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Der heutige Grundlagenartikel für „Dummys“ (nicht ganz wörtlich zu nehmen – echte Dummköpfe steuern den Blog ohnehin nicht an, dafür sind sie zu dumm …) beschäftigt sich erneut mit der Raketengrundgleichung. Sie ist so fundamental und greift in alle Bereiche der Raketenkonstruktion hinein, dass man sie nicht in einem einzigen Blogartikel vollständig abhandeln kann. Im ersten Teil habe ich die Theorie erklärt. In diesem Teil geht es um die Praxis, und ich möchte sie so darstellen, wie ich sie mir selbst beigebracht habe – in den achtziger Jahren mit einem einfachen Taschenrechner, ohne Zugang zu Fachliteratur.

Wenn man sich die Formel anschaut, kann man an mehreren Stellschrauben drehen:

• den spezifischen Impuls der Stufen
• die Anordnung der Stufen
• den Strukturfaktor
• das Masseverhältnis der Stufen

Der Strukturfaktor ist das Verhältnis von Startmasse zu Leermasse einer Stufe. Das Masseverhältnis dagegen beschreibt die Massen der Stufen zueinander. Und mit letzterem fange ich an. Und zwar in diesem Blog nur mit Praxisbeispielen. Ich fange mit einer Rakete mit LOX/RP‑1 als Treibstoff an. Die erste Stufe ist bei allen Raketen gleich: 108 t Startmasse, 7 t Leermasse (Strukturfaktor 18), spezifischer Impuls 3 000 m/s. Auch die Zielgeschwindigkeit von 9 400 m/s (typisch für Raketen dieses Typs) ist immer gleich. Die Nutzlastverkleidung soll 800 kg wiegen und nach der ersten Stufe abgeworfen werden.

Die zweite Stufe variiert. Was immer gilt: Strukturfaktor 12, Ausströmgeschwindigkeit 3 200 m/s. Ich habe die zweite Stufe beginnend von 6 t Masse in 6‑t‑Schritten erhöht. Hier die Nutzlasten:

Zweite Stufe voll	Zweite Stufe leer	Nutzlast	Nutzlastanteil
6.000 kg	500 kg	2.325	1,96
12.000 kg	1.000 kg	2.869	2,29
18.000 kg	1.500 kg	3.084	2,35
24.000 kg	2.000 kg	3.157	2.30
30.000 kg	2.500 kg	3.104	2.20
36.000 kg	3.000 kg	3.024	1,95
42.000 kg	3.500 kg	2.922	1,84

Man sieht bei der Nutzlast absolut in Kilogramm, dass die Nutzlast zuerst stark zunimmt, dann immer langsamer. Bezieht man die Nutzlast auf die Gesamtmasse, so gibt es ein Optimum, ab dem der Nutzlastanteil wieder abnimmt. Es macht also keinen Sinn, besonders große Oberstufen einzusetzen. Dieses Optimum ist aber vom spezifischen Impuls und in kleinerem Maße auch vom Strukturfaktor der Stufen abhängig.

Hier dieselbe Tabelle mit einer LOX/LH₂‑Oberstufe mit Strukturfaktor 8:

Zweite Stufe voll	Zweite Stufe leer	Nutzlast	Nutzlastanteil
8.000 kg	1.000 kg	3.812 kg	3,13 %
16.000 kg	2.000 kg	5.083 kg	3,83 %
24.000 kg	3.000 kg	5.660 kg	4,06 %
32.000 kg	4.000 kg	6.043 kg	4,08 %
40.000 kg	5.000 kg	6.313 kg	4,04 %
48.000 kg	6.000 kg	6.440 kg	3,91 %

Im Allgemeinen gilt: Je höher der spezifische Impuls, bei desto höherer Masse liegt das Optimum. Also bei LOX/RP‑1 bei 18 t, bei LOX/LH₂ bei 32 t. Bei der LOX/RP‑1‑Stufe sehen wir auch, dass bei großen Stufen die Nutzlast wieder abnimmt. Der einfache Grund: Der Teiler Vollmasse Stufe 1 / Brennschlussmasse sinkt deutlich ab, der Teiler Vollmasse Stufe 2 / Brennschlussmasse steigt an. Ideal wäre, wenn beide Teiler im selben Bereich liegen.

Für Stufen mit ähnlichen spezifischen Impulsen (ähnlichen Treibstoffen) gilt allgemein für das Optimum:

Vollmasse Stufe 1 / Vollmasse Stufe 2 ~ Vollmasse Stufe 2 / Nutzlast.

