Die Lösung für ein überflüssiges Problem: Wie hoch ist die Mindesthöhe, in der man ein Sonnensegel entfalten kann?

Eine Frage, die sich mir beim Schreiben meines vorletzten Blogs stellte, wie hoch die Mindesthöhe wohl sein muss, in der man ein Sonnensegel entfalten kann. Auch in großer Höhe ist die Atmosphäre der Erde noch vorhanden, nur eben erheblich dünner. Satelliten sinken ab und verglühen irgendwann. Sehr deutlich wurde das bei den beiden Ballonsatelliten Echo 1 und Echo 2. Sie wurden in den Sechziger Jahren als experimentelle, passive Kommunikationssatelliten gestartet.

Echo 1 wurde am 12.8.1960 in einen 1.517 x 1.683 km hohen Orbit gestartet. Er verglühte schon am 24.5.1968 wieder – nach weniger als 8 Jahren, das würde man normalerweise von einem Körper erwarten, der erdnäher ist.

Echo 2 folgte am 25.1.1964 in einen 1008 x 1338 km hohen Orbit. Schon am 7.6.1969 nach nur fünfeinhalb Jahren verglühte auch er. Das gilt auch für alle anderen Ballonsatelliten, von denen Echo 1+2 nur die größten waren. Die höchste Umlaufbahn hatte Dash-2, ein nur 2,5 m großer Ballon mit einer Masse von nur 1 kg. Er wurde speziell gestartet, um die Dichte der oberen Atmosphäre über die Abbremsung zu messen. Gestartet am 19.7.1963 verglühte er schon am 12.4.1971, obwohl er eine Höhe von 3500 km hatte. Dagegen befinden sich die meisten „normalen“ Satelliten, die jemals in eine Umlaufbahn oberhalb von etwa 800 km gestartet wurden, noch im Orbit.

Sonnensegel haben nun ein sehr ungünstiges Masse/Oberfläche Verhältnis und sollten daher stark abgebremst werden. Das führt mich zu meinem heutigen Thema: Sonnnensegel werden ja durch die Sonne „angetrieben“ und beschleunigt. Die Beschleunigung ist klein, daher ist auch die geringe Abbremsung durch die Atmosphäre wichtig. Es gibt daher eine Mindesthöhe, in der man das Segel entfalten kann, darunter ist die Abbremsung höher als die Beschleunigung.

Die Atmosphäre

Die Atmosphäre der Erde besteht in dieser Höhe vor allem aus einzelnen Atomen. Sie ist primär charakterisiert durch ihre Temperatur. Je höher diese ist desto höher die kinetische Energie eines Atoms und desto weiter kann es sich von der Erdoberfläche entfernen und desto dichter ist die Thermosphäre in der Höhe.

Die Dichte ist nicht konstant, sondern hängt von der Sonnenaktivität ab. Die Sonne stößt dann mehr Teilchen aus (Protonen, Elektronen, Heliumkerne) und diese werden in den Strahlungsgürtel gefangen, stoßen aber auch mit den Teilchen der oberen Atmosphäre zusammen und übertragen dabei Energie. Die Energie eines Protons der Sonne ist immens: Es hat bei ruhiger Sonne eine Geschwindigkeit von 300 km/s und bei aktiver Sonne können es 600 bis 1200 km/s sein. Um die Erde zu verlassen, würden schon 11 km/s reichen. Selbst unter der Berücksichtigung, dass ein Sauerstoff- oder Stickstoffatom schwerer ist, reicht ein Zusammenstoß aus, das Atom auf Fluchtgeschwindigkeit zu beschleunigen und das Proton hat dann immer noch genügend Überschussenergie, um sie an andere Atome zu übertragen. Bei aktiver Sonne dehnt sich daher die Atmosphäre aus, ihre Abbremswirkung erreicht größere Höhen. So verlieren alle Planeten auch Masse. Beim Mars mit geringerer Fluchtgeschwindigkeit reichte das aus, um über eine Milliarde Jahre die gesamte Atmosphäre bis auf kleine Reste zu verlieren.

