Nix mit Google Rätsel 3

Also ich hatte mit mehr Beteiligung am letzten Rätsel gerechnet. Keiner hat auch nur einen Ansatz versucht. Nicht einmal die SpaceX Fans haben sich versucht.

Also mal für alle. Die Methode ist bewährt und wurde von mir schon zur Rekonstruktion der Daten sowjetischer Träger herangezogen, als diese noch nicht veröffentlicht wurden. Man braucht nur ein paar Grundlagen der Physik. In diesem Falle eigentlich nur die Raketengrundgleichung. Sie lautet bei der Falcon 9 folgendermaßen

v = v1 * ln (s1 / l1) + v2 * ln (s2 / l2).

v1 und v2 sind die Ausströmgeschwindigkeiten der Gase der einzelnen Triebwerke

S1 und S2 die Startmasse bei der Zündung und L1 und L2 die Leermasse beim Brennschluss.

Für zwei Bahnen unterscheiden sich:

  • die Zielgeschwindigkeit v
  • die Startmasse und Leermassen der Stufen

Da v ein Ergebnis der letzten sind das vier Unbekannte, also eigentlich mit nur zwei Zielgeschwindigkeiten nicht zu lösen.

Was macht man in der Physik, wenn man ein Problem nicht lösen kann? Man vereinfacht es. Das allgemeine Dreikörperproblem ist in der Astronomie nicht geschlossen lösbar, aber das eingeschränkte, bei der eine Masse viel weniger wiegt als die anderen beiden. Das ist hier genauso. Es ist nicht nötig die ganze Gleichung aufzulösen. Für die erste Stufe verändert sich kaum etwas: der Unterschied in der Masse bei einer GTO Mission beträgt 6 t. Das verändert die Startmasse der Rakete gerade mal um 2%.

Konzentrieren wir uns auf die zweite Stufe. Auch hier haben wir noch zwei Unbekannte. Man kann nun die Gleichung auflösen, das wird wegen des Therms nicht ganz einfach. Man kann aber eine erste Annäherung machen. Die erste ist diese: Bei einer LEO Nutzlast beträgt die Nutzlast 10.450 kg. Bei einer GTO Mission 4.540 kg. Man kann sich nun überlegen, dass die Differenz an Gewicht Treibstoff ist, der benötigt wird um die Differenz an Geschwindigkeit aufzubringen:

2428 m/s = 3354 m/s * ln ((x + 10450) / (x + 4540))

nach Umformen kommt man zu:

e(2428/3354) * (x + 4540) = x + 10450

oder

2.062 x + 9363 = x + 10450

x = 527 kg

Das ist aber nur eine Seite. Es ist nun aber so, dass die zweite Stufe schon davon profitiert, dass die Nutzlast niedriger ist. Es gibt einen Unterschied ob 10450 kg in einen Orbit befördert werden die man dann zu 60% als Treibstoff annimmt, oder ob es nur 4.540 kg sind. Da die Exponentialfunktion nicht linear ist ergeben sich hier unterschiede durch unterschiedliche Teiler. Dann ist das ganze aber nicht mehr geschlossen lösbar und man muss den Computer bemühen. Ich habe im folgenden „Mini“ Spreadsheet (Openoffice) die Treibstoffmasse basierend auf den SpaceX Angaben (360 s Brennzeit, 411 kN Schub) berechnet. Wie man leicht sieht, erreicht man aber nicht einmal bei 0 kg Leermasse für die zweite Stufe die geforderte Geschwindigkeitsdifferenz von 2456 m/s.

Nun muss man noch den Effekt der ersten Stufe berücksichtigen. Er ist gering, aber er ist vorhanden. Es sind etwa 220 m/s. Reduziert man die Zielgeschwindigkeit um 220 m/s, so bekommt man bei einer Trockenmasse von 500 kg tatsächlich eine Lösung. Wiegt nun die zweite Stufe tatsächlich nur 500 kg? Wohl kaum. Sie fasst doppelt so viel Treibstoff wie die Falcon 1 Erststufe, die 1360 kg wiegt. Real würde ich eine Trockenmasse von 2.500 kg ansetzen (600 kg für das Triebwerk und 1.900 kg für die Tanks, basierend auf den Falcon 1 Werten). Das heißt aber, dass die GTO Nutzlast deutlich niedriger als angegeben ist. In jedem Falle scheint eine GTO Nutzlast von 40% der LEO-Nutzlast bei einem so spezifischen Impuls von 3354 m/s kaum möglich. Sie müsste eher bei 30-35% liegen. Ich tippe so auf 3.300 kg bei 10.450 kg Nutzlast. (Simulation der Rakete mit realistischen Trockenmasse).

So, nachdem dieses Rätsel eigentlich schon viel leichter als das erste war nun nochmals eine Stufe niedriger.

Welcher Himmelskörper drohte durch Laufendes „Schrumpfen“ verloren zu gehen?

Ich habe auch zwei Schnipsel für neue Musikrätsel von Alexander und Hans, aber erst mal müssen wir das von Arne noch lösen. Ich hoffe da kommt noch ein Tipp und ein weiteres Schnipsel-

11 thoughts on “Nix mit Google Rätsel 3

  1. Vielleicht die Raumsonde Giotto, die bei der Passage von Halley durch Teilchenbeschuss ca. 600g Masse verloren hatte?
    Passt zwar auch nicht so wirklich gut zur Frage, aber wenigstens habe ich jetzt ein wenig über Kometen gelernt.

  2. ausm wiki:

    Mit der Entwicklung leistungsstarker Teleskope mussten Durchmesser und Masse des Pluto kontinuierlich nach unten revidiert werden, …

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