Die Aufstiegssimulation

esse an der Raumfahrt habe ich mich auf Raketen fokussiert. Schon mit 15,16 fing ich an, über die Ziolkowski-Gleichung die Endgeschwindigkeiten von Raketen auszurechnen. Die wichtigen Daten – es sind ja nur Vollmasse, Leermasse und spezifischer Impuls jeder Stufe fand man damals noch in Büchern. Heute ist es wesentlich schwieriger, sie zu finden.

Das System habe ich über 40 Jahre beibehalten. Es ist eigentlich ganz simpel, dafür braucht man keinen Computer, ein Taschenrechner mit Logarithmusfunktion tut es auch:

Ich berechnete die Endgeschwindigkeit einer Rakete mit einer bekannten Nutzlast. Die ist größer als die Bahngeschwindigkeit, z.B. Bahngeschwindigkeit 7800 m/s, Endgeschwindigkeit der Rakete: 9456 m/s. Das, was zu viel ist, sind Verluste. Wie ich später merkte, beruhen die vor allem darauf, dass die Rakete ja auch die Orbithöhe erreichen muss und während der Zeit wird sie dauernd von der Erde angezogen, das sind die Gravitationsverluste. Sie sind innerhalb einer Rakete relativ konstant. Kennt man also die Verluste für eine Bahn, so kann man die Endgeschwindigkeit für die nächste Bahn berechnen und durch Probieren die Nutzlast (wie ich bald herausfand, gab es auch dafür einen die Differenz zur wahren Nutzlast reduzierenden iterierenden Weg den man mit dem Taschenrechner in 2,3 Durchgängen durchlaufen konnte).

Bei unbekannten Raketen muss man die Nutzlast abschätzen. Da die Gravitationsverluste beim Aufstieg in den Orbit entstehen, gibt es große Unterschiede. Die Extreme liegen bei etwa 860 und 2500 m/s. Die meisten mit flüssigen Treibstoffen angetriebenen Träger liegen bei 1500 bis 1800 m/s. Um unteren Ende sind reine Feststoffraketen oder Träger mit flüssigen Treibstoffen aber kurzen Brennzeiten wie die Titan 2 (355 s Gesamtbrennzeit). Am oberen Ende Raketen mit langer Brennzeit wie Ariane 5 (selbst wenn man nur einen LEO als Maßstab nimmt über 900 s Brennzeit). Leider ist der Zusammenhang nicht linear, man kann also nicht einfach pro Sekunde Brennzeit 9,81 m/s (der Zahlenwert von g) hinzuzählen – zum Glück, sonst läge Ariane 5 ECA nicht bei 2200 m/s, sondern über 6000 m/s Verlusten, wenn man von der Titan II ausgeht (1065 m/s). Ich habe daher immer die Verluste geschätzt, indem ich die Verluste von Raketen mit ähnlicher Gesamtbrennzeit als Vergleich nahm. Das ist nicht immer leicht. Viele Raketen mit schubschwachen Stufen erreichen ihre LEO-Maximalnutzlast gar nicht, weil sie nicht so lange brennen können, ohne wieder in die Erdatmosphäre einzutreten. Bei ATV Missionen hat man die EPS z.B. nur mit 5,4 anstatt 10 t Treibstoff beladen. Die Atlas V braucht für die volle LEO Nutzlast ein zweites Triebwerk in der Centaur.

Vor einem Jahr habe ich begonnen eine Aufstiegssimulation zu machen, jetzt wo die Manuskripte draußen sind, bin ich dazu gekommen, an ihr weiter zu arbeiten und zu vervollständigen. Wie bei der einfachen Rechnung ist es ein Modell und daher hier eine kleine Beschreibung mit den Einschränkungen, die es gibt, bevor ich die Ergebnisse diskutiere.

