Die technisch optimale Rakete

Mich reizen ja immer die optimalen technischen Lösungen. Bevor ich ins Detail gehe, gleich eine Bemerkung um einigen Lesern ihre Kommentare zu ersparen. Die technisch optimale Lösung ist nicht die kommerziell optimale. Das gilt auch in anderen Bereichen. So ist ein Rennwagenmotor sicher einem Diesel in einem PKW in vielen Leistungsdaten überlegen, aber eben auch viel teurer. Darum geht es heute nicht. Ich weiß, dass die skizziere Lösung teurer wird als eine weniger effiziente. Es geht nur darum, die beste Lösung zu finden.

Das leitet zum nächsten Punkt über – was ist die technisch optimale Rakete? Nun man kann sicher viele Aspekte ansehen, ich reduziere es auf einen, den Nutzlastanteil, also den Prozentsatz den die Nutzlast bei der Startmasse ausmacht. Da dieser mit zunehmender Stufenzahl ansteigt, das ergibt sich einfach aus der Raketengrundgleichung habe ich mich um die Zahl der Varianten nicht zu stark ansteigen zu lassen, mich auf zwei Stufen beschränkt, die bei den verwendeten Triebwerken auch für hohe Geschwindigkeiten ausreichen sollten.

Triebwerke

Ich habe das Thema schon mal untersucht, damals aber alles hinzugenommen, was technisch möglich, wenngleich auch noch nicht in die Praxis umgesetzt ist. Diesmal beschränke ich mich auf das was existiert. Dann führt an der Kombination LOX/LH2 kein Weg vorbei. Sie hat Nachteile wie hohe Tankmassen, hohe Kosten für Triebwerke und höhere Gravitationsverluste durch die längere Brennzeit. In der Summe schlägt sie aber alle anderen Kombinationen, und zwar um so mehr, je höher die geforderte Geschwindigkeit ist.

Das Triebwerk mit dem höchsten spezifischen Impuls auf Meereshöhe (für die Erststufe) ist das RS-25, das Haupttriebwerk des Space Shuttle und der SLS. Für die Oberstufe habe ich zuerst das Vinci gewählt, wobei mich stutzig macht das im aktuellen Datenblatt der spezifische Impuls von 4.560 auf 4.485 m/s abgesunken ist. Dafür hat es nun einen zweiten Arbeitspunkt mit 130 kN Schub bekommen. Man könnte nun als Ersatz für das Vinci, das RL-10B2 nehmen das dann im spezifischen Impuls etwas höher liegt aber schubschwächer ist, das lasse ich erst mal offen.

Strukturen

Bei gleicher Technologie kann man für den Aufbau der Rakete ab einer bestimmten Größe mit einem einfachen Faktor, dem Voll-/Leermasseverhältnis arbeiten. Der Grund ist einfach: Tanks müssen einem bestimmten Druck widerstehen. Nach der Kesselformel ist die Wanddicke bei gleicher Geometrie aber linear abhängig von dem Durchmesser und damit wiegt ein Tank immer einen konstanten Prozentsatz des Inhalts. Ebenso ist es bei Triebwerken, die ab einer bestimmten Größe linear zum Schub an Gewicht zulegen. Dasselbe gilt für andere Teile der Rakete wie Druckbeaufschlagung und Schubrahmen. Nur bei der Oberstufe kann man die Masse der Avionik als relativ konstant ansehen unabhängig von der größe der Oberstufe.

Bei einem großen LOX/LH2 Tank ist Stand der Technik immer noch der Space Shuttle ET. Die letzte Einsatzversion dieses Tanks wog leer 26.260 kg bei 722 t Zuladung. Damit die Rakete aber abheben kann benötigt man noch die Space Shuttle Haupttriebwerke und den Schubrahmen die im Orbiter stecken, dazu kommen noch einige leichtere Subsysteme wie die Hydraulik und die Druckbeaufschlagung und ein Stufenadapter.

Der Shuttle ET ist nicht optimal für eine Erststufe konstruiert. Er ist, weil an ihm die Feststoffraketen angebracht sind, zweigeteilt, das erlaubt es die Raketen in der strukturell verstärkten Zwischentanksektion anzubringen. Auf der anderen Seite fehlt bei ihm der Stufenadapter der in etwa genauso lang, wie die Zwischentanksektion ist. Ich nehme an, dies soll sich im Gewicht ausgleichen. Für den LH2 Tank der knapp die Hälfte des Gewichts ausmacht, gibt es aber inzwischen eine um 25 % leichtere Alternative. Das reduziert die Masse auf 23.248 kg.

