Ziolkowskigleichung für Dummies

In meiner kleinen Reihe „Raumfahrtgrundlagen ganz einfach (für Wirtschaftswissenschaftler und Geisteswissenschaftler)“ möchte ich mal erklären wie man zur Raketengrundgleichung oder Ziolkowskigleichung kommt. Damit alles einfacher wird, nehmen wir mal an wir betreiben die Rakete in der Schwerelosigkeit, also im freien Weltraum, so dass wir ohne Luftwiderstand und Gravitationskraft operieren können.

  • Erstens einmal: Die Beschleunigung (a): Sie wird erhalten wenn man den Schub in kN durch das Gewicht teilt. Eine 1000 kg schwere Rakete mit einem Schub von 20 kN hat also eine Startbeschleunigung von 20*1000 / 1000 = 200 m/s.
  • Die Geschwindigkeit (v): Sie wird erreicht wenn man die Beschleunigung über die Zeit summiert. Bleibt die Beschleunigung gleich, so kann man schreiben: v = a * t also Geschwindigkeit = Beschleunigung mal Zeit. Würde unsere Rakete also ihre Masse nicht ändern, so wäre nach 10 Sekunden sie 10 s * 20 m/s = 200 m/s schnell.
  • Der zurückgelegte Weg (s) Er wird errechnet indem man die Geschwindigkeit über die Zeit summiert. Verändert sich die Geschwindigkeit nicht, so gilt s = v * t. Bei gleichmäßiger Beschleunigung gilt s = 1/2 a * t. Also in unserem Beispiel: bei a=20 m/s und t=1^0 Sekunden legt die Rakete einen Weg von 1/2 * 20 m/s * (10 s] = 1000 m.

Wer Physik mal in der Oberstufe hatte, der wird sich vielleicht dunkel erinnern, dass die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung über die Zeit ist und der Weg das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit.

Wir brauchen noch die Ausströmungsgeschwindigkeit der Gase. Das ist eine gegebene Materialgröße, aber sie hängt mit dem Schub zusammen. Es gilt vspez = Schub / Treibstoffverbrauch.

Beispiel: Die Rakete verbraucht 5 kg Treibstoff pro Sekunde um den Schub von 20 kN zu erzeugen, dann ist vspez = 20.000 N / 5 kg/s = 4000 m/s.

Wnne wir nun ein Auto hätten, bei dem sich die Masse kaum ändert, könnten wir für jeden beliebigen Zeitpunkt die Geschwindigkeit ausrechnen. (v = a * t). Bei einer Rakete besteht diese aber zum größten Teil aus Treibstoff und so verringert sich die Masse laufend. Dadurch steigt die Beschleunigung laufend an und so auch die Geschwindigkeit und der zurückgelegte Weg ist nicht nach obiger Formel berechnbar. Im Übrigen: Aus dem gleichen Grund tanken Autos, die viel Treibstoff verbrauchen (Rennwagen) trotz Zeitverlustes während eines Rennens öfters, um das beförderte Gewicht zu minimieren. Das gleiche gilt auch für Flugzeuge, die bei längeren Flügen gerne Zwischenstopps einlegen.

So, nun nehmen wir das Lieblingsspielzeug aller derer, die von Physik nichts verstehen und selbst nicht rechnen können: Excel hervor und geben mal folgende Daten für eine Rakete ein:

  • Startmasse 100.000 kg
  • Leermasse 10.000 kg
  • Brennzeit: 200 Sekunden -> Treibstoffverbrauch 450 kg/s
  • Schub: 1350 kN -Ausströmungsgeschwindigkeit der Gase: 3000 m/s

Das folgende Sheet.

Man erhält zu Brennschluss eine Geschwindigkeit von 6969 m/s und eine zurückgelegte Strecke von 452 km. Mancher Laie macht es sich recht einfach und sagt sich „Im Mittel hat die Rakete ja das gleiche Gewicht, wie wenn der Treibstoff halb verbraucht wurde. Also kann ich doch auch linear rechnen, mit einer Masse von 55.000 kg„. Nach dieser Rechnung würde die mittlere Beschleunigung 24,5 m/s betragen. Die Endgeschwindigkeit läge dann bei 4909 m/s und der Weg 491 km. Beide Werte weichen beträchtlich von der Simulation ab. Der Weg ein wenig. Die Geschwindigkeit sehr stark.

