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Im heutigen Teil des Grundlagen‑Kurses geht es um den Teil, der am meisten mit Mathematik verknüpft ist und wo es nur wenige einfache Gleichungen gibt. Aber ich will es trotzdem mal durchkauen und lasse eben das weg, was komplizierte Mathematik ist.

Das Gravitationsgesetz

Grundlage aller Bahnen ist das Gravitationsgesetz. Wie schon Isaac Newton erkannte, wirkt zwischen zwei Körpern eine Kraft, die sie zueinander zieht:

F = M1 * M2 * µ / D²

M1, M2: die Massen der Körper
D: Distanz
µ: Gravitationskonstante 6,6726… × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² (bzw. Nm²/kg²)

Will man die Beschleunigung auf einen der Körper, meistens den leichteren (M1), bestimmen, so bildet man:

a = F / M1

So kürzt sich M1 aus den Gleichungen heraus, und das bleibt auch bei den folgenden Betrachtungen so:

a = M2 * µ / D²

Macht man dies mit der Masse der Erde (5,976 × 10²⁴ kg), so erhält man die Erdbeschleunigung g₀ ≈ 9,81 m/s². Das Ungefährzeichen, weil sie vom Abstand vom Erdmittelpunkt abhängt (das gilt für alle Berechnungen; ein weiterer Fehler bei eigenen Berechnungen ist, dass man die Distanzen in km und nicht in Metern angibt) und der ist bei der Erde nicht konstant. Am Äquator ist g₀ etwas kleiner als am Pol.

Jeder Körper würde aufgrund der Anziehung zum Erdmittelpunkt fallen, sofern ihn nichts davon abhält. Er hat alleine dadurch, dass man ihn vom Erdmittelpunkt entfernt hat, eine Ruheenergie, die berechenbar ist nach:

Eₚₒₜ = µ * M * (¹/_R₁ – ¹/_R₂)

R₁ und R₂ sind die Distanzen vom Erdmittelpunkt. Wenn man z. B. 1 kg um 2 m vom mittleren Erdradius (6.378.000 m) anhebt, so muss man eine Energie von 19,6 J aufwenden. Aus der Formel kann man, wenn man noch den Satz für die kinetische Energie hinzunimmt (beim Fallen wird die Ruheenergie in Bewegungsenergie, also kinetische Energie umgewandelt), berechnen, wie stark man einen Körper beschleunigen muss oder welche Energie er bekommen muss, um ihn gegen die Gravitation anzuheben:

Eₖᵢₙ = ½ * M * v²

v = √(2 * Eₚₒₜ)

Für die Erdoberfläche errechnet man so die Fluchtgeschwindigkeit von 11,2 km/s. Setzt man jeweils die Distanz vom Erdmittelpunkt ein, so kann man die Fluchtgeschwindigkeit für jede Höhe berechnen. Nimmt man R₁ und R₂, so kann man berechnen, welche Geschwindigkeit eine Kanone erreichen muss, damit das Projektil eine vorgegebene Spitzenhöhe erreicht. Das gilt auch für Raketen, aber da muss man die Gravitationsverluste berücksichtigen und dass der Brennschlusspunkt nicht am Erdboden liegt.

Beispiel: Um 200 km Höhe zu erreichen, berechnet man erst die potenzielle Energie:

Eₚₒₜ = µ * M * (¹/_R₁ – ¹/_R₂)

Eₚₒₜ = 6,67… × 10⁻¹¹ * 5,96… × 10²⁴ * (1/6.378.000 – 1/(6.378.000 + 200.000)) Eₚₒₜ = 1.900.891

v = √(Eₚₒₜ * 2) = 1.949,8 m/s

Will man die Gravitationskraft nur aufheben, also nicht an Höhe gewinnen, so braucht man genau die halbe Energie für die Fluchtgeschwindigkeit, und über die Umrechnung in eine Geschwindigkeit kommt man auf die Kreisgeschwindigkeit:

Vₖᵣₑᵢₛ = √(µ * M / R)

Das sind 7.910 m/s für den Erdboden; mit steigendem Abstand sinkt sie ab. Die Periode bei Ellipsen und Kreisen kann man auf mehrere Arten berechnen. Für Kreise kann man einfach den Umfang durch die Kreisgeschwindigkeit teilen:

Periode = π * r * 2 / Vₖᵣₑᵢₛ

Für die Erdoberfläche wäre diese bei etwa 5.066 Sekunden oder 1 Stunde 24 Minuten. Für Ellipsen nimmt man anstatt dem Radius die große Halbachse, wobei ich zum nächsten Kapitel komme:

Bahnen im Raum

Um die genaue Lage einer Bahn und der aktuellen Position im Raum zu beschreiben, braucht man sechs Parameter. Ich nutze bei meinen Simulationen vor allem das kartesische Koordinatensystem. Das hat drei Raumachsen (x, y, z) und den Mittelpunkt im Gravitationszentrum (0, 0, 0). Im kartesischen System wird die Bewegung eines Körpers im Raum durch den Positionsvektor und den Geschwindigkeitsvektor beschrieben, jeder mit den Koordinaten in x‑, y‑, z‑Achse.

Beim astronomischen Koordinatensystem ist es komplexer. Denn es gibt für die meisten der sechs Parameter mehrere Definitionen, die man umrechnen kann. So nutze ich oft den nächsten und fernsten Punkt der Bahn, Peri‑ und Apopunkt (je nach Himmelskörper des Zentralkörpers heißt der dann Perihel, Perigäum, Perilunäum oder Perijovium). Alternativ kann man auch große Halbachse und Exzentrizität nutzen, die man in den Peri‑ und Apopunkt umrechnen kann. Es gibt übrigens auch die bei der Ellipse bekannte kleine Halbachse, aber sie braucht man nicht für Berechnungen, wohl aber, wenn man eine geschlossene Bahn zeichnen will.

Apopunkt und Peripunkt legen den minimalen und maximalen Abstand fest. Die Bahnneigung oder Inklination ist die Neigung der Bahnebene zu einer Referenzebene, per Definition der Äquatorebene. Damit ist die Bahnform beschrieben. Die wahre Anomalie – ein Winkel, der von –π bis +π läuft – erlaubt es, die Position seit dem Durchlaufen des Peripunktes zu berechnen. Dann braucht man noch zwei Parameter, um die Lage im Raum zu fixieren. Üblich ist die Angabe des Arguments der Periapsis und des Winkels des aufsteigenden Knotens. Wenn ihr bei Wikipedia nachschaut, dann seht ihr aber, dass es einige Definitionen gibt; 15 Definitionen gibt es, die nur zum Teil umrechenbar sind.

Ich brauche für weitere Berechnungen nur die Halbachse, die wie folgt definiert ist:

a = (Periapsis + Apoapsis) / 2

(a steht hier für Halbachse, nicht Beschleunigung). Denn damit kann man mit der Vis‑Viva‑Gleichung die momentane Geschwindigkeit bei einem bestimmten Abstand berechnen:

v = √(µ * M * (²/_r – ¹/_a))

Die Gleichung funktioniert auch bei Hyperbeln. Da ist der Apopunkt negativ und damit auch die Halbachse; man kann aber bei ihnen keine Umlaufdauer berechnen.

Besondere Bahnen

Es gibt einige bekannte Abkürzungen für bestimmte Orbits.

LEO: Low Earth Orbit: Der Orbit mit der höchsten Nutzlast. Das liegt vor, wenn man direkt nach Osten startet und damit die Erdrotation (465 m/s am Äquator, cos(Breitengrad) × 465 für einen beliebigen Breitengrad) mitnimmt. Die Bahnhöhe sollte möglichst niedrig sein, aber doch so hoch, dass man einen Satelliten in Betrieb nehmen kann. Als Standard wurden früher bei den USA meist 185,2 km Bahnhöhe (100 nautische Meilen) verwendet. Wie man an den Ausführungen über die Ruheenergie im Gravitationsfeld sieht, muss man trotz abnehmender Bahngeschwindigkeit für höhere Bahnen mehr Energie aufbringen. Sofern dies möglich ist, nutzt man daher einen Zweiimpulstransfer (siehe unten).

SSO: Sun‑Synchronous Orbit: Ein Orbit mit einer Bahnneigung etwas über 90 Grad, typisch 95 bis 99 Grad. Er verläuft daher nahezu über die Pole, aber rückwärts. Dieser besondere Orbit hat den Vorteil, dass die Passage eines Punktes auf der Erde immer zur gleichen lokalen Uhrzeit erfolgt, also z. B. immer zwischen 14:30 und 15:00 nachmittags. Das ist für Erdbeobachtung und Fotoaufklärung wichtig, da man so immer den gleichen Schattenwurf hat und so auch Fortschritte durch Vermessen der Schattenhöhe berechnen kann.

