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Im heutigen, zentralen Teil der Grundlagen geht es um die Raketengrundgleichung, nach dem ersten, der die Raketengrundgleichung aufstellte, auch „Ziolkowski‑Gleichung“ genannt. Die Raketengrundgleichung ist verglichen mit anderen Formeln in der Raumfahrt eine recht einfache Gleichung, deren Folgen aber viele bis heute nicht richtig verstanden haben. Die Raketengrundgleichung ist einfach diese:

Geschwindigkeit einer Rakete = Ausströmgeschwindigkeit der Gase beim Verlassen der Düse × natürlicher Logarithmus (Startmasse der Rakete / Brennschlussmasse der Rakete)

Ich habe die Raketengrundgleichung einmal ausgeschrieben, mit üblichen Buchstaben für die physikalischen Größen wird daraus:

v = v_spez * ln (M_voll / M_leer)

Die Raketengrundgleichung berechnet die Geschwindigkeit einer Rakete nach dem Verbrennen des Treibstoffs. Bei einer ballistischen Rakete bestimmt die Geschwindigkeit die Reichweite, für das Erreichen des Orbits oder anderer Planeten muss ebenfalls eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht werden. Die Raketengrundgleichung sagt direkt nichts über die Nutzlast aus, die Nutzlast steckt versteckt in der Brennschlussmasse, die nicht nur die Leermasse der Stufe enthält, sondern bei der letzten Stufe auch die Nutzlast.

Nehmen wir einmal die Raketengrundgleichung auseinander. Der erste Faktor, der direkt, also linear eingeht, ist die Ausströmgeschwindigkeit der Gase beim Verlassen der Düse. In der Raketentechnik spricht man vom spezifischen Impuls. Das ist irreführend, denn „Impuls“ ist der Name für eine andere physikalische Größe, und die Dimension des spezifischen Impulses ist im SI‑System eine Geschwindigkeit. Im SI‑System ist der spezifische Impuls nur eine andere Bezeichnung für die Ausströmgeschwindigkeit der Gase.

Im US‑System hat der spezifische Impuls dagegen die Einheit einer Zeit (Sekunden) und kann nicht direkt für die Berechnung verwendet werden. Im US‑System hat der spezifische Impuls folgende Bedeutung: Er gibt wieder, wie lange eine Rakete bis zum Verbrauchen des ganzen Treibstoffs sich in der Schwebe bleiben kann. Das ist schon deswegen unpraktisch, weil eine Rakete durch den Treibstoffverbrauch leichter wird.

Wir haben hier eine deutliche Verschlechterung: Als ich anfing, mich mit Raumfahrt zu beschäftigen, waren in Büchern Angaben in SI‑Einheiten üblich. Mit dem Einzug des Internets und der Flut von US‑Seiten mit ihren imperialen Einheiten findet man immer mehr den US‑Impuls. Bei der NASA selbst – das weiß man seit dem Verlust des Mars Observer durch das Verwechseln von US‑ mit SI‑Einheiten – rechnet man im SI‑System, doch Veröffentlichungen und die Industrie arbeiten noch mit den US‑Einheiten.

An dieser Stelle (gehört nicht zu den Grundlagen, aber ist historisch interessant) ein Einschub, wie man zu den verschiedenen Einheiten kam: Als man die ersten Raketen konstruierte, musste man natürlich deren Leistung messen. Das ging und geht bis heute dadurch, dass man den Druck, den das Triebwerk bewirkt, misst und den Treibstoffverbrauch bestimmt. In beiden Systemen gilt:

Spezifischer Impuls = Schub / Treibstoffverbrauch pro Sekunde

Also: Ein Triebwerk, das 1 000 kN Schub entwickelt und 250 kg Treibstoff pro Sekunde verbraucht, hat einen spezifischen Impuls von:

1000 (kg * m /s²) / 250 (kg / s) = 4000 m/s

Den Druck misst man als Gewichtskraft, die bestimmt wird. Im Gewicht steckt implizit die Erdbeschleunigung g drin. Wenn sich die Marskolonisten einmal auf dem Mars auf die Waage stellen, dann werden aus adipösen Menschen schlanke Models – zumindest nach dem, was die Waage anzeigt. (g0 Erde: 9,81 m/s², g0 Mars: 3,73 m/s², ein 98 kg schwerer Mensch „wiegt“ auf dem Mars nur noch 37 kg.)