Unsere Simulation ist übrigens auch noch nicht ganz exakt. Da wir die Beschleunigung erst nach Ende jeder Sekunde bestimmen erhalten wir einen zu hohen Wert, bei Bestimmung zu Beginn jeder Sekunde würde man einen zu niedrigen Wert bekommen. Abhilfe: Man bildet den Mittelwert beider Werte oder für Excel Spezialisten: Man verkleinert die Schrittweite. Bei weiterer Verfeinerung wird man irgendwann einmal auf den exakten Wert von 6907,55 m/s kommen. (Sie merken: Ich halte nicht viel von Excel).,

Die Arbeit kann man sich sparen, wenn man wie Herr Ziolkowski zwar kein Excel hat, aber eine Ahnung von Mathematik. Die Beschleunigung ist eine Funktion der Gewichtsabnahme der Rakete, die der Form 1/x gehorcht. Und was ist das Integral über 1/x? Wer jetzt in einem Mathebuch nachschlägt kommt auf den Term ln(x). Weiterhin ist die Beschleunigung abhängig vom Schub, der wiederum mit dem Treibstoffverbrauch und damit der Gewichtsabnahme über die Ausströmungsgeschwindigkeit vspez abhängt:

Und voila: Schon haben wir die Ziolkowski Gleichung in ihrer vollen Schönheit:

v = v spez * ln (Vollmasse/Leermasse)

Nun kommen wir zu dem was mir wichtig ist und was offensichtlich viele Leute nicht kapieren: In dieser Formel sind zwei Dinge relevant: Das Verhältnis Voll/Leermasse also den Treibstoffanteil der Rakete oder Stufe. Das ist ein Maß für den Leichtbau. Eine A-4 hatte ein Verhältnis von rund 4:1, große Stufen erreichen heute bis zu 15:1. Das zweite ist die Ausströmungsgeschwindigkeit der Gase, im Wesentlichen ein Maß für den Energiegehalt des Treibstoffs, Wegen der mathematischen Funktion des Logarithmus (der Anstieg wird immer kleiner je größer x ist) bringt ein höheres Voll/Leermasseverhältnis weniger als eine Steigerung der Ausströmungsgeschwindigkeit. Nehmen wir an, der Zusammenhang wäre linear:

v = v spez * (Vollmasse/Leermasse)

Dann müsste Vollmasse/Leermasse = 15 und vspez= 3000 m/s das gleiche ergeben wie Voll/Leermasse = 10 und vspez= 4500 m/s.

In der Realität resultiert im ersten Fall eine Geschwindigkeit von 8124 m/s und im zweiten Fall eine von 10361 m/s, Also deutlich mehr. Das ist der Grund warum man so gerne Wasserstoff einsetzt – zumindest bei den oberen Stufen die einen Orbit erreichen

Alles klar oder?

12 thoughts on “Ziolkowskigleichung für Dummies

  1. Jo – soweit so gut.
    Von der benötigten Endgeschwindigkeit darf man den Startplatz „abziehen“ (wenn man Richtung Osten startet) – wenn ich mich nicht irre. Am Äquator z.B. werden uns 465m/s geschenkt – einfach so…
    Im Kennedy Space Center gibts noch 410m/s. Die Russen sind arme Hunde die kriegen in Baikonur nur 321 m/s gratis.

  2. Was mich mal interessieren würde ist, wie man das richtige Verhältnis zweier Stufen mit unterschiedlichem spezifischen Impuls (was ja bei Raketen die vom Boden aus starten immer der Fall ist) ausrechnet, wenn man die Nutzlast für eine bestimmte Geschwindigkeit (z.B. 9500 m/s) maximieren will.

