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Zeit für eine Fortsetzung des Aufenthalts über Bahnen. Diesmal geht es um Bahnen im Sonnensystem. Der eine oder andere wird nun fragen: „Häh, ich dachte, Bahnen gelten universell, ich muss in den Formeln ja nur die Masse austauschen!“ … und da habt ihr auch vollkommen recht, zumindest, solange es um irgendwelche Bahnänderungen in einer Sonnenumlaufbahn geht oder auch Missionen um einen Kleinplaneten mit vernachlässigbarer Gravitation, wie die, von denen gerade einige Missionen Material geborgen haben.

Aber wenn ich von einem Himmelskörper mit deutlicher Gravitation (Planet, schwerer Mond) zu einer Reise aufbreche, muss ich die Gravitation von diesem Körper und der Sonne berücksichtigen. Ich habe das, was man in der Astronomie als „Dreikörperproblem“ bezeichnet, und das ist nicht mehr so einfach zu lösen.

Aber fangen wir erst mal damit an, einen Planeten zu verlassen. Da habe ich im letzten Teil ja die Fluchtgeschwindigkeit definiert, die an der Erdoberfläche etwa 11,2 km/s beträgt. Die Fluchtgeschwindigkeit ist eine Folge des Energiesatzes, und sie wird aus der potenziellen Energie berechnet, die man aufwenden muss, um einen Körper in unendliche Entfernung von dem Zentralkörper zu hieven, und zwar nach:

v = √(2 * E)

aus der Umformung des Satzes über die Berechnung der kinetischen Energie von:

E = ½ * v²

Im Unendlichen hat der Körper keine Energie mehr, also die Geschwindigkeit 0; die Geschwindigkeit nimmt also laufend ab, in Mondentfernung beträgt sie z. B. nur noch 1,5 km/s. Aber in der Realität kann sich der Körper nicht unendlich weit entfernen, denn die Erde umkreist ja die Sonne, und wenn ich einen Mond betrachte, umkreist der den Planeten. Irgendwann wird also die Gravitationskraft der Sonne den Körper aus seiner Bahn, die bei Fluchtgeschwindigkeit eine Parabel ist, also außen hin fast gerade verläuft, in eine Sonnenumlaufbahn umlenken. Doch wann passiert dies?

Dafür haben sich zwei künstliche Radien eingebürgert, die Hill‑Sphäre und die Einflusssphäre. Die Hill‑Sphäre definiert die Grenze der Gravitationskraft des kleineren Körpers; bei einer größeren Distanz überwiegt die Gravitation des größeren Körpers. Bei der Erde beträgt der Radius rund 1,5 Millionen km. Der Wert ist kein Zufall: Zwei der Librationspunkte, in denen Satelliten gleichzeitig die Erde und die Sonne umkreisen, liegen auf dieser Entfernung, der eine Richtung Sonne, der andere in der entgegengesetzten Richtung. Allerdings ist natürlich die Gravitationskraft der Sonne 1 km näher an der Erde nicht weg, sondern nur etwas schwächer als die Erdgravitation. Sie stört dadurch die Bahnen, sodass diese Sphäre eher theoretisch ist.

In der Praxis muss ein Mond, damit er beim Planeten bleibt, näher als 50 % des Hill‑Radius bei einer prograden Rotation (in der gleichen Richtung wie der Planet) oder 70 % bei einer retrograden Rotation sein. Zahlreiche eingefangene Asteroiden von Jupiter bis Neptun haben solche retrograden Umlaufbahnen und keiner liegt jenseits der Hill-Sphäre.

Für die Berechnung – Dreikörperprobleme sind nicht mehr analytisch, sondern nur noch numerisch, also durch Computersimulationen lösbar – hat sich die kleinere Einflusssphäre eingebürgert. Sie hat bei der Erde einen Radius von 925.000 km. Unterhalb dieser Grenze kann man den Sonneneinfluss ignorieren, darüber nicht, und wenn die Hill‑Sphäre überschritten wird, kann man den Erdeinfluss ignorieren. Das vereinfacht Bahnberechnungen deutlich.

