Niedrigschubberechnung

Diagramm 1Weiter geht es in meinem Tutorium zu „Rakete“. Heute will ich einen weiteren Punkt bei dem Menü „Nutzlastberechnung“ erklären und zwar die Niedrigschubberechnung.

Die grundlegende Problematik, wenn ein Satellit im Gravitationsfeld sein Triebwerk zündet, ist das während dieses arbeitet sich die Bahn dauernd ändert. In jeder Bahnhöhe wird eine Beschleunigung eine Anhebung eines (aber meist beider) Bahnpunkte bewirken und da sich der Satellit nun auf dem Weg, zum neuen höheren Apogäum befindet, steigt die Entfernung. Dadurch verändert sich die Bahn.

Von einer Niedrigschubbahn spricht man, wenn die Betriebszeit des Triebwerks bei der Umlaufdauer oder höher liegt, bei der Erde also mindestens 5000 s, ich würde weiter gehen, selbst schubschwache Oberstufen, wie die EPS, haben schon deutliche Gravitationsverluste. Mit diesem Dialog kann man sie berechnen.

Er basiert im Prinzip auf meiner Simulation von Ionentriebwerken, aber ist einfacher, da viele Triebwerksparameter eines Ionenantriebs für ein chemisches Triebwerk nicht benötigt werden.

Ich will die Eingabemaske an dem Algorithmus erläutern.

Grundlage ist eine Simulation der Bewegung nach den Newtonschen Gesetzen im Gravitationsfeld. Ein Satellit hat eine Anfangsposition (Startentfernung) die zwischen dem Peripunkt und Apopunkt der Ausgangsbahn liegt. Dazu wird die Startgeschwindigkeit nach der Vis-Viva-Gleichung ermittelt. Es resultiert ein Positionsvektor und ein Geschwindigkeitsvektor. Es wird die aktuelle Beschleunigung zum Gravitationszentrum ermittelt und über die Zeit (Schrittweite) zur Geschwindigkeit und der Distanz integriert. Würde der Satellit sein Triebwerk nicht zünden so erhält man eine unveränderliche Bahn und bei Erreichen der Simulationsdauer stoppt die Simulation.

Bei jedem Berechnungsdurchgang werden zwei Dinge geprüft:

  • Soll das Triebwerk arbeiten?

  • Ist die Endbahn erreicht?

Diagramm 2Fangen wir mit dem Ersten an. Es gibt vier Modi, wann das Triebwerk arbeiten soll.

  • Nur im Perigäum, z. B. beim Abbremsen aus einer elliptischen Transferbahn bei einem anderen Planeten in die Kreisbahn oder Erweitern einer Kreisbahn zu einer Ellipsenbahn (LEO in GTO) oder bei Zirkularisierung einer supersynchronen Bahn.

  • Nur im Apogäum, z. B. Wenn eine GTO-Bahn zur GEO-Bahn zirkularisiert wird.

  • In beiden Punkten, z. B. Wenn eine niedrige Kreisbahn in eine andere, höhere umgewandelt wird.

  • Das kann parallel erfolgen (bei jedem Umlauf erfolgt ein Perigäums- und Apogäumsmanöver) oder hintereinander erfolgen, was himmelsmechanisch günstiger ist, dafür aber länger dauert.

In allen Modi wird nach jedem Durchgang die aktuelle Bahn bestimmt und dann geschaut, ob sich der Satellit n km vom Extrempunkt (Perigäum / Apogäum) entfernt befindet. Unterschreitet diese Distanz die Vorgabe

(Abstand zum Peri, bzw. Abstand zum Apo) so wird das Triebwerk gezündet. Dabei zählt als Peri/Apo nicht die Startvorgabe oder die Endbahn, sondern die aktuelle Bahn, da sonst die Gefahr besteht, dass der Abstand dauerhaft überschritten wird und es keine Zündung mehr gibt.

Die Simulation endet, wenn das Perigäum das Zielperigäum überschreitet (beschleunigen) oder unterschreitet, der Treibstoff verbraucht ist oder die Simulationsdauer erreicht ist.