    Wenn man also 10t auf 9500 m/s bringen will und eine Oberstufe mit einem spezifischen Impuls von 4500 m/s und eine Unterstufe mit einem mittleren spezifischen Impuls von 3900 m/s hat, wie viel Geschwindigkeit muss dann jede Stufe aufbrigen, damit man die leichteste Rakete für die gegebene Nutzlast erhält?

    (Gehen wir mal davon aus das die Trockenmasse für die Oberstufe Treibstoffmasse*0.12 ist und für die Unterstufe Treibstoffmasse*0.1)

    MfG,

    Max, angehender Jurist.

    … zu meiner Verteidigung muss ich aber sagen, einen Physik-LK erfolgreich belegt zu haben. Nur Mathe war komischerweise nie meine Stärke. 😉

  3. @Max
    Bei zwei Stufen mit ungefähr gleichem spezifischen Impuls gilt
    Startmasse / Masse bei Brennschluss erste Stufe = Startmasse zündung zweite Stufe / Masse Brennschluss zweite Stufe

    Mein Programm kann leider nicht mit generellen Verhältnissen rechnen, sondern nimmt vorliegende Erfahrungsdaten für existeriende Raketen. Gefüttert mit den Angaben von Dir erhalte ich z.b. für 10.000 kg Nutzlast:

    Raketentyp : Testrakete

    Nr. Vollgewicht Leergewicht Impuls Geschwindigkeit Verhältnis
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    1 141,173 kg 12,980 kg 3,900 N/sec 4,331.3 m/s 3.69
    2 38,235 kg 4,103 kg 4,500 N/sec 5,169.1 m/s 3.82
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    Gesamtmasse : 181,149 kg Nutzlastverkleidung : 1,740 kg

    erreichte Geschwindigkeit : 9,500.0 m/s
    Zielgeschwindigkeit : 9,500.3 m/s
    Nutzlast für die Zielgeschwindigkeit : 10,002 kg

    @Martin: Beim Gesamtverlust ist die Erdrotation schon mit eingerechnet.Die Russen haben ein viel größees Problem: Wenn sie den GEO erreichen müssen, fehlen ihnen nicht nur rund 150 m/s, sondern sie müssen rund 600 m/s zusätzlich aufbringen

    @Sven: Link ist korrigiert

  4. @Bernd:

    Welches Programm? Kann man sich das irgendwie runterladen?

    Ich hab mich bisher immer durch „ausprobieren“ in Excel der optimalen Rakete angenähert.

  5. @Max:

    Mein eigenes Programm. Ich habe es noch zu DOS Zeiten geschrieben und einen Teil auf Windows portiert, denn ich häufig brauche (Bahnberechnungen), aber es ist weder bugfrei noch dokumentiert, eben ein Tool für mich und deswegen gibt es es auch nicht zum runterladen

  6. Wie sieht das Verhältnis denn aus, wenn man in der unteren Stufe Kerosin verbrennt und in der oberen Wasserstoff (oder generell wenn der spezifische Impuls unterschiedlich ist)?

    3200 m/s vs 4500 m/s. Die obere Stufe sollte dann ja verhältnismäßig mehr Geschwindigkeit aufbringen, um die Rakete so klein wie möglich zu halten. Wie bestimmt man da das optimale Verhältnis, oder nähert sich diesem an?

    MfG

    Max

  7. Ebenfalls für 10.000 kg Nutzlast:

    Raketentyp : Testrakete

    Nr. Vollgewicht Leergewicht Impuls Geschwindigkeit Verhältnis
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    1 167,402 kg 10,305 kg 3,200 N/sec 3,810.8 m/s 3.59
    2 46,566 kg 4,737 kg 4,500 N/sec 5,688.3 m/s 4.66
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    Gesamtmasse : 215,708 kg Nutzlastverkleidung : 1,740 kg

    erreichte Geschwindigkeit : 9,500.0 m/s
    Zielgeschwindigkeit : 9,499.1 m/s
    Nutzlast für die Zielgeschwindigkeit : 9,991 kg

    Im Allgemeinen: Je höher der Unterschied in dem spezifischen Impuls desto schwerer muss die Oberatufe sein, also ds Verhältnis Oberstufe/Nutzlast höher als erste Stufe/Oberstufe. Aber das ergibt sich ja aus der logik: Wenn ich einen energiereicheren treibstoff habe will ich eine größere Stufe mit ihm haben.

