Schneller oder energiesparender zu Mars und was ist eine Hohmanntyp II Bahn?

Heute wieder mal ein Beitrag im Bereich Grundlagen. Und zwar die Hohmannbahnen für eine Marsmission. Während bei einer unbemannten Mission die Reisedauer keine rolle spielt, schließlich arbeiten selbst nicht ambitionierte Orbiter mindestens zwei Jahre lang (die meisten bisher gestarteten sogar viel länger. Derzeit haben Odyssey, Mars Express und der MRO schon über ein Jahrzehnt im Marsorbit auf dem Buckel). Für Landesonden ist die Reisedauer auch nicht so wichtig, die Energie beim Wiedereintritt wird schließlich durch den Hitzeschutzschild abgebaut und selbst im ungünstigen Fall ist die Ankunftsgeschwindigkeit kleiner als bei der Rückkehr von einem Erdorbit. Doch auch für sie ist die Reisedauer meist unwichtig. Anders sieht es bei einem bemannten Marsunternehmen aus.

Ein Marsunternehmen ist durch himmelsmechanische Gesetze festgelegt. Solange wir nicht Antriebe haben bei denen es egal ist, wie hoch die Geschwindigkeitsanforderungen ist, dauert ein Unternehmen in etwa 33-36 Monate, das ist die Zeitdauer zwischen zwei Positionen von Mars und Erde bei denen ein Start/Rückstart besonders günstig  (26 Monate) ist plus der Dauer für einen Hin/Rückflug, üblicherweise etwa 6-10 Monate. Typisch sind so etwa 33-34 Monate für ein Unternehmen. Etwa die Hälfte der Zeit ist man auf dem Mars. Diesen Anteil kann man vergrößern wenn man schneller zu Mars kommt. Der Vorteil: man hat mehr Zeit für die Forschung. Man hat auf dem Mars mehr Schutz vor kosmischer Strahlung die vor allem von der sonne stammt. Zumindest nachts schützt der gesamte Mars vor der Sonne. Tagsüber wird die dünne Atmosphäre nicht viel schützen, aber man könnte sich in den Boden eingraben oder zumindest Gestein auf das Dach eines Habitats schaufeln.

Nun gibt es einen einfachen Weg schneller zu Mars zu gelangen. Ich habe in der folge das mal berechnet:

Startbahnhöhe bei der Erde: C3-Geschwindigkeit von der Erde: Perihel: Aphel: Abstand des Ziels: Perihel
geschwindigkeit:
Aphel
geschwindigkeit:
Geschwindigkeit beim Ziel: Geschwindigkeit des Ziels: Geschwindigkeits
differenz:
Umlaufdauer Transferbahn: Flugdauer Hohmannbahn Typ I Flugdauer Hohmannbahn Typ II
186 km 11.400,0 m/s 149,60 Mill. km 225,71 Mill.km 225,00 Mill. km 32.670,4 m/s 21.653,5 m/s 21.739,5 m/s 24.446,4 m/s 2.864,5 m/s 1 J 148 d 2 h 1 m 35 s 237 d 12 h 13 m 49 s 275 d 13 h 47 m 45 s
186 km 11.600,0 m/s 149,60 Mill. km 252,38 Mill.km 225,00 Mill. km 33.380,9 m/s 19.786,8 m/s 22.793,3 m/s 24.446,4 m/s 5.660,8 m/s 1 J 203 d 17 h 25 m 40 s 165 d 17 h 20 m 46 s 1 J 38 d 4 m 53 s
186 km 11.800,0 m/s 149,60 Mill. km 278,63 Mill.km 225,00 Mill. km 33.982,0 m/s 18.245,3 m/s 23.664,9 m/s 24.446,4 m/s 7.280,2 m/s 1 J 260 d 8 h 6 m 13 s 143 d 15 h 32 m 35 s 1 J 116 d 16 h 33 m 37 s
186 km 12.000,0 m/s 149,60 Mill. km 305,46 Mill.km 225,00 Mill. km 34.515,6 m/s 16.904,3 m/s 24.424,9 m/s 24.446,4 m/s 7.036,1 m/s 1 J 320 d 11 m 15 s 130 d 9 h 26 m 48 s 1 J 189 d 14 h 44 m 26 s
186 km 12.200,0 m/s 149,60 Mill. km 333,48 Mill.km 225,00 Mill. km 35.002,5 m/s 15.702,2 m/s 25.108,2 m/s 24.446,4 m/s 1.406,7 m/s 2 J 19 d 5 h 56 m 16 s 121 d 2 h 13 m 28 s 1 J 263 d 3 h 42 m 47 s
186 km 12.400,0 m/s 149,60 Mill. km 363,21 Mill.km 225,00 Mill. km 35.454,7 m/s 14.603,3 m/s 25.734,8 m/s 24.446,4 m/s 3.553,2 m/s 2 J 89 d 11 h 56 s 114 d 25 m 3 s 1 J 340 d 10 h 35 m 52 s
186 km 12.600,0 m/s 149,60 Mill. km 395,12 Mill.km 225,00 Mill. km 35.879,9 m/s 13.584,8 m/s 26.317,6 m/s 24.446,4 m/s 7.275,3 m/s 2 J 167 d 3 h 18 m 13 s 108 d 8 h 34 m 20 s 2 J 58 d 18 h 43 m 52 s
186 km 12.800,0 m/s 149,60 Mill. km 429,74 Mill.km 225,00 Mill. km 36.283,5 m/s 12.630,9 m/s 26.865,3 m/s 24.446,4 m/s 10.437,7 m/s 2 J 254 d 7 m 7 s 103 d 16 h 3 m 44 s 2 J 150 d 8 h 3 m 22 s
186 km 13.000,0 m/s 149,60 Mill. km 467,64 Mill.km 225,00 Mill. km 36.669,3 m/s 11.730,6 m/s 27.384,0 m/s 24.446,4 m/s 12.470,8 m/s 2 J 352 d 3 h 16 m 6 s 99 d 16 h 28 m 56 s 2 J 252 d 10 h 47 m 9 s
186 km 13.200,0 m/s 149,60 Mill. km 509,52 Mill.km 225,00 Mill. km 37.040,1 m/s 10.875,3 m/s 27.878,6 m/s 24.446,4 m/s 13.069,0 m/s 3 J 99 d 2 h 40 m 12 s 96 d 5 h 41 m 32 s 3 J 2 d 20 h 58 m 39 s
186 km 13.400,0 m/s 149,60 Mill. km 556,21 Mill.km 225,00 Mill. km 37.398,0 m/s 10.058,7 m/s 28.352,5 m/s 24.446,4 m/s 13.631,3 m/s 3 J 228 d 5 h 8 m 35 s 93 d 4 h 52 m 17 s 3 J 135 d 16 m 17 s
186 km 13.600,0 m/s 149,60 Mill. km 608,76 Mill.km 225,00 Mill. km 37.744,9 m/s 9.275,6 m/s 28.808,5 m/s 24.446,4 m/s 14.163,5 m/s 4 J 13 d 17 h 9 m 2 s 90 d 12 h 1 m 8 s 3 J 288 d 5 h 7 m 53 s
186 km 13.800,0 m/s 149,60 Mill. km 668,52 Mill.km 225,00 Mill. km 38.082,2 m/s 8.522,0 m/s 29.248,9 m/s 24.446,4 m/s 14.670,2 m/s 4 J 191 d 6 h 39 m 35 s 88 d 1 h 39 m 58 s 4 J 103 d 4 h 59 m 36 s
186 km 14.000,0 m/s 149,60 Mill. km 737,22 Mill.km 225,00 Mill. km 38.410,9 m/s 7.794,5 m/s 29.675,6 m/s 24.446,4 m/s 15.155,0 m/s 5 J 38 d 14 h 2 m 32 s 85 d 20 h 42 m 24 s 4 J 317 d 17 h 20 m 7 s

Die Tabelle ist sehr umfangreich, doch es ändern sich nur wenige Spalten. Die Gelbe Spalte gibt die Startgeschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche an. Die Grüne Spalte bei gegebenem Perihel das Aphel und die Türkise die Geschwindigkeit die man hat wenn man Mars (hier in 225 Mill.. km Entfernung angenommen) erreicht. Die Orange Spalte die Geschwindigkeit dort und die hellblaue Spalte die Reisedauer.