In den USA wurde der Schub als „pounds of force“ gemessen, bei uns als „Pond“. Alte Angaben für den Schub von Raketen und Düsentriebwerken haben oft die Einheit Kilopond. Bis 1978 bei uns das SI‑System verpflichtend auch im Alltag eingeführt wurde, da wurde die Einheit Kraft durch Newton ersetzt mit der Einheit kg · m/s². Und diesen Schritt haben die USA bis heute nicht getan, zumindest nicht jenseits der Forschung und Wissenschaft.

Die Geschwindigkeit steigt linear mit der Ausströmgeschwindigkeit. Ersetzt man also eine Stufe, die Kerosin/Sauerstoff nutzt (typischer spezifischer Impuls im Vakuum: ~3 200 m/s), durch eine Stufe, die Wasserstoff/Sauerstoff nutzt (typischer spezifischer Impuls im Vakuum: ~4 400 m/s), so ist die Wasserstoff/Sauerstoff‑Stufe 37,5 % schneller unterwegs (4 400 / 3 200 = 1,375).

Der zweite Term ist das Verhältnis von Startmasse zu Brennschlussmasse. Gerne oft auch als Vollmasse und Leermasse bezeichnet. Das ist nicht korrekt. Zum einen ist bei mehrstufigen Raketen immer die Masse der Oberstufen zu beiden Termen zu addieren. Zum anderen stecken in der Brennschlussmasse einer Stufe außer der Trockenmasse noch andere Faktoren:

• unnutzbarer Treibstoff
• Druckgas
• Arbeitsflüssigkeiten (Hydraulik‑ und Schmieröl etc.)

Umgekehrt wird auch die Isolation von Düsen und Brennkammern abgetragen, und Eis, das sich beim Start auf der Außenseite von kryogenen Tanks ablagert, fällt beim Start ab, dadurch sinkt das Leergewicht ab.

Dieses Verhältnis (pro Stufe) ist so wichtig, dass es einen eigenen Namen hat: Strukturfaktor. Typische Werte sind:

• ~6: druckgeförderte kleine Stufen
• ~8 bis 10: Stufen, die LOX/LH₂ nutzen (Wasserstoff hat eine niedrige Dichte, dadurch braucht man große und schwere Tanks)
• ~12: mittelgroße Stufen mit LOX/RP‑1 oder lagerfähigen Treibstoffen
• ~18: große Stufen mit LOX/RP‑1
• 26,8: absoluter Rekord – Titan II ICBM Erststufe (lagerfähige Treibstoffe mit hoher Dichte, geringe Masse an Oberstufen, aerodynamische Spitze)

Man kann, wenn man nichts über eine Rakete weiß, mit Analogen arbeiten, also mit den bekannten Strukturfaktoren ähnlicher Stufen. Ab etwa 50 t bis 100 t Masse ist der Strukturfaktor bei gleicher Technologie konstant. Eine Saturn‑V‑Erststufe hat in etwa den gleichen Strukturfaktor wie eine Thor‑Erststufe.

Das Problem steckt im Logarithmus. Der Logarithmus ist das Integral der Abnahme der Masse, also das Integral der Funktion 1/x. Der natürliche Logarithmus (es gibt auch andere Logarithmen, aber die spielen in der Raumfahrt bei Berechnungen keine Rolle) ist die Umkehrfunktion von eˣ. Da x die Potenz ist, muss man immer größere Strukturfaktoren erreichen, um die Geschwindigkeit um den gleichen Betrag zu steigern. Hier der Logarithmus für einige Strukturfaktoren:

Logarithmus	Strukturfaktor
0	1
0.5	1,65
1	2,72
1,5	4,48
2	7,38
2,5	12,19
3	20,09

Ich habe „0“ hinzugenommen, weil man im Kopf gerne vergisst, die „1“ bei Voll‑/Leermasse ohne Treibstoff abzuziehen. Einen Logarithmus von 0,5 erreicht man, wenn der Treibstoff 65 % der Leermasse ausmacht, das ist nicht viel. Um auf 1 zu kommen, muss man nun den Treibstoff nicht verdoppeln (Verhältnis 2,3), sondern auf 172 % der Leermasse (2,72) steigern. Dieser prozentuale Anstieg ist konstant, aber das Erreichen fällt immer schwerer.

