They were easily outnumbered by a smaller force of men

… oder Kann eine Dragon 2 auf dem Mond landen?

So ähnlich wurde ich gefragt. Kurze Antwort – kann sie aber nur wenn SpaceX seinen Mars Colony Transporter dafür einsetzt und der existiert vielleicht auf den Computerbildschirmen von SpaceX und im Kopf von Musk, aber sonst nirgendwo. Aber anders als bei SpaceX muss man mir nichts glauben, man kann es nachrechnen oder eben nicht (wenn die dafür notwendigen Grundlagen nicht vorhanden sind).

Den Ansatz den ich ich heute verfolge ist der: Ich berechne welche Nutzlast eine Falcon Heavy zum Mond und zurück bringen kann  Wenn das bekannt ist kann man hochrechnen wie groß die Nutzlast sein muss um eine Dragon 2 auf dieselbe Mission zu schicken.

Fangen wir mit der Falcon Heavy Nutzlast. SpaceX gibt die Nutzlast zu 22,2 t in den GTO und 13,6 t zum Mars an, jedoch nicht für die Mondtransferbahn. Man kann aber extrapolieren. Bei anderen Trägern isst die Mondnutzlast etwa 20% größer als die zum Mars. Das wären 16,3 t. Auf eine ähnliche Zahl kommt man wenn man die Geschwindigkeiten ansieht. Die Mondtransferbahn ist 650 m/s höher als in den GTO und 500 m/s kleiner als beim Mars. Die Nutzlast sollte also in der Mitte, etwas näher zur Marsnutzlast sein, auch hier kommt man bei (nicht ganz korrekter) linearer Abschätzung auf 17,3 t. Nimmt man das Mittel beider Schätzungen, so kommt man auf 16,8 t. davon will ich nun ausgehen.

Die energieärmste, wenn auch langsamste, Bahn führt bis auf 350.000 km Entfernung. Der Mond ist 81-mal masseärmer als die Erde. Die Gravitationskraft nimmt im Quadrat ab, also halten sich beide Gravitationskräfte in Wurzel(1/81)= 1/9 des Abstands der Erde die Waage. Addiert man noch den Erdabstand so kommt man auf die Gesamtentfernung von im Mittel 384.400 km (von den beiden Zentren) gemessen. In 1 * 384.400 km / (1+1/9) = 345.960 km Entfernung vom Zentrum oder rund 339.600 km Entfernung von der Erdoberfläche müsste dann das Apogäum der Übergangsbahn liegen.

Ich habe mit 350.000 km gerechnet. Das gibt etwas mehr Sicherheit zudem schwankt der Abstand Erde-Mond auch etwas.

Nach der Vis-viva Gleichung beträgt bei einem Perigäum von 200 km im Perigäum die Geschwindigkeit 10885 m/s und im Apogäum 202 m/s.(wenn es den Mond nicht gäbe).

Auf dieser Bahn wird die Dragon immer langsamer bis sie in 339.600 km Entfernung von der Erde angekommen ist. Danach zieht der Mond sie an und sie wird immer schneller. Doch wie schnell?

Nach dem Energieerhaltungssatz gilt

E = 1/2 m v²

Die Gesamtenergie ergibt sich so aus der Geschwindigkeit v1 die die Sonde hat wenn sie in die Mondeinflusspähre kommt (329 m/s nach der Vis-Viva Gleichung) und der Geschwindigkeit v2 die sie erhalten würde wenn sie mit Geschwindigkeit 0 aus dem Unendlichen auf die Mondoberfläche fällt. Diese ergibt sich aus der lokalen Fluchtgeschwindigkeit die definiert ist als:

vFlucht = Wurzel (2*Masse*Gravitationskonstante/Abstand vom Zentrum).

Man erhält wenn man die Masse des Mondes und den mittleren Radius des Mondes von 1738 km einsetzt eine Geschwindigkeit Vflucht von 2381 m/s).