Ein Tank alleine kann nicht abheben. Er benötigt dazu noch Triebwerke. Jedes RS-25 hat rund 182 t Bodenschub bei maximalem Schubniveau. Um den Tank zu heben, benötigt man mindestens vier Triebwerke. Soll die Beschleunigung deutlich über 1 g sein und noch eine Oberstufe mitbefördern so steigt die Zahl auf sechs Triebwerke. Jedes RS-25 wiegt 3.150 kg. Addiert man noch das Schubgerüst dazu, so ist man bei 4.300 kg. Mit sechs Triebwerken wiegt eine hypothetische Stufe auf Basis des ET so leer 49.65 t bei 771 t Startgewicht, das ergibt einen Strukturfaktor von 15,7.

Bei der Oberstufe habe ich keine so komplexe Rechnung angestellt. Die LH2/LOX Oberstufe mit dem günstigsten Strukturfaktor ist nach wie vor die uralte Centaur, basierend auf innendruckstabilisierten Edelstahltanks. Auch für die Vulcan war eine Oberstufe ACES auf Basis dieser Technologie geplant. Da diese vom Strukturfaktor noch etwas besser liegt, die Avionik ist schließlich immer gleich schwer und anders als bei der Centaur, die im Laufe des Einsatzes um 50 % länger wurde, kann man die Geometrie gleich von Anfang an ideal auslegen. Die ACES kam auf 67.6 t Startmasse und 5,9 t Leermasse, das ist ein Strukturfaktor von 11,45 den auch große LOX/LH1 Stufen wie die S-IVB erreichen. Auch ist die ACES relativ schubstark (420 bis 670 kN Schub). Das ist bei meiner nur zweistufigen Trägerrakete wichtig. Damit habe ich die Strukturfaktoren, die später für die Simulation als konstant angesehen werden.

Auslegung

Jede Rakete muss an einen Einsatzzweck ausgelegt sein. Eine Rakete die vor allem LEO Orbits ansteuert hat eine andere Auslegung, als eine die Mondtransferbahnen anstrebt. Das Masseverhältnis der Stufen ändert sich dann. Ich habe mich für die Auslegung auf die GTO-Bahn entscheiden, als Kompromiss und bei schwereren Nutzlasten auch häufigster angesteuerten Bahn. Weiterhin muss man sich für eine Größe, also Startmasse entscheiden. Da die RS-25 als Triebwerke feststehen, richtet sich dies einfach nach Anzahl der RS-25 in der ersten Stufe. Bei einem Bodenschub von 1.860 kN fiel die Wahl auf zwei Triebwerke. Zwei Triebwerke haben 3.720 kN Schub und lassen bei einer Startbeschleunigung von 12 m/s eine 316 t schwere Rakete zu. Die Nutzlast einer solchen Rakete schätzte ich auf Basis meiner Erfahrung auf 9 t ein, daraus kann man eine grobe Abschätzung der Aufteilung der Stufen machen. Es gilt bei ungefähr gleichen spezifischen Impulsen der Stufen, das die Verhältnisse Zündungsmasse zu Brennschlussmasse in etwa gleich sein müssen. Bei einem Verhältnis von 34,4 zu 1 von Startmasse zu Nutzlastmasse habe ich daher die erste Stufe zu 265 t und die zweite zu 43 t angenommen. Die zweite Stufe erhält dann zwei Vinci Triebwerke.

Erste Simulation

Hier die Daten der Rakete beim ersten Durchgang, aufgrund von Erfahrungswissen. Die Nutzlast liegt bei 9,6 t, die Startmasse bei 320 t. Das sind 3 % der Startmasse. Im LEO sind es 21,1 t oder 6,4 %. Die Aufstiegsverluste sind allerdings sehr hoch mit 2465 bzw. 2555 m/s.

Rakete: Optimale Rakete 43 t Stufe GTO

Startmasse
[kg]
Nutzlast
[kg]
Geschwindigkeit
[m/s]
Verluste
[m/s]
Nutzlastanteil
[Prozent]
Sattelpunkt
[km]
Perigäum
[km]
Apogäum
[km]
320.100 9.600 10.278 2.492 3,00 130,00 200,00 35800,00
Startschub
[kN]
Geographische Breite
[Grad]
Azimut
[Grad]
Verkleidung
[kg]
Abwurfzeitpunkt
[s]
Startwinkel
[Grad]
Konstant für
[s]
Starthöhe
[m]
Startgeschwindigkeit
[m/s]
3.720 5 90 2.500 200 90 10 120 0
Stufe Anzahl Vollmasse
[kg]
Leermasse
[kg]
Spez. Impuls (Vakuum)
[m/s]
Schub (Meereshöhe)
[kN]
Schub Vakuum
[kN]
Brenndauer
[s]
Zündung
[s]
1 1 265.000 16.000 4.436 3720,0 4558,0 242,34 0,00
2 1 43.000 4.000 4.485 360,0 360,0 485,88 244,00