Ich arbeite damit, dass ich den Start durchsimuliere und in kleinen Zeitschritten auf Basis der aktuellen Masse und Schub jeweils die Beschleunigung berechne, sowohl der Rakete wie auch durch die Erdanziehungskraft. Das Aufstiegsprofil besteht aus bis zu 6 vorgegebenen Zeitpunkten mit vorgegebenen Winkeln des Schubvektors relativ zur Erdoberfläche beim Start (90 Grad beim Abheben, 0 Grad parallel zur Erdoberfläche). Dazwischen wird der Schubvektor linear gedreht entsprechend dem Winkel- und Zeitunterschied zwischen zwei Wegepunkten. Ich weiß das, dem bei einigen frühen Trägern so war, so der Europa oder Scout. Die Atmosphäre ist einfach modelliert: Nach der barometrischen Höhenformel nimmt der Druck exponentiell mit einer Skala von 8400 m ab. Ebenso die Luftdichte. Als Luftwiderstandsbeiwert habe ich 0,35 für die Kopffläche (spitzer Kegel) und 0,99 für die Seitenfläche, die aber nur durch den augenblicklichen Drehwinkel Widerstand leistet. Ich habe festgestellt, dass die Verluste meiner Modellatmosphäre deutlich geringer als real sind. Da muss ich noch nach einem besseren Modell suchen. Die Luftwiderstandsverluste machen aber nur in der Größenordnung von 100 bis 150 m/s aus, das heißt, selbst wenn ich hier große Abweichungen habe, macht das nicht so viel bei der Nutzlast aus.

Der Schub wird ebenso berechnet. Er entwickelt sich parallel zur Druckabnahme, also bei 1 bar der Bodenschub und 0 Bar dem Vakuumschub. Das ist eine größere Einschränkung. Vor allem Startbooster haben ein unregelmäßiges Profil, der Schub ist anfangs hoch und nimmt dann nach Erreichen von MaxQ langsam ab. Bei mir verläuft er genau umgekehrt. Ebenso ist ein variabler Schub nicht möglich, wie bei der Atlas V CCB oder der S-IVB.

Ich habe in den letzten Tagen das Modell auf 3 Koordinaten umgestellt (bewegt sich eine Rakete nicht in der dritten Achse, weil der Winkel beim Start schon feststeht, so reichen auch zwei) und will einige Ergebnisse präsentieren. In der dritten Achse (entlang der geografischen Länge) liegt allerdings der Startazimut dauerhaft fest. Drehmanöver, wie sie russische Raketen fliegen müssen, wenn sie von Baikonur aus starten um bewohntes Gebiet zu meiden sind auch so nicht möglich. Aber man bekommt so die korrekte Bahnneigung, die durch den Südkurs einer Rakete abnimmt.

Ich habe schon einige Probleme festgestellt. Es ist schwer Freiflugphasen zu simulieren, bei denen ein Feststoffbooster später gezündet wird. Die Titan 23G habe ich problemlos modelliert mit einer Nutzlast nahe der angegebenen Nutzlast, doch bei der Titan 23G + Star 37 FXP tue ich mich schwer. Bisher habe ich da keine Lösung. Ebenso bei der Vega mit vier Stufen, variabler Treibstoffzuladung des AVUM und Freiflugphase gibt es da zu viele Parameter, an denen man drehen kann. Eine Optimierung habe ich noch nicht gefunden, zumindest nicht, wenn schon die Ausgangssituation nicht die Vorgaben erfüllt. Bisher mache ich das von Hand, indem ich die Höhendiagramme betrachte, und versuche die Spitzenhöhe nicht zu hoch und das absacken nicht zu stark werden zu lassen.

Nun zu den Ergebnissen. Man interessiert sich natürlich für Raketen, deren Nutzlast unbekannt ist. Ich fing mit der Ariane 5 ECA als Test an und komme bei 10900 kg Nutzlastvorgabe und Zielvorgabe 250 x 35.790 km Bahn auf eine Bahn von 286,6 x 35.800 km x 5,2 Grad bei 405 kg Resttreibstoff. Das passt also zur echten Ariane 5 ECA. Damit ging ich an die Berechnung der Ariane 5 ECB mit einer Startmasse von 33.720 kg und Trockenmasse von 5.970 kg (inklusive VEB). Das war deutlich schwerer. Ideal sind Bahnen wie in der Grafik der Ariane 5 ECA, wo nach einiger Zeit die Höhe konstant ist, d.h. Steigung durch Schub und Absinken durch die Gravitation halten sich die Waage. Am Schluss steigt dann die Höhe durch die Massenabnahme immer an. So eine Kurve ist bei der Ariane 5 ECB nicht möglich. Die Stufe wiegt mit Nutzlast 46 t beim Start, bei der Ariane 5 ECA sind es 30 t. So bringt schon die Zentralstufe die Nutzlast nicht auf eine elliptische Startbahn mit einem hohen Apogäum, von der sie zehren kann. Da nach Trennung von der EPC der Schub nur noch 180 kN beträgt, sinkt die Bahn praktisch nach der Stufentrennung ab, d. h. die EPC muss in großer Höhe Brennschluss haben, um das Absinken aufzufangen. Will man sich der Erde auf minimal 150 km nähern dann komme ich auf nur 11,9 t Nutzlast (wohlgemerkt ohne 400 kg Abweichung wie bei der Ariane 5 ECA). Die entsprechende Aufstiegskurve sieht so aus:

Verglichen mit der ECA ist die Delle tiefer, die Spitzenhöhe höher, beides energetisch ungünstig. Als kleine Ergänzung habe ich noch eine zweistufige Ariane 5 für LEO Missionen simuliert. Sie hat mit 21 t Nutzlast für einen 260 km hohen Übergangsorbit zur ISS (51,6 Grad Bahnneigung). Das ist fast die gleiche wie mit der EPS Oberstufe. Es wird sie aber nie geben, weil die ESA die schwere EPC nicht in einem Erdorbit haben will, das senkte schon bei der Entwicklung die Nutzlast ab, weil die Aufstiegsbahn so modifiziert werden musste.

Damit habe ich mich an die Ariane 6 gemacht, bei ihr erwartete ich Ähnliches. Doch ich wurde positiv überrascht. Der hohe Schub der beiden Booster und die verkürzte Brennzeit der EPC (von 534 auf 460 s) bewirken, dass die Gravitationsverluste beträchtlich niedriger sind. Eine 181 x 35.790 km Bahn hat nach meiner Rechnung eine Nutzlast von 14,3 t. (Man müsste aber noch einige Hundert Kilo abrechnen um die die ESC höher lag als in der Realität, 13,5 – 13,8 t halte ich aber für realistisch). Ähnliches habe ich schon bei der einfachen Berechnung herausgefunden).

Die Ariane 62 hat einen kleineren Schub beim Start, entsprechend sind die Feststoffbooster ausgebrannt, wenn die Rakete noch einen relativ großen Winkel zur Erdoberfläche hat. Doch auch hier wirkt sich die geringe Brennzeit der Zentralstufe aus, auch wenn der „Buckel“ steiler ist. Für eine 182 x 35.790 km Bahn errechne ich eine Nutzlast von 8.800 kg (korrigiert: 8,4 t), deutlich mehr als Arianespace und ESA angeben, aber ebenfalls im Einklang mit einfacheren Simulationen.

Noch ein Ergebnis: Eine Ariane 64 könnte 7.500 kg auf eine Transferbahn zum Mond befördern und eine Ariane 62 etwa 4.100 kg auf eine Galileoumlaufbahn bringen. Das wäre ausreichend für 4 der Satelliten, wenn der Dispenser nicht mehr als 900 kg wiegt.

Für niedrige Erdumlaufbahnen verschärft sich das Problem der zu schweren Oberstufe. Mit der Nutzlast wiegt diese rund 60 t. Anders als bei GTO Bahnen, wo nach der Hälfte der Brennzeit der Oberstufe eine stabile Erdumlaufbahn (wenn auch nicht mit dem Apogäum in Zielhöhe) erreicht ist, muss sie bis zum Ende brennen. Damit sie nicht unter eine Minimalhöhe sackt, muss sie vorher eine große Höhe – über 400 km erreichen. So wird man wohl eine Taktik einschlagen, die sich schon bewährt hat – bei ATV-Missionen wurde die EPS nur zur Hälfte mit Treibstoff beladen. Und in der Tat ist die Nutzlast einer vollen Oberstufe (30 t Treibstoff) mit 24,9 t kleiner als mit 14 t Treibstoff (25,7 t – jeweils für einen 260-km-ISS-Orbit). Bei der Ariane 62 sind es 15 t (Spitzenhöhe 517 km!). Hier ist bei teilbefülltem Tank die Nutzlast aber deutlich geringer: hier sind es nur 10 t.