Die ideale Rakete für jede Geschwindigkeit

Eine Konsequenz der Raketengrundgleichung ist, dass abhängig von der nötigen Endgeschwindigkeit unterschiedliche Stufenverhältnisse herauskommen, wenn die Startmasse minimal sein soll. Bei Trägern mit ungefähr gleichen spezifischen Impulsen, ist die beste Lösung die wenn die einzelnen Stufen jeweils den gleichen Bruchteil der benötigten Geschwindigkeit aufbringen. Bei unterschiedlichen spezifischen Impulsen sollte die mit dem höheren auch einen höheren Anteil erbringen.

Die Trägerrakete mit der niedrigsten Startmasse ist daher zumindest bei gleichen großem spezifischem Impuls leicht zu berechnen: Man teile die Endgeschwindigkeit durch die Anzahl der Stufe und erhält die pro Stufe nötige Endgeschwindigkeit. Aus dieser kann man das Voll/Leermassenverhältnis errechnen. Daraus kann man iterativ ausgehend von der letzten Stufe die Startmasse berechnet werden, indem man eine Schätzung der Voll/Leermasse macht, das Voll/Leermasseverhältnis der letzten Stufe bestimmt, darauf basierend eine bessere Schätzung bis man das ideale Voll/Leermasseverhältnis der letzten Stufe errechnet hat. Dann wiederholt man dies bei der nächsten Stufe usw.

Die folgende Tabelle enthält die Daten für so berechnete „ideale“ Raketen mit einem Voll/Leermasseverhältnis für jede Stufe von 12:1 und einem spezifischen Impuls von 3100 (typisch für die Verwendung von LOX/RP-1). Einmal eine optimierte Rakete für einen niedrigen Erdorbit (7.800 m/s + 1.600 m/s Verluste) und einmal für Fluchtgeschwindigkeit (11.000 m/s + 1.600 m/s Verluste). Die Nutzlast soll einmal 8.000 und einmal 2.000 kg betragen, das führt zu in etwa gleichen Startmassen.

Das sind die Träger in Spalte 2 und 4. (Erkennbar an fast gleichen voll/Leermasseverhältnis in allen drei Stufen) Nun kommt das Experiment: Man berechnet jeweils die Nutzlast für die andere Geschwindigkeit. Das Ergebnis findet man in Spalte 3 und 5. Da die Startmassen um etwa 13 % differieren ist wichtiger der Nutzlastanteil: Er liegt bei dem niedrigen Erdorbit bei 2,57 und 2,44 % – das ist noch kein großer Unterschied, aber bei Fluchtgeschwindigkeit sind es schon 0,57 zu 0,46 %, also 24% weniger als bei optimaler Stufenauslegung.

Der Unterschied wird immer größer je höher die Differenz der Endgeschwindigkeiten wird. Wir auch ersichtlich ist vor allem der Unterschied bei der letzten Stufe ausgeprägt, was auch nicht so verwundert.

Heute wird ja eine Rakete meistens schon für eine bestimmte Geschwindigkeit optimiert, z.B. den GTO Orbit. Bedingt durch meist eingesetzte kryogenen Oberstufen mit hohem spezifischen Impuls ist dann der Leistungsverlust bei anderen Anforderungen nicht besonders groß. Früher war dies anders und dann wurden auch Oberstufen für eine bestimmte Mission optimiert. Ein Beispiel ist der Einsatz der Atlas mit der Agena Oberstufe für Erdorbitmissionen und der Centaur für Fluchtmissionen – bei Erdorbitmissionen bringt die Centaur nur wenig mehr Nutzlast, ist aber erheblich teurer. Bei Fluchtgeschwindigkeit ist sie dagegen dreimal höher.

Heute sind die Fälle wo eine Rakete durch eine neue Oberstufe einen beträchtlichen Leistungsgewinn verbuchen kann eher gering. Beispiele sind die Ariane 5 (viel zu kleine EPS Oberstufe mit nur mittelhohem spezifischen Impuls) oder die Zenit 3 – die wegen zwei Stufen mit nur mittelenergetischem Treibstoff normalerweise keine nennenswerte GTO Nutzlast aufweisen würde und daher sehr von einer dritten Stufe profitiert.

Variante 1 optimiert für Erdorbit Variante 1 optimiert für Fluchtgeschwindigkeit
Zielgeschwindigkeit 9400,00 12600 12600,00 9400,00
pro Stufe: 3133,33 4200,00 4200,00 3133,33
Nutzlast: 8000,00 1430,00 2000,00 8600,00
Voll/Leermasseverhältnis: 2,84 4,06 4,06 2,84
Stufe 3 Leergewicht: 1608,33 1608,33 775,00 775,00
Stufe 3: Startgewicht: 19300,00 19300,00 9300,00 9300,00
Stufe 3: spez Impuls: 3000,00 3000,00 3000,00 3000,00
Stufe 2 Leergewicht: 5500,00 5500,00 4375,00 4375,00
Stufe 2: Startgewicht: 66000,00 66000,00 52500,00 52500,00
Stufe 2: spez Impuls: 3000,00 3000,00 3000,00 3000,00
Stufe 1 Leergewicht: 18833,33 18833,33 24166,67 24166,67
Stufe 1: Startgewicht: 226000,00 226000,00 290000,00 290000,00
Stufe 1: spez Impuls: 3000,00 3000,00 3000,00 3000,00
Voll/Leer 3 2,84 6,82 4,07 1,91
Voll/Leer 3 2,84 3,31 4,07 3,16
Voll/Leer 3 2,85 2,96 4,02 3,81
V3 3132,77 5760,82 4212,46 1940,26
V2 3136,17 3587,69 4211,06 3452,18
v1 3139,33 3258,09 4175,32 4013,73
Endgeschwindigkeit: 9408,27 12606,59 12598,84 9406,18
Startgewicht: 311300 311300 351800 351800
Nutzlastanteil: 2,57 0,46 0,57 2,44

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