Ich habe ein einfaches Modell gefunden, das ich als Basis nehmen möchte. Natürlich hat ein einfaches Modell eine geringere Aussagekraft, aber zum anderen ist es nicht so leicht, an ein komplexes Modell zu kommen. Die NASA bietet zwar eines an (https://software.nasa.gov/software/MFS-32780-2), das nach Webseite „General Public Release“ ist, aber wenn man sich dort registriert bekommt, man dann doch den Hinweis, das die Software nur US-Bürger herunterladen dürfen. Zum Zweiten übersteigen die mathematischen Hintergründe eines komplexen Modells natürlich auch den Umfang und die Zielgruppe dieses Blogs. Ich verwende das Modell, das hier vom Australischen Space Weather Services beschrieben wird. Die wesentlichen Parameter zur Berechnung der Dichte sind:

Temperatur: T = 900 + 2.5 ( F10.7 – 70 ) + 1.5 Ap [Kelvin]

Effektive molekulare Masse m = 27 – 0.012 ( h – 200 )

Skalenhöhe H = T / m [km]

Dichte ρ = 6×10 ^-10 exp ( – ( h – 175 ) / H ) [kg m-³]

Dieses Modell gilt leider nur für eine Höhe von etwa 180 bis 500 km. Ich fürchte das wird nicht ausreichen. Die Prognose ist daher mit noch mehr Vorsicht zu genießen, als es aufgrund des einfachen sowieso schon Modells ist.

Bei gegebener Dichte der Atmosphäre kann man die Kraft die auf einen Körper berechnen nach:

F = ½ ρv² A Cd

v ist die Geschwindigkeit des Körpers, bei kreisförmigen Bahnen relativ einfach zu berechnen als Kreisbahngeschwindigkeit. A die bremsende Oberfläche und Cd der Auftriebskoeffizient. Ich vermute es ist das Gleiche wie der Strömungswiderstandsbeiwert, denn der typische Wert von 2, der im Dokument genannt wird entspricht dem cw-Wert einer Rechteckplatte und meistens sind Satellitengrundkörper Quader oder Rechtecke und die Solarpaneele, die noch größer sind, sind auch Rechtecke.

Immerhin kann man durch Variation des Cd den Widerstand verkleinern. Die frühen Keyhole Satelliten hatten eine abgerundete Spitze und sahen aus wie eine überdimensionale Patrone. Der Cd-Wert wird daher eher bei einer Patrone eher bei 0,3 anstatt 2.0 liegen, das bedeutet, die Abbremsung ist deutlich geringer. Man sieht dies auch am Satelliten GOCE. Er wurde in nur 250 km Höhe ausgesetzt, um sehr präzise Gravitationskartierungen durchführen zu können. Die Abbremsung wurde durch Ionentriebwerke ausglichen. Trotzdem achtete man auf eine möglichst strömungsgünstige Form.

Die Berechnung

Man kann die vier Formeln relativ einfach in ein Programm umsetzen und dann F berechnen. Man muss nun nur noch dies mit der Kraft der Sonne vergleichen. Diese liefert 9 N/km² an Kraft. Da die Reflexion aber nicht vollständig ist und ein Satellit auf einer erdnahen Bahn zu etwa 40% der Zeit im Schatten ist, sollte man nur mit 5 N/km² rechnen. Immerhin muss das Sonnensegel rotieren, um der Sonne in der Umlaufbahn zu folgen. Daher variiert auch Cd von 2.0 (senkrecht zur Bewegungsrichtung) bis 0,35 für einen Draht oder die Kante. Nimmt man den Mittelwert 1,18 so denke ich, ist man bei einem plausiblen Wert für Cd

Die mathematische Modellierung ist sehr einfach. Man berechnet ausgehend von einer Starthöhe die Kraft F und vergleicht sie mit der Schubkraft durch die Sonne. Dann erhöht man die Starthöhe, solange bis F kleiner als die Schubkraft ist.

Als Basis habe ich mal angenommen:

• 50 % Nutzlastmasse
• Sonnensegelmasse: Sie hängt von der Flächendichte des Segelns und der Streben ab. Leichtgewichtige Streben gibt es mit 70 g/m Länge. Man braucht mindestens die zweifache Länge der Diagonale, wenn das Segel quadratisch ist.
• Das Flächengewicht hängt vom Material und der Dicke ab. Genannt werden hier heute realisierbare Werte von 8 bis 12 g/m².