Die Aufstiegsverluste entstehen durch die langen Brennzeiten der Stufen bedingt durch den hohen spezifischen Impuls. Erhöht man die Zahl der RS-25 in der Erststufe von zwei auf drei, so bringt das aber lediglich 200 kg mehr. Dafür steigt die Spitzenbeschleunigung auf ein nicht akzeptables Maß. Das ist, da ja auch 4,2 t Gewicht addiert werden aber keine Verbesserung des Nutzlastanteils auf 2,98 Prozent. Besser sieht es bei LEO-Bahnen aus, denn dort steigt die Nutzlast von 21,1 auf 22,3 t, der Nutzlastanteil auf 6,64 Prozent also 0,24 Prozent mehr.

Bei der Oberstufe habe ich bisher das Vinci eingesetzt. Das erfolgte aus der Überbelegung heraus, das ich bisher annahm, das Vinci wäre der Rekordhalter im spezifischen Impuls. Das RL10B2 war nominell 30 m/s geringer eingestuft. Ich denke auch, das Vinci kommt auf diesen Wert, hat es doch einen höheren Brennkammerdruck und eine längere Expansionsdüse. Aber testweise probierte ich es auch mal mit zwei RL10B, die haben nur 220 kN Schub, wiegen aber auch 290 kg pro Triebwerk weniger, die ich bei der Masse abzog. Mit zwei Triebwerken kommt man auf keine bessere Lösung. Mit drei Rl10B schon, dann kommt man auf 10,2 t Nutzlast und mit vier Triebwerken ebenfalls auf 10,2 t. Bei einem Durchmesser eines RL10B von 215 cm passen vier Triebwerke auch in den Stufenadapter – basierend auf Hochskalierung von der Ariane 5E müsste die Rakete einen Durchmesser von 6,21 m haben. Damit habe ich die erste Vorlage:

Rakete: Optimale Rakete 43 t Stufe RL10B2

Startmasse
[kg]
Nutzlast
[kg]
Geschwindigkeit
[m/s]
Verluste
[m/s]
Nutzlastanteil
[Prozent]
Sattelpunkt
[km]
Perigäum
[km]
Apogäum
[km]
320.700 10.200 10.278 2.353 3,18 130,00 200,00 35800,00
Startschub
[kN]
Geographische Breite
[Grad]
Azimut
[Grad]
Verkleidung
[kg]
Abwurfzeitpunkt
[s]
Startwinkel
[Grad]
Konstant für
[s]
Starthöhe
[m]
Startgeschwindigkeit
[m/s]
3.720 5 90 2.500 200 90 10 120 0
Stufe Anzahl Vollmasse
[kg]
Leermasse
[kg]
Spez. Impuls (Vakuum)
[m/s]
Schub (Meereshöhe)
[kN]
Schub Vakuum
[kN]
Brenndauer
[s]
Zündung
[s]
1 1 265.000 16.000 4.436 3720,0 4558,0 242,34 0,00
2 1 43.000 4.000 4.532 440,0 440,0 401,70 244,00

Optimieren

Diese Version hat Aufstiegsverluste von 2353 m/s. Etwas weniger als beim ersten Entwurf. Sind diese bekannt und verändern sie sich bei einer anderen Rakete nicht oder nur wenig, so kann man die optimalen Stufenmassen rechnerisch ermitteln lassen und dies tat ich, mit folgendem Ergebnis:

Vollmasse Leermasse spez. Impuls Geschwindigkeit Strukturfaktor
265.000,00 kg 16.002,4 kg 4.436,0 m/s 7.109,7 m/s 16,6
36.317,29 kg 3.378,4 kg 4.532,0 m/s 5.521,1 m/s 10,8
Gesamtstartmasse: 311.774,0 kg
Nutzlast: 10.456,7 kg = 3,5 Prozent der Startmasse

