sehr kritisch gegenüber SpaceX (wobei der Betreiber dort leider etwas bipolar ist, aber ich bin zumglück sehr diplomatisch) und der Andere wurde extra erstellt, weil sich die „normalen“ Raumfahrt Subreddits ähnlich wie Raumcon entwickelt haben.

          Ich fand persönlich die Ausrede putzig, dass du vermeintlich den „User Manual“ nicht „richtig gelesen“ haben sollst, und da nicht 100 Tonnen sondern „100+“ Tonnen steht. Ja, das + Zeichen soll gleich alles ändern. Und dann werden dir Rundungsfehler vorgeworfen bzw. das du die Raketengleichung „nicht richtig verstanden“ haben sollst und die Annahme, das das „Starship“ mit einer Nutzlast von 100T wenn es einen LEO keine DeltaV mehr übrigen haben soll falsch ist.

          Aber so wie ich das sehe, geht es davon welche Zahlen man benutzt, die sich inzwischen eh jeder selbst zurecht biegt. Und Kritiker sind ja in der heutigen Zeit immer gleich „Hater“.

          1. Ich hab übrigens vorhin den Amis geschrieben, dass sie direkt hier antworten sollen. Wenns dir so lieber ist, dann soll es so sein.

            Erwarte ergo eine Ami Invasion. (Oder auch nicht, mal abwarten.)

  2. S1:
    Dry mass = 120t
    Wet mass = 1200t
    ISP sea level = 340

    S2:
    Dry mass = 230t (just a placeholder from Wikipedia since we do not even have an approximation)
    Wet mass = 3300t
    ISP Vac = 370

    Payload LEO : 100t (The manual says 100t+ witch means more than a 100t)
    Payload GTO : 20t (it’s much simpler like that)

    dV=ISP*g*ln(wet mass/dry mass)

    dV(S2 LEO)=370*9.807*ln(1200/220)=6156

    dV(S2 GTO)=370*9.807*ln(1120/140)=7545

    dV(S1 LEO)=340*9.807*ln(5000/1430)=4174

    dV(S1 GTO)=340*9.807*ln(4920/1350)=4312

    So

    dV(LEO)=6156+4174=10330 m/s

    dV(GTO)=7545+4312=11857 m/s

    so

    dV(GTO) -dV(LEO)=1527 m/s

    You’re claiming that 1527m/s is too much to go from LEO to GTO. Witch is absolutely false it’s actually too little.

    But you can’t do an approximation that precise because our assumption are not that precise.

    Anyway it’s in the ball park!

    PS : I might have some mistakes in my math since I did it very fast, but you get the idea.
    PS 2: I’m the guy he banned from his subreddit because I told him that it’s inappropriate for a moderator of a supposedly fact checking subreddit to post articles he does not even understand or even read, but that’s not your problem

    1. By the way all this is for an expendable rocket.
      Starship is fully reusable I don’t know how you would calculate this for a reusable rocket. I think it’s impossible to have an approximation with that level of precision but I’m happy to be proven wrong!

      1. You repeated the calculation by bb (or he repeated you, probably because i first have to confirm a new poster to protect from spam, so he thought your post wouldn’t publish). For that i made already the comment and i never stated that the velocity difference between a GTO and a LEO is 1,5 km/s. I wrote 2,544 km/s.

        For the reuse: that makes in the calculation no big difference. Of course it changes the construction of the vehicle and you have to left fuel in both stages to land. But since the amount is the same for leo and gto and also the velocity change for return from orbit is the nearly the same that changes not much.

        But the starship must withstand a much harder return – with 10,3 instatt 7,8 km/s which is equivalent 70 % more Energie (after E = 1/2 mv²).

  3. Sie schreiben „wenn es 100 t in den LEO sind, dann erreicht sie keinen GTO oder mit fast keiner Nutzlast.“

    dV=Isp*g*ln(wet mass/dry mass)

    Fur die zweite Stufe:
    dV(S2 LEO)=370*9.807*ln(1200/220)=6156
    dV(S2 GTO)=370*9.807*ln(1120/140)=7545

    Fur die erste Stufe laut Wiki (trocken 230t):
    dV(S1 LEO)=340*9.807*ln(5000/1430)=4174
    dV(S1 GTO)=340*9.807*ln(4920/1350)=4312

    also,
    dV(GTO)=7545+4312=11857 m/s – dV(LEO)=6156+4174=10330 m/s
    dV(GTO) -dV(LEO)=1527 m/s

    1527<2500 also das Starship hat noch genugend Shub im Tank auf LEO, um ins GTO zu fliegen. Was ist hier falsch bitte?

  4. Ich muss sagen es ist ein bischen verwirrend fur mich also bitte haben si Gedult. Auf einer Seite verstehe ich dass die Differenze von LEO ins GTO etwa 2.5kms betragt aber auf der anderen Seite sagt die Rechnung dass die Differenze zwischen 20 und 100T Nutzlast ’nur‘ etwa 1.5kms ist. Ist es so dass die dV(GTO), also 20T Nutzlast, etwa 14.3kms sein musste um dorthin zu gelingen?

    1. Es heißt, dass ein Starship wenn es 21 anstatt 100 t Nutzlast hat seine Geschwindigkeit um 1,5 km/s ändern kann, das wäre, wenn der Ausgangsorbit einer von 200 km kreisförmig wäre eine Orbit von 200 x 10.000 km. Ein GTO hat den bahnhöchsten Punkt aber in 35.790 km und benötigt daher ein dV von 2,5 km/s. Es reicht also nicht, wie Du vortrefflich beweisen hast.

      Oder ein Vergleich aus dem realen Leben: wenn ein Stück Torte 2,5 Euro kostet und Du hast nur 1,5 Euro kannst Du Dir keines leisten.

  5. „Oder ein Vergleich aus dem realen Leben: wenn ein Stück Torte 2,5 Euro kostet und Du hast nur 1,5 Euro kannst Du Dir keines leisten.“

    Aber wenn Du Space-X bist, stellst Du Dich auf die Straße und versprichst jedem ganz tolle Tortenstücke, wenn sie Dir Geld für Dein Tortenstück geben. So verdienst Du genug Geld für Dein Tortenstück und noch mehr obendrauf. Du hast Dein Stück Torte und noch Gewinn gemacht, und Deine Spender sind glücklich weil sie von all den Tortenstücken träumen, die sie in der Zukunft ganz sicher sehen werden.

    🙂

    Fröhliche (und gesunde Ostern) an jedermann!

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