Schnell wird deutlich: man ist schneller unterwegs. Schon die Erhöhung der Geschwindigkeit von 11,4 auf 11,6 km/s, also um weniger als 2% reduziert die Reisedauer von 237 auf 165 Tage, also fast ein Drittel. Ist das nicht toll. So kommt man viel schneller zu Mars! Danach ist der Gewinn nicht mehr so groß und wird immer kleiner.

Es hat aber einen Presi, die Geschwindigkeit relativ zu Mars steigt an. Bei 11,4 km/s sind es 21,7 km/s. Bei 14 km/s dagegen 29,7 km/s, also auch fast 50% mehr. Vergleicht man die Geschwindigkeit mit dem Mars (Spalte rechts daneben) so fällt auf, das die diese sogar erreicht und überschritten ist. Bei 12 km/s ist die Ankunftsgeschwindigkeit z..B. 24.429 m/s, die vom Mars dagegen 24.465 m/s. Reichen dann weniger als 40 m/s um in eine Umlaufbahn einzuschwenken?

Schön wäre es, doch diese Geschwindigkeit ist die Gesamtgeschwindigkeit nach der Vis-Viva Gleichung. Sie sagt aber nichts über die Richtung aus. Dazu ein Beispiel aus der Praxis. Wenn man mit 100 km/h auf einen Bahnübergang zufährt und dort auch ein Zug mit 100 km/h kommt und (so ist das meistens bei Bahnübergängen), der Zug senkrecht zu einem Fährt, dann kann man nicht vom Auto in den Zug springen, weil die Relativgeschwindigkeit 0 ist (100-100=0) sondern es gibt einen bösen Zusammenstoß. Das gleiche liegt bei den Bahnen vor. Die Geschwindigkeit nach der vis-Viva Gleichung kann man nur in zwei Spezialfällen benutzen um die reale Differenz-Geschwindigkeit zu errechnen: Wenn die elliptische Transferbahn die Bahn des Mars genau berührt. Nur dann am Aphel, verläuft der Geschwindigkeitsvektor der Bahn parallel zu der des Marses. Das ist fast bei der ersten Bahn gegeben, bei der das Aphel nur etwas weiter als der Mars ist (225,71 zu 225 Mill. km). Hier beträgt die Geschwindigkeitsdifferenz 2725 m/s und die reale Differenz 2879 m/s. Bei allen anderen Bahnen nimmt die Differenz rasch zu und bei 12 km/s sind es nicht 40 m/s sondern über 7 km/s! Zum Glück liegt selbst bei hyperbolischen Bahnen nicht der Fall vor den ich beim Bahnübergang geschildert habe, das die beiden Geschwindigkeitsvektoren also senkrecht aufeinander stehen, sondern sie sind nur schräg zueinander.

Durch den hyperbolischen Exzess wird das etwas gemildert, das bedeutet man muss nicht 2,8 oder gar 7 km/s abbauen sondern bedeutend weniger. In der ersten Tabelle findet man die real abzubauende Geschwindigkeit für eine 200 x 80.000 km Bahn: (diese Bahn hat eine Umlaufdauer von 3 Jahren 4 Stunden. eine viel ausgedehntere Bahn wird instabil weil die Sonne dann stört und zudem steigt die Umlaufdauer, bis man die Bahn wieder korrigieren kann an. Man spart aber kaum noch Geschwindigkeit ein.