  8. Danke.

    Aber wie kann ich selbst mich mathematisch dem optimalen Verhältnis annähern? Ich hab so ein Programm ja nicht. Das Programm rechnet ja auch und schätzt nicht nur.

    MfG,

    Max

  9. Noch eine Frage
    Wie sieht es denn bei gemischen Antrieben aus ?
    Z.B. Space Shuttle bzw. Ares V sowie Ariane V haben ab SL sowohl LOX/LH2 als auch Feststoff als Antrieb – mit unterschiedlichen Impulsen….
    Addiert man das und teilt das entsprechend dem Verhältnis…oder wie sonst kann man das korrekt rechnen?

  10. @Max: Es gibt keine Gleichung, sondern nur Approximationsverfahren. D.H. man rechnet verschiedene Lösungen durch (verschiedene Stufenverhältnisse), sucht sich die beste unter den ersten Lösungen, und verkleinert dann die Schritteweite und sucht rund um diese nach einer noch besseren Lösung. Nach 3-4 Durchgängen kommt man dann auf Unterschiede in dem Gewicht der stufen von wenigen Kilogramm und bricht ab.

    Eine allgemeingültige Lösung gibt es nicht – wenn ich z.B. die Daten nehme die Du mir gegeben hast (3200/4500) und berechne das ganze für einen GTO Orbit und 4000 kg (in etwa diesselbe Raketengröße) so bekomme ich komplett andere Stufenverhältnisse:
    Raketentyp : Testrakete

    Nr. Vollgewicht Leergewicht Impuls Geschwindigkeit Verhältnis
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    1 193,362 kg 10,928 kg 3,200 N/sec 5,394.1 m/s 7.47
    2 25,877 kg 2,464 kg 4,500 N/sec 6,533.5 m/s 6.47
    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
    Gesamtmasse : 219,936 kg Nutzlastverkleidung : 696 kg

    erreichte Geschwindigkeit : 11,928.0 m/s
    Zielgeschwindigkeit : 11,927.6 m/s
    Nutzlast für die Zielgeschwindigkeit : 3,997 kg

  11. @Martin:
    Es geht immer nur um eine vereinfachte Sicht der Dinge. Keiner kann an seinem PC mit den öffentlich verfügbaren Daten einer Rakete die Aufstiegsbahn korrekt berechnen, selbst wenn er noch die Atmosphäre modelliert. Ich habe mir früher die Mühe gemacht Mittlere spezifische Impulse bei Boostern zu berechnen, auch Abschätzungen über spezifischen Impuls bei ersten Stufen anhand der Brennzeit (näher am Vakuum oder Bodenimpuls). Meine Erfahrung nach knapp 30 Jahren: Es ist wurst und den Aufwand nicht wert. Im wesentlichen ist es so: Jede Rakete muss mehr Geschwindigkeit erreichen als für den Orbit nötig – zwischen 1100 und 2400 m/s. Am unteren Ende sind raketen mit hoher Beschleunigung (Feststoffraketen) am oberen Raketen mit langer Brennzeit wie Ariane 5 oder das Shuttle. Für jeden Typ gibt es einen typischen Wert, wie dieser berechnet wird ist meiner Erfahrung nach egal. Aber ausgehend von dem kann man wenn man eine Nutzlast kennt alle Nutzlasten für unterschiedliche Geschwindigkeiten mit sehr kleinen Fehlern berechnen. Ich habe das Dutzend fach gegen geprüft.

    So splitte ich Ariane 5 und Space Shuttle einfach in mehrere Stufen auf: Stufe 1: Nur Eap, Stufe 2: EPC 8voll gefüllt) und stufe 3 ESC-A.

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