Für Raumsonden gibt es noch einen zweiten Modus. Er unterscheidet sich in einem kleinen Detail von dem ersten Modus. Zum einen ist bei Raumsonden nicht erwünscht, dass man im Apogäum arbeitet, sondern nur im Perigäum also einer Gravitationssenke. Eine entsprechende Moduswahl wird also auf das Perigäum zurückgestellt. Das zweite ist, dass irgendwann die Sonde die Fluchtgeschwindigkeit erreicht. Dann werden alle Einschränkungen hinsichtlich Triebwerksabschaltung nicht mehr geprüft, weil die Sonde das Gravitationsfeld verlässt. Dann bricht die Simulation ab, wenn das angegebene C3 erreicht wird (das Feld für Apogäum hat dann die Bedeutung einer C3 (km²/s²) oder sie sich 1 Million km vom Planeten entfernt hat. Der Modus n Umläufe soll die Zahl der Umläufe auf maximal N begrenzen und variiert dazu die Abstände, in denen das Triebwerk betrieben wird. Er ist noch experimentell.

Ich will mal drei Fälle durchspielen:

Diagramm 3Eine Stufe mit extrem niedrigem Schub

Die Proton M kann etwa 23 t in eine niedrige Erdumlaufbahn transportieren. Dies soll eine Breeze-M (18 t, 2,37 t leer) und ein Satellit 5 t sein. Er soll in eine GTO-Bahn befördert werden. Macht man keine Einschränkungen in der Distanz (Abstand=35000 km) so sehen die Eingaben dann so aus:

Es resultiert eine Bahn mit einem Perigäum über 1000 km und einem Zusatzaufwand von 234 m/s. Der Satellitenbetreiber hat etwas von dem höheren Perigäum. Es spart ihm 83,5 m/s ein. Doch es sinkt eben die Nutzlast auf maximal 9.894 kg (Stufe und Satellit, also 7.524 kg nur Satellit) ab. Die Nutzlast weicht von der von ILS publizierten ab, weil diese zum einen ein anderes Regime fahren und zum anderen die Inklination absenken, was hier nicht berücksichtigt wird. Setzt man nun den Abstand zum Perigäum auf nur noch 300 km so verändert sich etwas:

Es gibt nun zwei weitere Umläufe, doch das Perigäum sinkt auf 354 km ab und die Nutzlast steigt auf 10.494 kg also glatte 600 kg mehr!

GTO in GEO Transfer

Die Breeze M ist schon relativ schubkräftig und mit einer Brennzeit von etwa 2500 s eigentlich kein Neidrigschubaggregat. Satelliten haben dagegen nur einen 400 N Antrieb. Welchen Abstand muss man vom Apogäum halten, wenn man maximal 3 Umläufe für die Zirkularisierung einer GTO Bahn zur GEO Bahn haben will und wie hoch ist der Unterschied zu einem Umlauf?

Das ist ein Fall für den Modus „N Umläufe“ und für einen 6 t Satelliten sieht dann so aus: Das aktuelle Gewicht beträgt im GEO 3.715 kg, der Verlust ist mit 13 m/s gering. Bei einem Umlauf (0 Zwischenumläufe) ist es praktisch nicht möglich, eine kreisförmige Bahn zu erreichen. Ein Ergebnis zeigt die Abbildung. Allerdings sind mehrere Manöver heute der Standard.

Das ist der Grund warum selbst große Satelliten mit einem 400 N Antrieb auskommen, auch weil sich nahe des Apogäums über längere Zeit der Abstand kaum ändert, hier schlägt eines der Keplerschen Gesetze zu: Die Zeitdauer einen Bahnbogen zu durchlaufen ist proportional zu der 3/2 Potenz des Abstands (Quadratwurzel aus der dritten Potenz), also nicht linear. Doch wie sähe es aus, wenn man auf die Idee käme, einen 6 t Satelliten vom LEO in den GTO zu Busgieren? Nehmen wir einen Abstand von 1000 km zum Perigäum und Apogäum an, so bekommt man folgendes Ergebnis:

Man benötigt signifikant mehr Treibstoff, 366 m/s mehr. Das liegt daran, dass diese Verluste um so höher sind, je näher man am Planetenzentrum ist. Es gibt aber eine Obergrenze: Mehr als der Unterschied der beiden Kreisbahnen (200 und 35.500 km) muss ein Satellit nicht im Gravitationsfeld aufbringen.