Bei 1.000 kg Nutzlast und 2.000 kg Startmasse kommt man bei 10 g/m² für das Segel auf ein Segeln von 306 x 306 m (937 kg) und zwei Streben von jeweils 435 m Länge (61 kg). Das ist eine Fläche von 93.636 m².

Wie im Dokument erläutert ist die Sonnenaktivität der Haupteinflussparameter. Diese werden in zwei Parametern, dem solaren Fluss und der magnetischen Aktivität in das Modell eingespeist. Bei minimalen Werten (SFU70 / AP 7) ergibt sich eine Mindesthöhe von 498,2 km. Bei maximaler Sonnenaktivität (SFU 300, AP 30) dagegen schon 815,8 km – weit außerhalb der Gültigkeit des Modells. Derzeit liegt die solare Aktivität SFU nach SpaceWeather.com bei 76, also nahe des Minimums. Die hohen Extremwerte gibt es nur kurzzeitig, oft nur einige Stunden lang, doch sie haben einen Feedback-Effekt – die Bahn wird etwas abgesenkt und in der tieferen Bahn reicht dann auch ein etwas geringerer SFU aus, um die gleiche Bremswirkung auszulösen. Der Spitzenwert wird zwar nur kurz erreicht doch nahe des Maximums ist auch der Ruhewert sehr hoch.

Resümee

Als Zusammenfassung: bei den obigen Modelldaten sollte man bei ruhiger Sonne das Segel am besten jenseits 530,9 km Höhe entfalten (man will ja noch beschleunigen und nicht nur die Höhe halten) und bei aktiver Sonne besser in 911,7 km Höhe. In dieser Höhe beträgt die Abbremsung 50% des Schubs, das heißt immerhin die Hälfte des Schubs steht zur Verfügung, um Höhe zu gewinnen.

In 900 km Höhe ist aber die Nutzlast schon um etwa ein Drittel geringer als in einer 200-km-Bahn, was den Sonnensegeln doch etwas die Attraktivität nimmt.

Andere Überlegungen

Man kann dies natürlich auch auf Ionenantriebe übertragen. Bei gleicher Masse würde ich bei einem Ionenantrieb 400 kg für Solarzellen ansetzen, die dann eine Leistung von 34 kW bei konventioneller Bauweise (28 % Wirkungsgrad, 85 W/kg) haben bei rund 90 m² Fläche. Bei 35 km/s Strahlgeschwindigkeit beträgt der Schub im Mittel dann 1 N.

Man erhält bei 94 m² Gesamtfläche (Plus 4 m² für den Zentralkörper) eine Starthöhe von 198,7 km bei ruhiger Sonne und 214,2 km bei aktiver Sonne. Kurzum: Das ist unkritisch. So ist auch verständlich das GOCE seine 250 km hohe Bahn über 4 ½ Jahre lang halten konnte – typisch wäre eine Aufenthaltsdauer von wenigen Wochen gewesen. Dafür verbrauchte er 40 kg Xenon Treibstoff. Das ist bei dem spezifischen Impuls des Qinetiq T5 Antriebs von 3500 s ein Gesamtimpuls von 1.373.000 N, bei 1050 kg Startmasse von GOCE also einer Geschwindigkeitsänderung um 1300 m/s in diesen vier Jahren. Mit chemischen Treibstoff wäre der Satellit so um mindestens 60% schwerer gewesen.

Immerhin, 40 kg Zusatzmasse für vier Jahre Lebensdauer – das ist ein tolerierbarer Gewichtsfaktor. Vielleicht werden, wenn man immer besser aufgelöste Erdaufnahmen haben will, die neueste Generation Worldview 3 von Digiglobe erreicht ja schon 0,3 m, wofür man dann ein fast 1 m großes Teleskop braucht, die nächsten zivilen Beobachtungssatelliten sich stärker der Erde nähern und dafür mit Ionenantrieb ihre Abbremsung kompensieren. Bei GOCE klappte das ganz gut, man kann anhand der Kurve des Schubs sogar die Solaraktivität bestimmen, siehe Grafik.