Ein überflüssiges Problem und seine Lösung

Auf den heutigen Artikel bin ich durch das Editional der neusten ct‘ gekommen. Obwohl diese noch am 30.12.2013 erscheint hat sie die Nummer 2 – es gibt eben 26 Ausgaben pro Jahr und durch Schaltjahre und weil das Jahr 365,2422 Tage hat und nicht 364 kann es ab und an soweit kommen, das eine Nummer 2 erscheint. Ein Vorschlag zur Lösung des Problems war auch die Umlaufbahn der erde zu verschieben, sodass das Jahr 364 Tage hat (genau 52 Wochen).

Da dachte ich mir: das rechnest Du mal aus, und damit ihr auch was davon habt mache ich das im Blog. Es gibt zwei mögliche Lösungen um die Tageslänge anzupassen. Die eine ist es die Umlaufbahn  der Erde zu verschieben, sodass die Erde in 364 Tagen die Sonne umrundet. Die zweite Möglichkeit ist es, die Rotation der Erde zu verlangsamen, sodass während eines Jahres sie sich nur noch 364-mal dreht (wenn die Sekunde konstant bleibt hätte dann der Tag 86.694 s, also 294 s oder fast 5 Minuten mehr als heute. Man würde in diesem Falle einfach die Sekunde neu definieren.

Fangen wir mit der Verschiebung der Erdumlaufbahn an. Was ist die neue? Nun die Erdumlaufbahn ist nicht ganz kreisförmig. Sie hat im Mittel einen Abstand von 149.597.600 km von der Sonnenmitte. Aber dieser Abstand variiert um 2 Millionen km in beide Richtungen. Bald durchlaufen wir den sonnennächsten Punkt, auch ein Grund warum die Winter auf der Nordhalbkugel etwas milder und die Sommer auf der Südhalbkugel dafür etwas heißer als auf der anderen Halbkugel sind.

Die mittlere Entfernung der neuen Umlaufbahn kann man nach Keplers dritten Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen (Kuben) der großen Bahnhalbachsen.“. Es gilt also T³ = a². Mit T= 31´.556.926 s und a = 149.597.600 km kann man die neue Umlaufbahn für 364 Tage (31.449.600 s) berechnen und kommt auf 148.835.070 km als mittleren Abstand.

Die Energie die wir aufbringen müssen, ist berechenbar nach nach E=½ m*v², Während die Erdmasse m (5,976x10e24 kg) bekannt ist brauchen wir noch die Geschwindigkeitsänderung. (1e24 bereutet eine 1 mit 24 Nullen, die Bundesverschuldung beträgt derzeit ungefähr 2,1e12) Für eine einfache Näherung gehen wir davon aus, dass die Erde vorher und nachher in einer Kreisbahn ist. Die Geschwindigkeit in einer Kreisbahn kann man leicht berechnen nach:

v = Quadratwurzel(G*m/r)

Mit g = 6,6726e-11 und m = 1,989e30 kg (Sonnenmasse) und r = momentaner Abstand erhält man in der alten Bahn ein v von 29.786,1 m/s und in der neuen Bahn ein v von  29.862.2 m/s.

Die Differenz beträgt also nur 76,1 m/s. Doch das muss man quadrieren und mit der Erdmasse multiplizieren und kommt dann auf 1,73xe28 kg m²/s². Das ist z.B. die gesamte Sonnenstrahlung die auf die Erde während 3176 Jahren fällt.

Dann gibt es noch die zweite Lösung: Wir verlangsamen die Erdrotation. Ein rotierende Körper weist ein Massenträgheitsmoment auf. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass die Erde eine homogene Dichte hat. Das ist zwar eine ziemliche Vereinfachung, doch da wir keine Massen verschieben, sondern nur die Winkelgeschwindigkeit verschieben, eine zulässige Näherung weil der Fehler sowohl bei der Berechnung des aktuellen Massenträgheitsmoments wie auch des neuen auftritt, also sich herauskürzt.

Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel ist:

J = 2/5 M*r²

mit dem schon bekannten M von 5,96e24 und r = 63878000 m erhält man J= 9,724e37 m²kg

Die Rotationsenergie E ist nun gegeben als die Multiplikation des Massenträgheitsmomentes mit der Winkelgeschwindigkeit:

E = ½ ω² * J

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist definiert in der Einheit rad/s wobei 2 π rad einer Umdrehung entsprechen. Bei der Erde erfolgt das Zurücklegen eines Rad in 86400 s / 2 π = 13751 s. (1/13751). Wir müssen das ändern auf 1/13797,8. Multipliziert man die Differenz (2,465e-6) mit dem Massenträgheitsmoment, so kommt man auf eine Energieänderung von 3,4826e27 kg m²/s².

Es ist also effektiver die Erde abzubremsen als die Erde in der Bahn zu verschieben.

Was wären die Folgen?

Nehmen wir mal, wir könnten das tatsächlich durchführen. Was wären die Folgen. Bei der Erde die rund 0,8 Millionen km näher an der Sonne ist, ist die Sonneneinstrahlung höher. Ändert sich an der Albedo der Erde nichts, so würde nach dem Stefan-Bolzmannschen Gesetz die Oberflächentemperatur um 1 Grad Celsius ansteigen. Das ist relativ wenig, verglichen mit dem was wir gerade als Klima Experiment an Erwärmung verursachen.

Bei der beschleunigten Erde dürfen wir nicht vergessen, dass die Erde nicht alleine ist. Erde und Mond bilden eine System, dessen Drehimpuls ebenfalls gesamt ist. Wird die Erde schneller, so muss der Mond näher an der Erde sein. Er war mal früher unterhalb des GEO-Orbits, allerdings rotierte damals auch die Erde in 6 Stunden.

Den Drehimpuls, der im Mond steckt kann man berechnen nach:

L = ω p

Wobei P der Bahnimpuls ist. Das ist umformbar in:

L = r m v

mit r = Radius der Bahn (384.400.000 m)m v der Geschwindigkeit des Mondes (1018,5 m/s) und m der Masse des Mondes (7,35e22 kg). Man erhält einen Drehimpuls von 2,877e34 kg m²/s. Dazu kommt der Drehimpuls der Erde der nach

L = ω J berechnet werden kann mit der schon bekannten Winkelgeschwindigkeit der Erde und deren Massenträgheitsmoment. Er beträgt vor der Abbremsung 7,0714e33 kg m²/s und danach 7,0475e33 kg m²/s

Wenn nun der Gesamtdrehimpuls von Erde und Mond konstant bleiben muss und die Erde einen um 3,1e30 niedriger ist, müssen wir dies vom Mond addieren und man erhält als neuen Drehimpuls 2,87731e34. Die Masse des Mondes kann man rauskürzen, doch Bahngeschwindigkeit und Abstand hängen voneinander ab. Mit einer iterativen Berechnung kommt man drauf, das in einer neuen Distanz von 383.760 km wieder der Mond das richtige Drehmoment hat. Der Mond rückt also rund 640 km an die Erde heran.

Das ist relativ wenig verglichen mit der Schwankung der Mondumlaufbahn die zwischen 363.300 und 405.500 km vom Erdmittelpunkt, hat also kaum Auswirkungen auf die Gezeiten. Da der Mond sich pro Jahr um 4 cm von der Erde entfernt hat er in 16 Millionen Jahren die Distanz wieder aufgeholt.

Was lehrt uns das ? Man kann vergnügliche Stunden damit zubringen völlig verrückte Dinge durchzurechnen und das Physik und Mathematik als Schulfächer doch eine Existenzberechtigung haben.

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