Diagramm 4Einschwenken in Umlaufbahnen

Interessant sind natürlich vor allem im Hinblick auf Miniraumsonden Niedrigschubbahnen bei C3-Missionen. Diese werden wahrscheinlich als Sekundärnutzlast in „normale“ Erdumlaufbahnen gestartet und müssen dann mit einem integrierten Antrieb die Bahn anheben. Das geht im Prinzip mit einem kleinen Feststoffantrieb, doch günstiger wäre wahrscheinlich ein kombiniertes Antriebs-Lageregelungssystem, dass man auch später für Drehungen und Kurskorrekturen nutzen kann. Es gab bisher nur einen Einsatz eines kleinen Antriebs bei einer Raumsonde, das war bei LISA-Pathfinder. LISA Pathfinder startete mit einer Vega in einen 215 x 1475 Orbit. Sie sollte in einen Lissajous-Orbit um L1 gelangen, das entspricht c3=0. Lisa Pathfinder wiegt 1.900 kg beim Start, davon sind 1.420 kg Antriebsmodul. Ich nehme mal an, es wäre nur Treibstoff. Es bleibt sowieso eine Restmasse die soll dann die Trockenmasse mit LISA sein. Mit 1.000 km Abstand zum Perigäum und 3 Zwischenbahnen ist der Zusatzaufwand 226 m/s. Das Perigäum rutscht auf fast 900 km. Bei 500 km Abstand sind es nur noch 151 m/s, aber acht Zwischenbahnen, wobei die Umlaufdauer immer länger wird. Man muss also abwägen ob man mehr Zeit oder lieber mehr Treibstoff verbraucht.

Anstatt zu probieren, kann man auch systematisch dies durchspielen. Dazu dient der Dialog Tabelle. Im linken Dialog wählt man einen Parameter, den man verändert, z.B. die Anzahl der Triebwerke (lohnen sich zwei 400 N Triebwerke?). Am interessantesten dürfte die Variation der Differenz der Betriebsdistanz zu Apo und Peri sein. Man erlebt hier durchaus Überraschungen. Beim obigen Beispiel ist es durchaus nicht so, das eine systematische Tendenz zu sehen ist. Sowohl mit 20 wie 200 km Abstand erhält man z.B. höhere Apogäum. Unten gibt man den Bereich, an in dem der Parameter verändert wird. Man erhält dann eine Tabelle mit allen wesentlichen Werten.

Man kann den Dialog nicht nur für die Erde verwenden, sondern wenn man auf die Schaltfläche „Körper“ klickt, auch einen Planeten, Mond oder einen eigenen Körper (Masse und Radius müssen bekannt sein) verwenden. Die Einstellung gilt programmweit bei den Dialogen, die dies unterstützen. So kann man beim Mars die Verluste ermitteln, wenn man aus einer anfänglichen Bahn in eine Kreisbahn um Phobos erreicht. Man kann sogar die Gravitationsverluste beim Einbremsen errechnen. Beim ExoMars Trace Gas Orbiter waren die relativ groß.

Diagramm 6Diagramm 5Da die Simulation bei Erreichen des C3 abbricht, muss man die Zeitachse umkehren: man gibt die Zielbahn als Ausgangspunkt an und das C3, mit dem man sich nähert als Zielbedingung. Dann muss man noch drauf achten, das es nur ein Umlauf ist, das kann man mit hohen Werten für Perigäumsabstand und Einschränkung der Simulationsdauer auf wenige Stunden erreichen.

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