Hier die Definitionen der Bahnen:

Hill‑Sphäre: r ≈ a * √(M₁ / (3 * M₂))

Einflussphäre: r = a * (M₁ / M₂)^{^(2/5)}

Bahnen im Sonnensystem von und zu einem Planeten

Bei bei der Erde lann ich im Sonnensystem natürlich berechnen welche Geschwindigkeit ich brauche um z.B. von der Erde zum Mars zu gelangen. Das geht mit den Gleichungen im ersten Teil und mache ich das für eine konkrete Mission – ich habe mir hier die von Mariner 9 rausgesucht s erhalte ich folgende Werte:

1971 war ein besonders günstiges Startjahr, das gibt es im Wechsel alle 15/17 Jahre (1988, 2003, 2020, 2035). So kam die Sonde schon nach 168 Tagen an. Das Aphel der Transferbahn lag nur 1 Million km außerhalb der Marsbahn. Nach der Berechnung muss Mariner 9 also um ~ 3.160 m/s beim Start beschleunigt werden, um zum Mars zu gelangen, und da sie dort in eine Umlaufbahn eintreten soll, nochmals um ~ 3.274 m/s abgebremst werden. Das sind über 6,4 km/s und damit fast so viel wie die Geschwindigkeit für die Kreisbahn um die Erde, für die man eine ganze Atlas‑Centaur brauchte. Wie hat die kleine Sonde das geschafft?

Nun, sie musste es nicht aufbringen, und jetzt komme ich nochmal auf die Fluchtgeschwindigkeit zurück. Die ist ja Null im Unendlichen. Doch was ist, wenn ich etwas schneller starte? Sagen wir mal 12 km/s bei einer Fluchtgeschwindigkeit von 11 km/s (gilt für eine niedrige Erdumlaufbahn). Man möge meinen, dann bleibt im Unendlichen 1 km/s übrig. Aber die Geschwindigkeit ist deutlich höher, und das nennt man hyperbolischen Exzess, und als ich vor rund 45 Jahren zum ersten Mal davon las, erschien es mir wie das Perpetuum Mobile: Geschwindigkeit aus dem Nichts, denn bei 12 km/s bleiben in unendlicher Entfernung bei obigem Beispiel noch knapp 4,8 km/s übrig. Wie ist das zu erklären?

Es liegt an der Energie. Die ist ja berechenbar nach E = ½ * v². Sie steigt also im Quadrat und beträgt bei 12 km/s 72 MJ/kg und bei 11 km/s 60,5 MJ. Ziehe ich beides ab, so bleiben 11,5 MJ übrig, und wenn ich diese Energie wieder in eine Geschwindigkeit umrechne, sind es 4.795 m/s. Letztendlich schlägt hier der Satz des Pythagoras zu: a² + b² = c² mit a = Überschussgeschwindigkeit, b = Fluchtgeschwindigkeit und c = resultierende (aufzubringende) Geschwindigkeit.

Das Gleiche gilt nun nicht nur beim Verlassen der Erde, sondern auch beim Einschwenken in die Umlaufbahn um den Mars. Auch dort muss Mariner 9 nicht 3,274 km/s abbremsen, aber weil die Fluchtgeschwindigkeit dort nur 5 km/s liegt, doch deutlich mehr. Es sind in der Realität für diese Mission diese Geschwindigkeitsänderungen:

(Sorry, die Bildüberschrift habe ich vergessen anzupasen, es ist die Bahn von Mariner 9). 1,44 anstatt 6,4 km/s. Das nenne ich mal einen tollen Gewinn. Das Phänomen nennt sich hyperbolischer Exzess und hat in der Astronomie sogar eine eigene Größe nämlich c₃. c₃ wird, weil die Werte sehr groß sind in der Einheit km²/s² angegeben. Rechnet man mit km/s bei den Geschwindigkeiten, so kommt c₃ in der richtigen Einheit automatisch raus. Im obigen Beispiel (11/12 km/s) wäre c₃ 23 km²/s² gewesen nach:

c₃ = (12 km/s)² – (11 km/s)² = 23 km² / s²

Und zieht man daraus die Wurzel, so erhält man wieder die Geschwindigkeitsdifferenz auf der Sonnenumlaufbahn, eben die rund 4,8 km/s.