Annäherungsgeschwindigkeit Maximale Geschwindigkeit Abzubremsende Geschwindigkeit
2.800,0 m/s 5.626,8 m/s 848,1 m/s
3.300,0 m/s 5.891,6 m/s 1.112,9 m/s
3.800,0 m/s 6.185,5 m/s 1.406,8 m/s
4.300,0 m/s 6.504,7 m/s 1.726,0 m/s
4.800,0 m/s 6.845,5 m/s 2.066,8 m/s
5.300,0 m/s 7.204,9 m/s 2.426,2 m/s
5.800,0 m/s 7.580,3 m/s 2.801,6 m/s
6.300,0 m/s 7.969,4 m/s 3.190,7 m/s
6.800,0 m/s 8.370,2 m/s 3.591,5 m/s
7.300,0 m/s 8.781,3 m/s 4.002,6 m/s
7.800,0 m/s 9.201,1 m/s 4.422,4 m/s

Man sieht es ist nicht ganz so schlimm. Doch wenn man die Startgeschwindigkeit von 11,4 auf 11,6 km/s steigert und die Differenzgeschwindigkeit von 2,8 auf 5,6 km/s ansteigt, so bleiben immer noch 2,8 zu 0,85 km/s bei Mars übrig. Das ist also nicht so optimal. Es spielt keine Rolle wenn man landet. Aus einem Erdorbit heraus tritt man mit etwa 8 km/s ein. Damit man Mars mit dieser Geschwindigkeit erreicht darf man eine Ankunftsgeschwindigkeit von bis zu 6,3 km/s haben. Das entspricht immerhin einer Dauer von ungefähr 150 Tagen in der Transferbahn, man spart also drei Monate ein.

Die zweite Tabelle gibt dasselbe wieder, nur diesmal für eine 200 km hohe Kreisbahn:

Annäherungsgeschwindigkeit Maximale Geschwindigkeit Abzubremsende Geschwindigkeit
2.800,0 m/s 5.626,8 m/s 2.175,6 m/s
3.300,0 m/s 5.891,6 m/s 2.440,4 m/s
3.800,0 m/s 6.185,5 m/s 2.734,4 m/s
4.300,0 m/s 6.504,7 m/s 3.053,5 m/s
4.800,0 m/s 6.845,5 m/s 3.394,4 m/s
5.300,0 m/s 7.204,9 m/s 3.753,8 m/s
5.800,0 m/s 7.580,3 m/s 4.129,1 m/s
6.300,0 m/s 7.969,4 m/s 4.518,2 m/s
6.800,0 m/s 8.370,2 m/s 4.919,1 m/s
7.300,0 m/s 8.781,3 m/s 5.330,1 m/s
7.800,0 m/s 9.201,1 m/s 5.750,0 m/s

Nun wird es schon happig. 3 km/s entsprechen bei lagerfähigem Treibstoff schon einer Reduktion der Nutzlast um den Faktor 3 und das ist schon mit einer niedrigen Ankunftsgeschwindigkeit von 4,3 km/s erreicht.

Die Hohmann Typ 2 Bahnen

Es gibt aber auch noch einen längeren Weg, die Hohmannbahn Typ 2. Die Abbildung rechts zeigt eine elliptische Bahn die bis auf 270 Millionen km von der Sonne wegführt, also 21 Millionen km weiter als der Mars im Aphel. Sie schneidet die Marsbahn an zwei Punkten. Der erste, nahe der X-Achse ist weniger als 180 Grad von der Startposition entfernt und der zweite mehr als 180 Grad. Bei 180 Grad entspricht die Reisedauer bis zum Aphel genau der halbe Umlaufzeit, bei weniger als 180 Grad ist sie kürzer und bei mehr als 180 Tagen länger. Man sieht dies in der Tabelle oben. Der Unterschied ist klein wenn das Aphel nahe des Mars ist, aber sie wird immer größer.