Die Gesamtenergie ist dann wenn man die konstante Masse und den Faktor 2 weglässt:

E = 329² + 2381²

Die Geschwindigkeit bekommt man aus demselben Satz, wenn man wieder die Wurzel zieht, so erhält man eine Endgeschwindigkeit von 2403 m/s.

Diese Geschwindigkeit muss die Dragon abbremsen. Allerdings reicht das nicht. Während das Triebwerk arbeitet zieht der Mond weiter die Kapsel an, mit 1,6 m/s an der Oberfläche. Bremst man mit 10 m/s ab, das ist nahe dem irdischen g so dauet das 241 s und erhöht die Geschwindigkeit um 243 x 1,6 m/s. Da für die längere Brennzeit dann auch noch Verluste anfallen steigt das auf 481 m/s. Zuletzt braucht man eine Reserve um zu schweben. Nimmt man 1 Minute so sind dies bei einer Mondgravitation von 1,6 m/s rund 96 m/s. Die Gesamtgeschwindigkeit die zu vernichten ist sind also 2403 + 481 + 96 m/s = 2980 m/s. Mit mehr als einem G würde ich nach fast 4 Tagen Schwerelosigkeit nur arbeiten wenn das ganze automatisiert vom Computer geht, denn dann können die Besatzungen nicht eingreifen. Es fällt schwer zu glauben dass sie bei mehreren G noch steuern können, wenn sei vorher in Schwerelosigkeit waren. 2 G  Abbremsrate würden die Abstiegsverluste auf 210 m/s reduzieren.

Das bei Apollo praktizierte LOR Manöver ist bei der Dragon ohne Vorteil, denn deren Vorteil lag daran, dass man nicht die schwere Apollokapsel landet sondern den leichten Mondlander. Hier soll aber die Dragon landen. Wikipedia gibt den spezifischen Impuls der Super-Draco mit 240 an, das ist relativ gering. Nehmen wir an, sie setzten welche mit verlängerten Düsen ein, so könnte man einen spezifischen Impuls wie das Aestus erreichen, das hat mit 3187 m/s den bisher höchsten aller druckgeförderten Triebwerke mit NTO/UDMH.

Wie viel Masse bleibt übrig? Nun formen wir die Ziolkowsksi-Gleichung

v = Vspez * ln (Vollmasse/Leermasse)

auf die Leermasse um:

Leermasse = Vollmasse / exp(v/vspez)

so kommt man bei Vspez = 3187 m/s, v = 2980 m/s und Vollmasse = 16800 kg auf 6595 kg.

Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Entweder die Dragon landet mit eigener Stufe, die kann man dann vor dem Rückstart abziehen oder mit internen Treibstoffvorräten. Für beides will ich einen Strukturfaktor von 15 annehmen, das ist für Druckförderung schon ambitioniert.

Kommen wir zuerst zur Geschwindigkeit für den Rückstart. Auch hier müssen wir nur eine Bahn einschlagen die bis in 38.440 km Entfernung vom Zentrum führt. Ich nehme für Berechnungen hier mal 40.000 km von der Oberfläche. Nach der Vis a Vis Gleichung braucht man dafür 2331 m/s. Dazu kommen auch hier Aufstiegsverluste, erneut bedingt dafür das der Mond während das Triebwerk läuft mit 1,6 m/s anzieht und so die Geschwindigkeit senkt. So kommen weitere 470 m/s zusammen. Schweben muss man nicht. So beträgt die Endgeschwindigkeit 2801 m/s. Bemüht man erneut die umgeformte Ziolkowsi Gleichung so erhält man mit den neuen Werten (6595 kg / 2801 m/s) nun auf 2738 kg.

2738 kg, das ist das was zur Erde zurückkehrt. Doch das ist nicht nur die Dragon Die Differenz zur Startmasse ist Treibstoff. Das sind über 14 t. Nach Wikipedia fassen die Tanks aber gerade mal 1.368 kg. Bei einem Strukturfaktor von 15 für die relativ schweren Drucktanks reduziert das die Nutzlasse um (14062-1368 / 15 ) = 846 kg. Dies ist also von der Dragon abzuziehen. Netto bleibt also noch 1.892 kg übrig.