Wie man sieht, war die erste Stufe mit 43 t schon nahe des Optimums, in der Realität sollte sie jedoch nochmals 7,7 t leichter werden. Mit den Daten ging ich dann an die zweite Runde, erneut mit einer korrekten Aufstiegssimulation. Sie liefert nochmals 100 kg Nutzlast mehr, nicht 256 kg, wie bei der einfachen Berechnung bei der allerdings auch keine Nutzlastverkleidung und Aerodynamik berücksichtigt wird. Der Prozentanteil der Nutzlast steiger aber deutlich stärker an, weil die Rakete um knapp 3 % leichter wird. Erreicht werden so 3,25 % Nutzlast. Oder anders ausgedrückt: Die Rakete wiegt weniger als eine Falcon 9 Version 1.0 (334 t) und hat die dreifache Nutzlast dieser oder die gleiche Nutzlast einer Ariane 5 ECA bei nur 40 % derer Startmasse. Angesichts des enormen Preises für ein RS-25 dürfte es aber keine finanziell audioaktive Lösung sein.

Drei Stufen

Mit drei Stufen wird die Nutzlast nochmals etwas besser. Da nun aber die Variationsmöglichkeiten noch weiter steigen, haben ich nur die rechnerische Optimierung untersucht. Ich ging bei der dritten Stufe von einem Voll/Leermasseverhältnis von 9 aus, das Verhältnis für die zweite steigt dann auf 12, weil die Avionik nun in die dritte Stufe rutscht. Die zweite Stufe setzt vier RL-10B2 ein, die dritte RL10A, die etwas leichter sind bei niedrigerem spezifischen Impuls.

Vollmasse Leermasse spez. Impuls Geschwindigkeit Strukturfaktor
265.000,00 kg 16.002,4 kg 4.436,0 m/s 5.482,6 m/s 16,6
58.930,80 kg 4.910,9 kg 4.532,0 m/s 4.485,1 m/s 12,0
13.938,22 kg 1.548,7 kg 4.423,0 m/s 2.709,6 m/s 9,0
Gesamtstartmasse: 350.979,5 kg
Nutzlast: 13.110,5 kg = 3,9 Prozent der Startmasse

Doch in der Praxis ist diese Rakete in der Aufstiegssimulation weitaus schlechter, kommt auf nur 9,3 t. Das liegt an nun enorm hohen Aufstiegsverlusten von 3470 m/s, also 1.000 m/s mehr als vorher. Sieht es bei 500 m/s mehr Aufstiegsverlusten – entsprechend kleineren Stufen – besser aus?

Vollmasse Leermasse spez. Impuls Geschwindigkeit Strukturfaktor
265.000,00 kg 16.002,4 kg 4.436,0 m/s 5.652,0 m/s 16,6
56.421,39 kg 4.701,8 kg 4.532,0 m/s 4.644,0 m/s 12,0
13.060,51 kg 1.451,2 kg 4.423,0 m/s 2.881,2 m/s 9,0
Gesamtstartmasse: 345.674,2 kg
Nutzlast: 11.192,2 kg = 3,3 Prozent der Startmasse

Es sind nun zwar 900 kg Nutzlast mehr, aber die Rakete wiegt auch mehr, so bleibt der Anteil an der Nutzlast gleich.

De Fakto muss man eine dreistufige Rakete anders auslegen. Die erste Stufe braucht mehr Schub und die zweite Stufe, die ja aus der Oberstufe hervorging ebenfalls mehr Schub. Baut man in die erste Stufe drei RS-25 anstatt zwei ein, in die zweite vier Vinci, so kommt sie bei derselben Startmasse von 354.770 kg auf eine Nutzlast von 13.400 kg, mithin 3,77 % Nutzlastanteil. Das wäre also die bisher beste Version.

Als letzte Option bin ich zur zweistufigen Version zurückgegangen, nun aber mit zwei Vinci und diesmal mit dem geplanten spezifischen Impuls von 4560 m/s. Mit nur einem Vinci kommt man wegen der langen Brennzeit auf nur 9,3 t Nutzlast. Selbst wenn man noch 500 kg für das Triebwerk abzieht, ist das weniger als die erste Version noch dazu bei niedrigerem spezifischen Impuls. Mit zwei Vinci liegt die Nutzlast bei 10,3 t in etwa gleichauf mit dem bisherigen Optimum bei 314 t Masse oder 3,28 % Nutzlastanteil. Je nachdem ob man drei RL10B oder zwei Vinci einsetzt – die Nutzlast ist fast gleich hoch, die Triebwerkgewichte unterscheiden sich auch nur um wenige hundert Kilo. Praktischer im Einsatz dürften aber zwei 180 kN Triebwerke anstatt dreier mit 110 kN sein.