Also: Die besten einstufigen Raketen mit einem Strukturfaktor von 20 erreichen als Geschwindigkeit der Rakete gerade einmal die dreifache Ausströmgeschwindigkeit der Gase. Mit Verlusten, die beim Aufstieg entstehen, erreicht man so gerade einen Orbit.

Mehrstufige Raketen

Die Lösung, die Begrenzungen durch den Strukturfaktor zu umgehen, ist es, mehrere Stufen zu kombinieren. Das einfache Prinzip: Sobald eine Stufe ausgebrannt ist, wird die Stufe abgestoßen und dadurch die Leermasse verringert. Die Raketengrundgleichung verändert sich nicht, nur die Massen ändern sich. Für eine zweistufige Rakete gilt:

v₁ = V_spez1 * ln (Startmasse Rakete / (Startmasse Rakete – Treibstoff erste Stufe))

v₂ = V_spez2 * ln (Startmasse zweite Stufe / (Startmasse zweite Stufe – Treibstoff zweite Stufe))

v = v₁ + v₂

Die Geschwindigkeiten der Stufen addieren sich also. Bei mehr Stufen macht man die Rechnung für jede einzelne Stufe. Die letzte Stufe enthält auch die eigentliche Nutzlast. Je höher die Zielgeschwindigkeit ist, desto mehr Stufen braucht man, will die Nutzlast nicht rapide absinken. Mit zwei Stufen erreicht man einen LEO‑Orbit.

Zu der Orbitalgeschwindigkeit von etwa 7,8 km/s kommen noch Verluste, um den Orbit erst zu erreichen. Der größte Teil davon sind Gravitationsverluste – nur die Beschleunigung, die über der Erdbeschleunigung liegt, beschleunigt die Rakete effektiv. Typische Verluste liegen zwischen 1 200 m/s und 2 400 m/s. Je schneller eine Rakete den Orbit erreicht, desto kleiner sind die Verluste. Am unteren Ende liegen Feststoffraketen mit sehr kurzen Brennzeiten, am oberen Ende LOX/LH₂‑Raketen, die lange Brennzeiten haben.

Hier noch ein einfaches Praxisbeispiel, nicht ganz realitätsnah, da – wie schon geschrieben – der Strukturfaktor bei kleinen Stufen meist schlechter ist. Wir nehmen zwei Raketen mit 100 t Startmasse und 1 t Nutzlast. Der Strukturfaktor liegt bei beiden bei 10. Nur hat Rakete 1 nur eine Stufe mit 100 t Startmasse und 10 t Leermasse, Rakete 2 eine Stufe mit 90 t Startmasse und 9 t Leermasse und eine Stufe mit 10 t Startmasse und 1 t Leermasse. Die Ausströmgeschwindigkeit soll in beiden Fällen bei 3 000 m/s liegen. In beiden Fällen haben wir also gleich viel Treibstoff (90 t) und eine gleiche Leermasse (10 t) und den gleichen spezifischen Impuls, doch die erzielten Geschwindigkeiten sind unterschiedlich:

Einstufige Rakete:

v = 3000 m/s * ln ((100.000 kg+1000 kg)/(10.000 kg + 1000 kg))

v = 3000 m/s * ln (9,18)

v = 3000 m/s * 2.21

v = 6630 m/s

Zweistufige Rakete:

Erste Stufe:

v₁ = 3000 m/s * ln ((90.000 kg+ 10.000 kg + 1000 kg) /(10.000 kg+ 10.000 kg + 1000 kg))

v₁ = 3000 m/s * ln (4,81)

v₁ = 3000 m/s * 1,57

v₁= 4710 m/s

Zweite Stufe:

v₂ = 3000 m/s * ln ((10.000 kg+1000 kg)/(1.000 kg + 1000 kg))

v₂ = 3000 m/s * ln (5,5)

v₂ = 3000 m/s * 1,70

v₂ = 5100 m/s

v₂ = 4710 m/s + 5100 m/s

v₂ = 9810 m/s

Bei gleichem Strukturfaktor, Treibstoff und Nutzlast ist die zweistufige Lösung deutlich besser: Die Nutzlast erreicht 9 810 m/s und würde damit problemlos einen Orbit erreichen, während die Endgeschwindigkeit der einstufigen Rakete dazu nicht ausreicht. Die einstufige Rakete hätte in etwa eine Reichweite von 6 800 km. Um auf 9 810 m/s zu kommen, hätte die einstufige Rakete keinen Strukturfaktor von 10 benötigt, sondern einen von 26,31. Das würde bei Anwendung aller Technologien vielleicht noch eine leere Stufe erreichen, die leere Stufe hätte dann aber keine Nutzlast mehr.

Was ich bisher beschrieben habe, ist die Serien‑Stufenrakete. Schon seit Beginn der Raumfahrt gibt es noch das Konzept der Parallel‑Stufenrakete. Dabei zünden mehrere Stufen gleichzeitig, aber mit unterschiedlichen Brennzeiten. Sobald eine Stufe ihren Treibstoff verbraucht hat, wird die Stufe abgestoßen. Alle Stufen mit Feststoffboostern arbeiten so. Bis ich den Flug einer Rakete physikalisch korrekt simulieren konnte, habe ich diese Stufen einfach als getrennte Stufen genommen, wobei die kürzer brennende Stufe die erste Stufe ist und die länger brennende Stufe die zweite Stufe ist. Der Fehler gegenüber der realen Geschwindigkeit ist relativ gering.

Eine allgemeine Merkregel: Die Gravitationsverluste sinken, und damit steigt der nutzbare Anteil der Geschwindigkeit an, je früher man Leergewicht abwirft. Bei der Falcon Heavy kann man dies sehen:

Als die Falcon Heavy angekündigt wurde, sollte die Falcon Heavy „Cross‑Feeding“ unterstützen. Die Falcon Heavy hat eine Zentralstufe und zwei baugleiche Booster. Bei Cross‑Feeding verbrennen alle drei Stufen nur den Treibstoff der beiden Booster. Die Brennzeit einer Stufe beträgt 162 Sekunden. Bei Cross‑Feeding wären die Booster schon nach zwei Dritteln der Zeit ausgebrannt, also 162 × 2 / 3 = 108 Sekunden. Die zentrale Stufe würde dann noch 169 Sekunden lang weiter brennen, denn die zentrale Stufe hat noch ihren ganzen Treibstoff. Hier werden nach 108 Sekunden also zwei Drittel der Leermasse abgestoßen.

Betreibt man alle drei Stufen ohne Cross‑Feeding, so haben alle drei Stufen synchron nach 162 Sekunden Brennschluss (alle Zeiten ohne Wiederverwendung).

Betrieben wird die Falcon Heavy anders: Kurz nach dem Start wird die mittlere Stufe im Schub heruntergefahren. Die mittlere Stufe brennt dann 220 Sekunden lang. Diese Lösung ist theoretisch die schlechteste, aber sonst wäre die Spitzenbeschleunigung zu hoch. Hier die Nutzlasten mit von mir geschätzten (aber bei allen Typen gleichen) Daten:

Technologie	Nutzlast GTO
Crossfeeding	26 t
Synchroner Brennschluss nach 162 s	23 t
Zentralstufe brennen 220 s lang	24 t

Die etwas längere Brennzeit ist deswegen günstiger, weil in der Realität die Gravitationsverluste eine Rolle spielen. Sobald die Oberstufe übernimmt, sinkt die Beschleunigung rapide ab und die unteren Stufen haben im Prinzip die Aufgabe sie möglichst hoch zu befördern. Das können sie bei längerer Brennzeit besser.

Die Raketengrundgleichung ist so wichtig, dass es noch einen zweiten Beitrag gibt, und zwar nun konzentriert auf den spezifischen Impuls während es bei diesem Artikel vornehmlich um das Masseverhältnis ging.