Etwas günstiger ist es wenn man zwei Stufen hat. Dann kann man die Tanks für den Abstieg schon vor dem Aufstieg abwerfen. Hier spare ich mir die Rechnung. Sie wiegen 680 kg. Die Tanks der Aufstiegsstufe dann nur noch 185 kg. Wobei die Endmasse nach Erreichen der Erdtransferbahn 2455 kg beträgt (Tanks wurden ja schon vorher abgeworfen, d.h. das Startgewicht sit schon geringer), abzüglich der 185 kg also netto 2270 kg zur erde zurückkommen -.das sind über 20% mehr Nutzlast.

So nun die Hochrechnung. Nach Wikipedia wiegt die Dragon 2 6,4 t. Dazu käme noch die Besatzung, Nahrung, Luft, Wasser. Ausrüstung und Raumanzüge. Nimmt man 300 kg pro Person an (alleine die Raumanzüge wiegen 50 kg, bei Apollo verbrauchte die Besatzung rund 10 kg Wasser/Nahrung, LiOH Kanister pro Tag) und 4 Personen so ist man bei 7,6 t. Das ist das 3,34-fache der 2.270 kg die maximal zurückkommen.

Damit hat man die Antwort auf die Frage: Wenn SpaceX eine Rakete mit der 3,34-fachen Nutzlast der Falcon heavy, also über 180 t in einen Erdorbit hat, dann kann sie die Red Dragon auf dem Mond landen.

Es zeigt aber auch sehr gut wie man Musks Angaben zu „can land everywhere in the solar System“ interpretieren kann. Ja wenn man die Rakete dafür hat. SpaceX gibt auch die Nutzlast der Falcon Heavy für Pluto an. Aus Jux und Tollerei will ich mal eine Überschlagrechnung machen.

New Horizons nähert sich Pluto  mit 13,88 km/s.. Dazu kämen dann noch die Gravitation von Pluto selbst, Abstiegsverluste und Schweben, rechnen wir mal mit 14,3 km/s (ohne Schweben und Abstiegsverluste sind 13932 m/s). Zurückkommen muss man nicht (ist ja nicht die Rede davon, es geht nur um „land“).

Man muss das aber nicht genau berechnen, denn wenn man mit geschätzten werten der Falcon heavy die Geschwindigkeit für 2900 kg (die Nutzlastangabe für Pluto) rechnet kommt man auf 14,3 km/s. Das ist kein Zufall, das ist die Geschwindigkeit um zu Jupiter zu kommen und Jupiter schickt einen dann zu Pluto. Damit kann man sagen: eine Falcon 9 die beim Start 549 t wiegt kann 2,9 t auf 14,3 km beschleunigen. Also kann eine 549 t schwere Rakete auch 2,9 t um 14,3 km/s abbremsen oder eine 6400 * 549 t / 2900 kg = 1211 t schwere Rakete eine eine Dragon auf dem Pluto landen lassen. Die 1211 t muss man zu Pluto transportieren. Die normale Falcon 9 schafft bei 549 t Startmasse genau 2,9 t dorthin, also muss die Startrakete 1211/2.9*549 t = 229254 t beim Start wiegen, also etwa 80-mal schwerer als eine Saturn V. Klar kann man bauen, ich glaubs aber ehrlich gesagt nicht.

Was klappen könnte, wenn man sich die Zahlen anschaut ist das Landen auf dem Mond ohne Rückkehr. Zieht man die Tanks ab, so entspricht die Rechnung einer Landemasse von 5915 kg. Lässt man einige Systeme bei der Dragon 2 weg, die man bei der Landung auf dem Mond nicht braucht wie Fallschirme oder Hitzeschutzschild so kann man die 500 kg die sie derzeit zu schwer ist, einsparen und sie könnte tatsächlich landen.