PEO: Polar Earth Orbit: Ein Orbit, der genau über die Pole führt, und somit ist die ganze Erdoberfläche beobachtbar.

GSO: Geosynchroner Earth Orbit: Ein Orbit, der über dem Äquator verläuft und eine Periode von 23 Stunden 56 Minuten hat. In genau derselben Zeit rotiert die Erde um ihre eigene Achse. Ein Satellit im GSO steht daher für einen Beobachter immer an derselben Stelle, was die Ausrichtung von Antennen stark erleichtert. Der GSO verläuft in rund 36.000 km Distanz von der Erde. Ist die Bahn leicht zum Äquator geneigt, dann bleibt der Satellit nicht stehen, sondern beschreibt eine Bahn in der Form einer „8“.

GTO: Geosynchroner Transfer Orbit. Es ist sehr ungünstig, erst senkrecht in 36.000 km Höhe zu fliegen und dort in den Orbit umzulenken; um diese Höhe zu erreichen, braucht man fast die Fluchtgeschwindigkeit. Man bringt den Satelliten in zwei Schritten in den GTO. Zuerst transportiert man ihn in einen Orbit, dessen erdnächster Punkt einem LEO entspricht, dessen erdfernster dann im GSO liegt. Nach etwas mehr als 5 Stunden gelangt er dort an. Dort wird meist ein interner Antrieb gezündet, der den Satelliten nochmals beschleunigt, sodass er den GSO erreicht. Dabei wird auch die Bahnneigung, die jeder Satellit hat, außer er startet vom Äquator aus, abgebaut.

Zwei Impuls Transfer

Es ist energetisch günstiger, einen hohen Orbit nicht direkt zu erreichen, sondern über einen Umweg. Man bringt einen Satelliten zuerst in einen niedrigen Orbit. Je niedriger er ist, desto weniger Energie braucht man, weil zur Geschwindigkeit in der Kreisbahn – eine Zentrifugalkraft, die die Gravitationskraft in Schach hält – noch die potenzielle Energie aufzubringen ist, um diese Bahnhöhe überhaupt zu erreichen; das sind selbst bei niedrigen Orbits rund 1.800 m/s. Die Untergrenze setzt die Atmosphäre, die rasch immer dichter wird. Unter 160 km Höhe verglüht ein Satellit innerhalb eines Tages, das ist das absolute Minimum.

Beschleunigt man aus diesem Orbit weiter, so weitet sich die Kreisbahn zur Ellipse auf. Man stoppt dies, wenn die gewünschte Zielbahnhöhe erreicht ist. Dann muss man warten, bis diese Höhe erreicht ist, nach einer halben Periode, bei niedrigen Erdorbits typisch 50 Minuten. Dort angekommen würde der Satellit sich nun der Erde nähern. Deswegen zündet man erneut den Antrieb und zirkularisiert die Bahn.

Der Vorteil ist nicht nur, dass man so die Ruheenergie im Gravitationsfeld aufbringen muss, sondern diese Strategie spart sogar noch Energie ein, wie dies beim Übergang LEO → GSO deutlich wird:

Die Differenz von LEO‑ und GSO‑Kreisbahngeschwindigkeit beträgt 7.784 – 3.067 m/s = 4.717 m/s, also rund 800 m/s mehr als die 3935 m/s beim Zweiimpulstransfer. Man spart also Treibstoff ein. Allerdings kann nicht jede Rakete Zweiimpulsmanöver durchführen, denn dazu muss sie mehrmals zündbar sein. Ariane 1–5 verwendeten über Jahrzehnte das nur einmal zündbare HM‑7‑Triebwerk. Das war kein Nachteil, weil die meisten Starts in den GTO führten; da schaltete man das Triebwerk einfach nicht ab, wenn der LEO erreicht war, sondern erst, wenn das Apogäum in 36.000 km Höhe lag. Die Zirkularisierung führte dann der Satellit selbst durch. Es ist übrigens normal das im Peripunkt bei Ellipsen die Geschwindigkeit immer größer als die Kreisbahngeschwindigkeit in dieser Höhe ist und Apopunkt immer kleiner. Nur wenn der Satellit sich genau in einer Entfernung (vom Erdmittelpunkt) befindet die der Halbachse entspricht ist seine Geschwindigkeit gleich der lokalen Kreisgeschwindigkeit, aber sein Geschwindigkeitsvektor zeigt eben in eine andere Richtung.