Höhere Geschwindigkeiten

Mit zwei hochenergetischen Stufen nimmt die Nutzlast langsamer ab, als bei anderen zweistufigen Raketen. Bei der dreistufigen Variante sogar noch weniger. Als Extrem habe ich mal die Plots für die dreistufige optimale Rakete und die Falcon Heavy (wohlgemerkt eine Falcon Heavy mit der Nutzlast der SpaceX Website) gegenübergestellt. Während die Falcon Heavy bei GTO Bahnen doppelt so viel Nutzlast hat, sind es bei Marstransferbahnen (hier beginnt die Grafik) nur noch 50 % mehr und bei etwa 13.800 m/s, das ist eine Geschwindigkeit zwischen einer Merkur- und Jupitertransferbahn, überholt die optimale Rakete die Falon Heavy. Die Grafik endet bei 16.500 m/s, das ist die bisher höchste erreichte Geschwindigkeit von New Horizons. Diese erreicht die Falcon 9 schon nicht mehr, die dreistufige optimale Rakete hat dagegen noch 1.300 kg Nutzlast – dreimal mehr als die Atlas V 551 + PAM D die damals genutzt wurde, bei geringerer Startmasse (von der viermal schweren Falcon Heavy mal ganz zu schweigen).

5 thoughts on “Die technisch optimale Rakete

  1. „die Wanddicke bei gleicher Geometrie aber linear abhängig von dem Durchmesser und damit wiegt ein Tank immer einen konstanten Prozentsatz des Inhalts“
    Das stimmt nur wenn „gleiche Geometrie“ „konstanter Durchmesser“ bedeuten würde. Bei festen Durchmesser-Höhe Verhältnis (manchem mag das das eher als Definition „gleiche Geometrie“ durchgehen, nun gut) dagegen verringert sich die Tankmasse pro Inhalt mit steigender Größe!

    Mit der Annahme das „Triebwerken, die ab einer bestimmten Größe linear zum Schub an Gewicht zulegen“ habe ich dann enttäuscht das Lesen aufgegeben. Ich hab hier schon bessere Artikel (vom Beginn her) gefunden, selbst SpaceX Bashing liest sich unterhaltsamer.

    Schönes Wochenende

    1. Das ist kein Unterhaltungsartikel. Aber ich kann in jedem artikel auch nicht bei Null anfangen. Die Kesselformel ist im Web leicht auffindbar und nachvollziehbar. Zum beispiel hier:
      https://de.wikipedia.org/wiki/Kesselformel
      Für Triebwerke ab 1.000 kN Schub gilt (bei gleicher Technologie) das ein doppelt so schubstarkes Triebwerk doppelt so viel wiegt. Daher hat sich auch als Merkmal der Schub/Gewichtskoeffizient eingebürgert. Aber wenn Du SpacEX Bashing willst: beim Merlin betrug der koeffizient noch 180, beim Raptor nur noch 120 und das trotz gestaffelter Verbrennung die bei anderen Triebwerken eher für einen höheren Koeffizienten sorgt….

      1. Kesselformel: du hast mich nicht verstanden: die Zylinder(!)-Wandstärke ist proportional zum Durchmesser. Der Inhalt ist aber quadratisch zum Durchmesser: Ergo: Der Inhalt wächst quadratisch zur Wandstärke. Damit ist deine Aussage „[…] wiegt ein Tank immer einen konstanten Prozentsatz des Inhalts.“ falsch.

        „Triebwerke ab 1.000 kN Schub gilt (bei gleicher Technologie) das ein doppelt so schubstarkes Triebwerk doppelt so viel wiegt“: Quelle? Beispiele?!
        Übrigens: Raptor (Full Flow Combustion Cycle) vs. Merlin (Gas Generator)…

        1. Auch wenn hier nicht diskutiert werden soll muss dich leider korrigieren, damit das unter diesem Artikel nicht so stehen bleibt:
          Wenn die Wandstärke linear proportional zum Durchmesser ist, steigt die Querschnittsfläche der Tankwand, wie die des Inhaltes ebenfalls quadratisch an. Das Verhältnis aus Wandfläche und Inhalt bleibt bei sich änderndem Durchmesser gleich und damit auch das der jeweiligen Massen.

        2. „Triebwerke ab 1.000 kN Schub gilt (bei gleicher Technologie) das ein doppelt so schubstarkes Triebwerk doppelt so viel wiegt“: Quelle? Beispiele?!
          Übrigens: Raptor (Full Flow Combustion Cycle) vs. Merlin (Gas Generator)…

          Quelle:
          H.O. Ruppe: Introduction to Astronautics

          Du weißt schon was gleiche Technologie heißt?

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