Nur frage ich mich: Warum? Das ist dann eine leere Kapsel. Bewegen kann sie sich nicht. Nutzlast kann sie auch nicht in nennenswerter Weise mitführen. Okay man kann eine Videokamera außen oder vor das Bullauge montieren und die Mondlandschaft aufnehmen. Das reicht vielleicht für das SpaceX PR-Ziel, aber sonst finde ich das zu wenig. Russland hat mit 40% der Nutzlast der Falcon Heavy ihre Luna 16-24 gestartet. Die konnten Bodenproben zur Erde zurückbringen oder ein Lunochod das monatelang auf dem Mond rumkurvte und das mit der Technik Ende der Sechziger Jahre. Da finde ich eine leere Kapsel bei einem vielfachen der Startmasse doch etwas bescheiden.

6 thoughts on “They were easily outnumbered by a smaller force of men

  1. Wer viel mist mist viel Mißt… Analog Wer viel rechnet verrechnet sich viel… Bernd: Wenn Du so toll bist wie Du tust, warum arbeitest Du nicht längst bei der ESA? Auch die NASA würde Dir doch sicher eine Green-Card verschaffen… Dein 1×1 1 hier in aller Ehren, es zeugt letztendlich nicht von wirklichem Wissen…

  2. So, nun löse ich auch diesen Titel auf: Er stammt aus „Ride to Agadir“ von Mike Batt, der weniger durch seine Songs bekannt ist, als vielmehr durch Kompositionen für Film- und Fernsehmusik, so stammt auch das Intro von „Wetten dass“ von mir. Ich leibe Musik die orchestrale Elemente mit Popmusik verbindet und das ist in diesem Leid gut gelungen.

  3. Wenn ich Bernds Zahlen richtig interpretiere, dann könnte die Dragon 2 mit der Falcon Heavy als Startvehikel sehr wohl auf dem Mond LANDEN, aber eben nicht wieder starten. Es wäre auch etwas mehr Reserve übrig, als Bernd ausrechnet, weil Bernd m.E. die gravitativen Verluste stark überschätzt: Man fliegt ja nicht direkt auf die Mondoberfläche zu, sondern landet von einer Kreisbahn aus. Von daher zeigt der Hauptschub des Triebwerks tangential zum Mond (bzw. zur aktuellen Bahn), und es reicht eine kleine axiale Komponente, um die Mondanziehung zu kompensieren. Bei einer Rakete mit einem Schub von 6 Mond-g teilt sich der dann nach Pythagoras in 5,916 g tangential und 1 g radial auf. Man verliert also während der Zeit des Abstiegs nur 0,084 Mond-g, entsprechend 0,14 m/s², an die Gravitation. Bei 250 s Brennzeit ist das ein Verlust von gerade mal 35 m/s. Berücksichtigt man noch, dass mit Erreichen höherer Geschwindigkeiten die „Fliehkraft“ kostenlos unterstützt, sind es sogar noch weniger Verluste! Klar wird es mehr, sobald man die Dragon aufrichtet, aber die Rotation der Dragon zum Schluss des Bremsmanövers rechne ich schonmal der Phase des „Schwebens“ zu. Und mit dem Bremsmanöver punktgenau zehn Meter über der Mondoberfläche rauszukommen, traue ich SpaceX ebenfalls zu.

  4. Dafür hast Du dann mehr Verluste als bei der direkten Landung denn Du brauchst mehr Geschwindigkeit um die Kreisbahn zu erreichen und dann zu landen als bei der direkten Landung. Schau dir mal das dV Budget der Apollo-Abstiegsstufe an, rechne dann noch 90 s x 1,6 m/s als Reserve für 90 s schweben ab und Du siehst das ich eher für SpaceX gerechnet habe.

  5. „can land everywhere in the solar System“ würde streng genommen auch eine Landung auf der Sonne bedeuten. Das ist aber nun wirklich nicht möglich.

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