Durch diesen tollen Trick sind Erde und Mars mit relativ wenig Überschussgeschwindigkeit erreichbar (Venus: c₃ < 9 km²/s², Mars c₃ je nach Abstand 12–16 km²/s²). Bei den äußeren Planeten und Merkur ist c₃ deutlich höher, bei Jupiter bei rund 90 km²/s², bei den äußeren Planeten noch höher, wobei es für eine kurze Reisezeit ansteigt. Aber auch für Merkur erhält man ein hohes c₃ von 37 bis 87 km²/s², so extrem, weil sich Perihel und Aphel deutlich unterscheiden. Will man Merkur im Perihel abfangen, so muss man die gleiche Geschwindigkeit aufbringen wie um zu Jupiter zu gelangen!

Das Problem ist: c3 ist eine absolute Größe, aber um wie viel die Geschwindigkeit abgebremst werden muss, hängt von der Distanz ab. Nehmen wir die Erde und ein c3 von 10 km²/s². Bei einer Geschwindigkeit von 7800 m/s (niedriger LEO) entspricht dies einer Geschwindigkeit von 11 475 m/s oder 445 m/s über der Fluchtgeschwindigkeit. Bei 3000 m/s (GEO) entspricht dies einer Geschwindigkeit von 5291 m/s. Das ist absolut weniger (aber nur, wenn man ignoriert, dass man den Orbit erst erreichen muss), aber absolut muss man 1049 m/s mehr aufbringen. Meine Angabe bezieht sich übrigens auf den Radius, also etwas irreal, das korrigiere ich noch.

Beim Eintritt in eine Planetenumlaufbahn hat man dasselbe Spiel. Mariner 9 schlug eine 1397 km × 17 616 km Umlaufbahn ein. Nimmt man an, dass die Zündung in genau 1397 km Distanz erfolgte, so liegt dort die lokale Kreisbahngeschwindigkeit bei 2990 m/s und die Fluchtgeschwindigkeit bei 4228 m/s. Die Geschwindigkeit in der Bahn dagegen liegt bei 3915 m/s (vis‑viva‑Gleichung aus dem ersten Teil). Mit dem c3 von 10,72 km²/s² errechnet man eine Zielgeschwindigkeit von 5353 m/s. Es fehlen also noch 1438 m/s. Die NASA gab 1450 m/s an, zum einen wegen Sicherheitsspielräumen, zum anderen, weil das Triebwerk über 800 Sekunden lang arbeitete und daher auch in größerer Distanz mit schlechteren Werten für die Differenzgeschwindigkeit.

Wann zünden?

Das leitet mich über zum nächsten Punkt: Wo sollte die Sonde, wenn die Missionsplanung mehrere Möglichkeiten bietet, das Triebwerk zünden? Ich will das im Folgenden bei der kommenden MMX‑Mission der JAXA/DLR zeigen: Die Sonde startet zum Marsmond Phobos, nimmt dort Proben, geht dann zum zweiten Marsmond Deimos und startet anschließend wieder zurück zur Erde. Etwas abweichend von der realen Mission soll die Sonde auch bei Deimos landen. MMX bleibt in einer elliptischen Umlaufbahn, die Deimos nur kreuzt. Es gibt eine einfache Regel: Zünde einen Antrieb immer möglichst nahe des Gravitationszentrums. Ich will das an zwei Bahnen verdeutlichen – es gäbe bei zwei Monden, die man nacheinander besuchen kann, erheblich mehr.

Die einfachste Lösung, da MMX zuerst Phobos besucht, ist es, in eine Kreisbahn um Phobos einzuschwenken, dann zu Deimos zu fliegen und von dort aus zurück zur Erde zu starten. Nur beim Mars sind dann folgende Manöver nötig:

Nur das Startdatum ist auf den Tag genau bekannt, für alle anderen Daten gibt es nur ganze Monate als Angabe. Ich habe daher den NASA‑Trajectory‑Browser für typische Bahnen bemüht. Die Sonde soll am 29. Oktober 2026 starten, das liegt mitten zwischen zwei Bahnen der NASA vom 23.10. und vom 8.11. Für diese Bahnen werden Δv beim Einschwenken beim Mars von 0,62 und 0,81 km/s genannt. Diese Werte sind relativ zu einer 200 km Fluchtgeschwindigkeit.

Rechne ich mit 0,81 km/s, so ergibt das ein c3 von 8,6 km²/s². Bei der Rückkehr gibt der Browser 563 m/s über Flucht an, das entspricht einem c3 von 5,9 km²/s². Die optimale Route schwenkt zuerst in einen 200 × 6000 km Übergangsorbit ein und weitet diesen erst später auf die Bahn von Phobos auf.