Die kürzeren Bahnen sind die die wir bisher besprachen haben, die längeren sind die Hohmann Typ II Transferbahnen. Haben sie Vorteile?

Nu zumindest nicht von der Geschwindigkeit. Die hängt nur von der Distanz ab, aber nicht ob man sich von innen nach außen oder außen nach innen bewegt. Allerdings ist der Vektor gedreht. Der Winkel zu einer Kreisbahn ist aber derselbe, egal in welcher Richtung man sich nähert und bei einer Kreisbahn hat eine Typ II Bahn keine Vorteile.

Allerdings umrunden die Planeten die Sonne nicht auf einer Kreisbahn. Mars hat eine relativ exzentrische Bahn die zwischen 206 und 249 Millionen km von der Sonne entfernt verläuft. Er kann sich so beim ersten Schnittpunkt in einer anderen Entfernung befinden als beim zweiten und dann kann es durchaus sein, das man bei einer Typ II Bahn mit einer anderen Geschwindigkeit ankommt. Das ist aber nicht der springende Punkt denn man braucht auch länger, also könnte man direkt eine energetisch günstige Bahn nehmen wo man die Bahn des Mars nur berührt.

Das ist aber nur in Ausnahmefällen möglich. Alle Planeten haben Umlaufbahnen die zur Erdbahn geneigt sind. Sie schneiden diese an genau zwei Punkten. Die Bahn des Mars ist z.B. um 1,84 Grad geneigt. Mars steht daher in den meisten Fällen bei der Ankunft oberhalb oder unterhalb der Erdbahnebene und diese Differenz in der dritten Dimension muss man ausgleichen. entweder beim Start oder auf halber Strecke, was energetisch günstiger ist da eine Winkel Änderung abhängig von der aktuellen Geschwindigkeit mehr oder weniger Energie verbrauchen kann. Bei einer konkreten Marsopposition wird eine der beiden Ankunftspositionen eine geringere Winkel Änderungen erfordern. Das kann die Typ I Bahn sein, aber auch die Typ II Bahn und dann kann es sich durchaus lohnen einen oder zwei Monate länger zu fliegen um den Treibstoff für ein Mittkursmanöver gering zu halten.

Ein weiterer Grund kann auch die Logistik sein. Wenn ich zwei Sonden in einem Startfenster auf den weg bringe, so kann es nützlich sein beide Bahnen zu nutzen. Bei Viking lagen so die Starttermine schon um einen Monat auseinander, weil die beiden Bahnen auch nicht im selben Startfenster liegen. Das kann noch mehr sein. Exomars wurde z.B. von einer Typ II Bahn auf eine Typ I Bahn verschoben, was den Start um zwei Monate verschob. Da eine Typ I Bahn eine Reisedauer kürzer als die halbe Umlaufzeit hat und eine typ II Bahn eine Dauer größer als die halbe Umlaufdauer liegen die Ankunftstermine meist noch weiter auseinander. Viking 1 schwenkte am 19.6. in eine Umlaufbahn ein, Viking 2 erst am 7.8.  Die Tage um dieses Datum sind hektisch. es gibt letzte Kurskorrekturen, man muss nach dem Einschwenken die Bahn vermessen, eventuell nachkorrigieren und die Sonde im Orbit durchchecken. da ist es von Vorteil wenn man zwischen den Ankunftsterminen Wochen liegen. Bei Vorbeiflugsonden kann man sogar zwischen den Vorbeiflügen das Meßprogramm leicht anpassen. (Mariner 3/4 und  6/7) Ist eine der Sonden ein Orbiter, eine zweite eine Landesonde, so kann der Orbiter sich schon in der Umlaufbahn befinden und die Daten mit höherer Datenrate zur Erde übertragen oder den Abstieg verfolgen kann, was vielleicht wegen einer zu kleinen Sendeleistung nicht von der Erde aus möglich ist. So verfuhr man bei Mars Global Surveyor und Mars Climate Orbiter / M Mars Polar Lander.

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