Kleiner Trick für zweistufige Raketen:

• Bildet den Teiler Startmasse / Nutzlast = f
• Bildet f1 = Quadratwurzel(f)
• Oberstufe = (f1 – 1) * Nutzlast
• Erststufe = (f1 + 1) * Oberstufe

Wenn man ein Optimierungsprogramm auf die Aufgabe ansetzt, bekommt man folgende Ausgabe:

Stufe	Vollmasse	Leermasse	Geschwindigkeit	spez. Impuls	Strukturfaktor	Stufenverhältnis
1	108.000,0 kg	6.000,0 kg	4839 m/s	3.000 m/s	18	7
2	15.512,8 kg	1.292,7 kg	4561 m/s	3.200 m/s	12	4,8
Gesamt:	126.721,9 kg	7.292,7 kg	9.400 m/s
Nutzlast:	3.209,1 kg	Prozent der Startmasse:	2,5	Verkleidung:	662,0 kg

Diese Ausgabe gilt für die LOX/RP‑1‑Rakete. Der Unterschied in der Nutzlast liegt darin, dass in dieser Simulation die Nutzlasthülle dynamisch berechnet wird. Bei einer zweistufigen Rakete hat die Nutzlasthülle großen Einfluss auf die Nutzlast. Man sieht auch, dass in diesem Fall beide Stufen in etwa gleich viel zur Geschwindigkeit beitragen. Die erste Stufe trägt wegen des höheren Strukturfaktors etwas mehr zur Geschwindigkeit bei.

Für die LOX/LH₂‑Rakete erhält man:

Stufe	Vollmasse	Leermasse	Geschwindigkeit	spez. Impuls	Strukturfaktor	Stufenverhältnis
1	108.000,0 kg	6.000,0 kg	3636 m/s	3.000 m/s	18	3,6
2	30.033,4 kg	3.754,2 kg	5764 m/s	4.400 m/s	8	5
Gesamt:	143.990,5 kg	9.754,2 kg	9.400 m/s
Nutzlast:	5.957,2 kg	Prozent der Startmasse:	4,1	Verkleidung:	1223,6 kg

Ohne Erklärung, aber relativ leicht nachzuvollziehen: Raketen müssen nach oben hin „besser werden“. Sprich: Vor allem der spezifische Impuls muss mit jeder Stufe ansteigen. Wenn ich z. B. die erste Stufe als LOX/LH₂‑Stufe konzipiere und die zweite Stufe als LOX/RP‑1‑Stufe, dann würde die LOX/RP‑1‑Stufe zwar in etwa die gleiche Beschleunigung wie die LOX/LH₂‑Zweitstufe liefern, aber sie ist größer und damit auch teurer. Es gilt bei gleicher Größe: Feststofftriebwerke sind preiswerter als LOX/RP-1, LOX/RP-1 ist preiswerter als LOXC/LH2.

Man sieht bei der LOX/LH₂‑Stufe auch, dass der spezifische Impuls weitaus wichtiger als der Strukturfaktor ist: Bei der LOX/RP‑1‑Stufe ist der Strukturfaktor um 50 % besser, dafür ist der spezifische Impuls um 37,5 % geringer. Trotzdem ist die LH₂‑Stufe in der Nutzlast überlegen.

Wird die Geschwindigkeitsanforderung größer, so sinkt die Nutzlast ab. Das kann man leicht aus der Raketengrundgleichung herauslesen. Die Änderung betrifft vor allem die letzte Stufe. Wenn ich bei der obigen LOX/RP‑1‑Rakete mit der optimalen Zweitstufe von 18 t Masse die Nutzlast von 3 t auf 1 t reduzieren muss, weil ich eine höhere Geschwindigkeit brauche, dann sieht dies so aus:

(mit 500 kg Nutzlastverkleidung)	3000 kg Nutzlast	1000 kg
Voll-/Brennschlussmasse erste Stufe	4,71	5
Brennschlussgeschwindigkeit erste Stufe	4648 m/s	4828 m/s
Voll-/Brennschlussmasse zweite Stufe	4,66	7,6
Brennschlussgeschwindigkeit zweite Stufe	4929 m/s	6490 m/s
Orbitmasse	4,5 t	2,5 t
Anteil Nutzlast Orbitmasse	66 %	40 %

Bei einer Startmasse von 126,5 t und einer Brennschlussmasse von 24,5 t bei Null Nutzlast der ersten Stufe machen 1 t oder 3 t Nutzlast keinen Unterschied. Bei 18 t / 1,5 t Masse der zweiten Stufe dagegen schon. Die Nutzlast nimmt daher bei höheren Geschwindigkeiten schnell ab. Was noch dazu kommt: Die letzte Stufe erreicht immer einen Orbit. Die Masse der letzten Stufe geht immer von der Nutzlastmasse ab. Das ist auch ein Grund, warum jenseits eines Optimums die Nutzlast bei großen Oberstufen absinken kann. Im Allgemeinen gilt:

Wenn ich 1 kg mehr Nutzlast haben will dann:

• muss ich die Trockenmasse der letzten Stufe um 1 kg erniedrigen
• muss ich die Trockenmasse der vorletzten Stufe um 3-5 kg erniedrigen
• muss ich die Trockenmasse der vorvorletzten Stufe um 10-15 kg erniedrigen

Das resultiert letztendlich auch aus der Raketengrundgleichung. Die Schwankungsbreite ergibt sich aus den Verhältnissen (Massen der Stufen, spezifische Impulse). So wird auch klar warum Feststoffbooster so beliebt sind, obwohl sie viel höhere Strukturfaktoren haben. Das schlägt bei den ersten Stufen kaum auf die Nutzlast durch.

Man wird daher versuchen, Oberstufen so auszulegen, dass die Oberstufen am Optimum sind. Nicht immer geht das. Wenn man vorhandene Triebwerke nimmt, so begrenzt der Schub der Triebwerke die Masse der Oberstufe. So unterscheiden sich Ariane 5 und Ariane 6 kaum in den Massen der Booster und der Zentralstufe, aber der um 100 % höhere Schub des Vinci‑Triebwerks ließ eine wesentlich schwerere Oberstufe zu. Ariane 6 ist auch ein gutes Beispiel dafür, wie man nach oben hin optimiert: Die Zentralstufe hat einen schlechteren Strukturfaktor als die Ariane 5, aber die Oberstufe hat einen besseren Strukturfaktor, und mit der Einführung von Verbundwerkstoffen für die Tanks der Oberstufe wird die Oberstufe noch leichter werden.

Ein anderer Grund ist die Wiederverwendung. Dann muss bei den bisherigen Technologien die Stufe immer noch ein Bremsmanöver durchführen. Das Bremsmanöver kostet Treibstoff, und dabei muss die Stufe in etwa die Geschwindigkeit wieder abbauen, die die Stufe vorher aufgebaut hat. Je höher die Brennschlussgeschwindigkeit der ersten Stufe ist, desto mehr Treibstoff braucht man. Bei der Falcon 9 in der Größenordnung der Erststufe, beim Starship noch deutlich mehr. Daher sind bei beiden Raketen die Oberstufen überproportional schwer. Das verringert die abzubauende Geschwindigkeit.

Beim Soll‑Starship (3 600 t / 1 200 t Stufenmasse, 200 t / 100 t Leermasse) wäre die ideale Stufe viel kleiner:

Stufe	Vollmasse	Leermasse	Geschwindigkeit	spez. Impuls	Strukturfaktor	Stufenverhältnis
1	3.600.000,0 kg	200.000,0 kg	4916 m/s	3.430 m/s	18	5,6
2	644.353,0 kg	53.696,1 kg	4444 m/s	3.550 m/s	12	3,5
Gesamt:	4.427.197,2 kg	253.696,1 kg	9.360 m/s
Nutzlast:	182.844,3 kg	Prozent der Startmasse:	4,1	Verkleidung:	38028,3 kg

Die Tabelle ist so zu lesen: Eine herkömmliche Rakete mit der Startmasse der Superheavy und einer Nutzlastverkleidung hätte den maximalen Nutzlastanteil bei einer 644 t schweren Oberstufe und dann 182 t Nutzlast. Obwohl das ideale Starship (also nach den vor IFT‑1 publizierten Angaben) 600 t schwerer ist, hat das ideale Starship eine um 82 t kleinere Nutzlast.

Noch größer wird der Unterschied, wenn man das aktuelle V3‑Starship nimmt:

Stufe	Vollmasse	Leermasse	Geschwindigkeit	spez. Impuls	Strukturfaktor	Stufenverhältnis
1	3.600.000,0 kg	200.000,0 kg	5549 m/s	3.430 m/s	18	7,9
2	453.343,4 kg	52.714,3 kg	3811 m/s	3.550 m/s	8,6	2,9
Gesamt:	4.208.664,6 kg	252.714,3 kg	9.360 m/s
Nutzlast:	155.321,2 kg	Prozent der Startmasse:	3,7	Verkleidung:	32580,1 kg

Es hat einen noch schlechteren Strukturfaktor, weshalb die zweite Stufe noch kleiner sein sollte. Obwohl das reale Starship 1.500 t schwerer ist, hat das reale Starship bei V3 wahrscheinlich eher eine Nutzlast von 55 t, also 100 t weniger. Wiederverwendung kostet in diesem Falle enorm viel Nutzlast – 157 t auf das Startgewicht hochgerechnet. Es ist übrigens derselbe Prozentsatz wie beim Space Shuttle. Nur 26 % der Orbitmasse sind Nutzlast.