In diesem Falle spart man also trotz des zweifachen Umwegs über einen marsnahen Orbit rund 400 m/s. Wegen des hohen Δv bei der Rückkehr von Deimos bleibt MMX auch in einem elliptischen Orbit.

Zusatzgewinn durch den hyperbolischen Exzess

Der hyperbolische Exzess hat nicht nur den Vorteil, dass er das Verlassen eines Planeten und das Einschwenken in einen Orbit sehr erleichtert, weil ein Großteil der solaren Differenzgeschwindigkeit wegfällt. Man kann ihn auch nutzen, um zu beschleunigen. Seit Langem spukt in meinem Kopf das Konzept einer Sonde, die wie Voyager die Heliosphäre durchquert – nur als Primärmission, während dies bei Voyager ein „Goodie“ war. Voyager 1, die schneller unterwegs ist, ist derzeit 25,7 Milliarden km von der Sonne entfernt und 49 Jahr unterwegs. Ziel wäre es, eine größere Distanz in 50 Jahren zu erreichen.

Am wirksamsten ist es, nahe eines Gravitationszentrums zu beschleunigen. Ich will dies an einer Sonde verdeutlichen, die einen Antrieb hat, der die Sonde um 2 km/s beschleunigt. Entsendet man die Sonde zu Jupiter (Startgeschwindigkeit 14,3 km/s relativ zur Erde) und zündet den Antrieb in 10 000 km Distanz, so erreicht die Sonde nach 50 Jahren 37,3 Milliarden km; ohne Antrieb wären es nur 18,6 Milliarden km. Siehe Grafik.

Warum? Die Geschwindigkeit beim Vorbeiflug in dieser Distanz beträgt 56,9 km/s. Addiert man 2 km/s dazu, erhält man folgende Energie:

E = (56,9 + 2)² = 3469,2 GJ/kg

Zieht man davon die Ausgangsenergie von (56,9 km/s)² ab, so bleiben 231,6 GJ/kg übrig, die man durch Wurzelziehen wieder in eine Geschwindigkeit übersetzen kann:

v = Wurzel(231,6×10⁹) = 15,2 km/s.

Aus 2 km/s mehr habe ich also 15,2 km/s Geschwindigkeitsgewinn gemacht, und 15,2 km/s × 50 Jahre ergeben eine Distanz von ungefähr 24 Milliarden km. Real ist die Distanz etwas kleiner, weil auch der neue Winkel zur Sonne eine Rolle spielt.

Noch besser wäre es, wenn man die Sonne nutzt. Man kann ihr nicht so nahe kommen wie Jupiter, aber sie ist tausendmal massereicher. Unglücklicherweise braucht man, um von der Erdbahn aus das Perihel so weit abzusenken, viel Energie – etwas über 20 km/s. Das läuft auf 23,5 km/s relativ zur Erdoberfläche raus (Fluchtgeschwindigkeit: 11 km/s). Da nützt auch der hyperbolische Exzess nichts. Technisch möglich ist es, eine Sonde zu Jupiter zu schicken. Jupiter bremst die Sonde ab, anstatt sie zu beschleunigen, und über der Sonnenoberfläche zündet man dann den Antrieb.

Die Parker Solar Probe erreicht eine minimale Distanz von 6,6 Millionen km zum Zentrum der Sonne. Wäre die Sonde vorher auf einer 800 × 6,6 Millionen km Bahn (das hohe Aphel kommt durch Jupiter zustande) und würde sie in dieser Distanz um 2 km/s beschleunigen, so wäre sie rund 1 km/s schneller als die solare Fluchtgeschwindigkeit. Im Unendlichen blieben 27,6 km/s übrig. In 50 Jahren könnte die Sonde 34,1 Milliarden km erreichen; allerdings müsste man hier noch die Dauer abrechnen, um von Jupiter zur Sonne zu gelangen – rund 2 ½ Jahre –, was die Distanz dann wieder auf 32,5 Milliarden km erniedrigt. In der Summe ist der Gewinn also etwas geringer als über Jupiter. Damit sich die Sonne lohnt, muss man stärker beschleunigen, also einen größeren Antrieb mitführen.