Bei den wenigen Starts von Ariane in sonnensynchrone Umlaufbahnen nahm aber dann die Nutzlast von Ariane viel stärker ab als bei anderen Trägern, weil man so beschleunigen musste, dass der niedrigste Bahnpunkt in der späteren Bahnhöhe (typisch 700–800 km Höhe) liegt.

Die Abbildung zeigt die Unterschiede bei zwei Ariane 5 Typen. Die geraden Bahnstücke sind jeweils ohne Antrieb durchgeflogene Kurven. Deutlich wird der Unterschied.

Bahnneigung

Die Bahnneigung ist im Prinzip gleichzubehandeln wie Änderungen der Geschwindigkeit. Im dreidimensionalen Koordinatensystem entspricht sie der z‑Koordinate. Was gerne auch „Experten“ unterschätzen (so in der Diskussion, ob man, als die Columbia einen defekten Flügel hatte, nicht die ISS aufsuchen könnte): Änderungen der Bahnneigung oder Inklination sind kostspielig. Physikalisch bedeutet jede Änderung der Bahnneigung eine Drehung des Bahnvektors. Weiß man, dass in einem niedrigen Erdorbit ein Satellit auf einer Kreisbahn mit etwa 7,7 km/s unterwegs ist, so ist klar, dass man dafür viel Energie braucht.

Die Änderung der Bahnneigung zum Äquator ist berechenbar nach:

vₙᵢₙₖₗ = 2 * v * sin(Winkel/2)

Nimmt man als v die obigen 7.700 m/s, so braucht man nur für eine Änderung von einem Grad schon mal 134 m/s. Daher startet man, wenn es geht, den Satelliten schon mal in die Zielbahnneigung, die man durch den Startwinkel gegenüber dem Äquator beim Start festlegt. Es geht physikalisch nicht, wenn die gewünschte Bahnneigung kleiner als der Breitengrad ist, da ja der Startpunkt Bestandteil des ersten Orbits ist (wenn man es ganz genau nimmt, sind 1–2 Grad weniger möglich, weil nicht der Startpunkt zählt, sondern der Einschusspunkt in den Orbit, und bis der erreicht ist, kann man ja Richtung Äquator fliegen).

Besser ist es, die Bahnneigung zu ändern, wenn man sowieso die Geschwindigkeit ändern muss. Das ist immer der Fall, wenn man eine elliptische Bahn zirkularisieren muss. Also immer, wenn man vom GTO in den GEO muss. Das ist deswegen günstiger, weil beide Geschwindigkeitsänderungen Vektoren im dreidimensionalen Raum sind, die senkrecht aufeinander stehen. Aufzubringen ist aber nur der resultierende Vektor. Hier als Beispiel mal der Übergang von einem GTO in einen GEO mit der Bahnneigung, die man beim Start von Cape Canaveral aus hat:

Mit dieser Erkenntnis sind auch supersynchrone Umlaufbahnen erklärbar. Supersynchrone Umlaufbahnen wurden von der Atlas oft für Kommunikationssatelliten eingesetzt. Das Apogäum lag dabei höher als beim GEO, in bis zu 80.000 km Distanz. Dort ist die Geschwindigkeit viel kleiner, so muss man weniger Energie aufwenden, um die Inklination abzubauen wenn man das Peri gleichzeitig anhebt. Danach braucht man etwas zusätzliche Energie um das Apogäum dann wieder auf 36000 km anzuheben.

Auf den ersten Blick versteht man so nicht, warum man nicht immer solche supersynchronen Bahnen nimmt. Der Knackpunkt: sie sind nur für den Satelliten günstig. Um das Apogäum in 66.000 km anzuheben muss die Rakete aber 297 m/s mehr aufwenden, in der Summe ist der Umweg also ungünstiger.

Berechenbar ist die kombinierte Geschwindigkeits- und Inklinationsänderung übrigens nach:

v = (v_start² + v_ende²) – (2 * v_start * v_ende * cos(Inklinationsänderung))

v_ende ist die Geschwindigkeit nach der Änderung und v_start die Geschwindigkeit vor dem Manöver. Bei einem GTO sind dies 3066 und 1590 m/s.

Das wars für heute. Der nächste Artikel geht dann auf die Besonderheiten ein, wenn man nicht Bahnen um die Erde, sondern im Sonnensystem betrachtet.