Aus der Abnahme der Nutzlast kann man auch ableiten, dass es günstiger ist, mehr Stufen zu haben. Die Geschwindigkeitsänderung verteilt sich auf mehr Stufen. Das gilt vor allem bei höheren Geschwindigkeiten. Hier einige typische Δv zu einem LEO:

• GTO: 2 500 m/s
• TDI: 3 200 m/s
• GEO: 4 000–4 300 m/s
• Jupiter: 6 400 m/s

Schon zum GTO sinkt die Nutzlast von zweistufigen Raketen deutlich ab. Bei der Falcon 9 z. B. nach Website‑Angaben um den Faktor 2,7. Bei der Vulcan Centaur ist es nur der Faktor 1,77. Die Vulcan Centaur profitiert von Boostern als „halber Stufe“ und einer Oberstufe mit viel höherem spezifischen Impuls und günstigerem Stufenverhältnis. De facto sollte man für GTO und Bahnen mit noch mehr Energie drei Stufen haben. Jupiter wird man kaum mit drei Stufen erreichen.

Eine Abschätzung für die benötigte Stufenzahl ist folgende:

Bilde den mittleren spezifischen Impuls der einzusetzenden Stufen (Ausströmgeschwindigkeit addieren und durch Anzahl der Stufen teilen). Teile die Zielgeschwindigkeit mit Zuschlag von Aufstiegsverlusten durch den spezifischen Impuls. Die Vorkommastelle des Teilers ist dann die Stufenzahl.

Bei der Falcon 9 sieht das so aus:

• Zielgeschwindigkeit: 9 440 m/s LEO
• Spezifische Impulse: 3 051 m/s und 3 340 m/s → Mittel 3 195 m/s
• 9 440 m/s / 3 195 m/s = 2,95

Also man sieht schon: Zwei Stufen kommen noch gerade so heraus, drei Stufen wären eigentlich besser. Bei GTO braucht man in jedem Fall drei Stufen – weshalb hier die Nutzlast auch drastisch absinkt. Zum Mars wären dann vier Stufen nötig. Dorthin befördert die Falcon 9 nur noch 4 t. Die Vulcan Centaur, die eine 22 % höhere LEO‑Nutzlast hat, dagegen 8,5 t. Noch weniger Nutzlast verliert die Ariane 6: Ihre LEO‑Nutzlast ist mit 21,6 t sogar geringer als die der Falcon 9 (die Ariane 6 ist auf GTO‑Transporte optimiert), aber die Ariane 6 transportiert 7,6 t zum Mars. Die Ariane 6 hat „echte“ drei Stufen.

Das Stichwort „optimiert“ sollte ich noch erklären. Alle Ariane‑Raketen seit Ariane 1 sind für GTO‑Transporte ausgelegt. Im GTO ist die Nutzlast viel kleiner als im LEO. Also hat man die Raketen so ausgelegt, dass die Raketen ihre volle LEO‑Nutzlast gar nicht ausschöpfen können. Warum das? Nun, jedes Kilogramm, das die Nutzlast mehr wiegt, bedeutet eine Last. Die beim Aufstieg wirkende Gewichtskraft wird mit der Beschleunigung multipliziert und kann so die fünffache Gewichtskraft ohne die Beschleunigung erreichen. Daneben vibriert die Nutzlast, und auch diese Kräfte steigen mit der Masse an. Die Oberstufe und in geringerem Maße auch die Unterstufe müssen diese Kräfte auffangen, und das addiert Gewicht.

Warum also, wenn es fast keine Starts in den LEO gibt, die Rakete auf diese Nutzlast ausrichten? Das verringert durch die höhere Masse der Stufen nur die Nutzlast für die anderen Bahnen. Ariane 1 war auf maximal 2,5 t Masse ausgelegt (erreichte 4,5 t in den LEO), und Ariane 4 auf maximal 7 t (Ariane 44L hätte 9 t in den LEO erreicht). Bei den Nachfolgemodellen, die ja auch die ISS anfliegen sollen, lässt man Treibstoff in der letzten Stufe weg, um das höhere Gewicht auszugleichen. Das kostet dann auch Nutzlast. Deswegen ist die LEO-Nutzlast der Ariane 6 rein rechnerisch kleiner als die Website-Angabe der Falcon 9, aber ihre GTO-Nutzlast deutlich höher. (rein rechnerisch, weil wir alle wissen, das die Website angaben falsch sind)

Soviel zur Raketengrundgleichung. Der nächste Artikel behandelt dann wieder ein anderes Thema, eine Zusatzstufe für das Starship, dazu wird es nicht kommen, wäre ja ein Verstoß gegen das Dogma Wiederverwendung. Aber wie ich aufzeigen werde, würde es sich lohnen.