Nix mit Google Rätsel 2

Wenn Google nicht hilft, bleiben offensichtlich die Lösungen aus. Ich dachte auch die Schwemme an SpaceX Freaks würde sich mal daran versuchen, aber das war leider nicht der Fall. Den Ansatz den Bernie hatte war schon richtig, aber nicht zu Ende gedacht.

Die erste Stufe hat die Aufgabe die Vertikalgeschwindigkeit aufzubauen, darüber hinaus natürlich auch einen Teil der Horizontalgeschwindigkeit. Eine Rakete muss ja schließlich die Bahnhöhe erreichen, die dafür mindestens benötigte Geschwindigkeit entspricht der, die eine Kanonenkugel aufweisen muss, wenn man sie senkrecht nach oben abfeuert. Dies ist unvermeidbar, es ist die Hebearbeit in einem Gravitationsfeld.

Anders als bei einer Kanonenkugel baut eine Rakete aber diese Geschwindigkeit langsam auf. Bei der Saturn die mit knapp 12 m/s startet ist es so, dass von diesen in der ersten Sekunde 9,81 m/s abgezogen werden, also nur 2,2 m/s übrig bleiben. Nach zwei Sekunden sind es so 4,4 m/s. Das ist auch der Grund warum die Rakete so lange braucht, um den Startturm zu passieren. Der Anteil der tatsächlich zum Anheben übrig bleibt, wird immer größer, da die Beschleunigung ansteigt, da die Rakete durch den verbrauchten Treibstoff leichter wird.

Soweit hat Bernie das auch durchdacht: Je mehr Triebwerke in der Stufe vorhanden sind, desto geringer sind die Gravitationsverluste, da schon am Anfang ein größerer Anteil der Startbeschleunigung effektiv wirksam wird.

Was er aber vergaß, ist das der Schub auch Auswirkungen auf die Konstruktion hat. Natürlich macht jedes Triebwerk die Rakete schwerer. Doch das allein ist es nicht. Der erhöhte Schub korrespondiert mit einer höheren Beschleunigung und die Rakete muss auf die maximal auftretende Beschleunigung ausgelegt werden. Sie würde sich bei 10 Triebwerken verdoppeln. Die Spitzenbeschleunigung würde von 4 auf 8g ansteigen. Als Folge wären alle Elemente der Rakete einer doppelt so hohen Belastung ausgesetzt: Schubgerüst, Tanks etc. müssten viel schwerer sein um diese Belastungen aufzufangen. Das gilt nicht nur für die erste Stufe sondern auch die oberen Stufen, bei denen das erhöhte Leergewicht dann den Geschwindigkeitsgewinn wieder aufzehren würde.

Daraus ist abzuleiten, dass es ein Optimum gibt. Weder ist eine zu hohe Startbeschleunigung noch eine zu geringe optimal. Das Optimum ist von den konstruktiven Details abhängig. So hängt es von Anzahl und Gewicht der Oberstufen ab oder der Treibstoffart (bei großvolumigen Wasserstofftanks sieht es anders aus als bei kompakten Tanks). Im Allgemeinen wird eine Startbeschleunigung von 1,6 g für Raketen mit flüssigen Treibstoffen als nahe des Optimums angesehen. Zahlreiche frühe ICBM’s liegen bei diesem Wert.

Eine Ausnahme ist gegeben wenn es möglich ist während des Fluges Triebwerke im Schub zu drosseln (Atlas V) oder Triebwerke abzuschalten, was mehrere Triebwerke in der Stufe voraussetzt die punktsymmetrisch angeordnet sein müssen.

Ich hoffe ihr habt was dazugelernt. Das nächste Rätsel ist aus aktuellem Anlass was für die SpaceX Fans. Wie kann man aus folgenden Angaben von SpaceX für die Falcon 9 einen Schätzwert für die Leermasse der zweiten Stufe angeben? Folgende Angaben kann man von der SpaceX Website entnehmen:

  • Nutzlast für einen LEO Orbit (v=7784 m/s): 10.450 kg
  • Nutzlast für einen GTO Orbit (v=10241 m/s): 4.540 kg
  • spezifischer Impuls der zweiten Stufe: 342 s (3354 m/s)
  • Brennzeit: 360 s
  • Schub 92300 lbs = 411 kN

Welche Leermasse muss danach die zweite Stufe aufweisen?

2 thoughts on “Nix mit Google Rätsel 2

  1. mein Lösungsvorschlag lautet folgendermassen…

    von Ziolkowski wissen wir, dass dv=c*ln(m_start/m_ende)
    m_start = m_leer m_nutzlast m_treibstoff
    m_ende = m_leer m_nutzlast

    damit haben wir in der obigen Gleichung gleich drei Unbekannte. Macht nichts, denn der spezifische Impuls lässt sich berechnen aus Isp = (F*t)/(m_treibstoff*g0) mit…
    Schub F=411kN, Zeit t=360s, Isp=342s und g0=9,81m/s²
    damit lässt sich m_treibstoff zu 44.101kg berechnen.

    Bleiben noch zwei Unbekannte (dv und m_leer). Wir wissen aber dass für den GTO eine um 5.910kg niedrigere Nutzlast auf 2.457m/s höheres dv beschleunigt wird als für den LEO. Damit kriegen wir für die zwei Unbekannten zwei Gleichungen:
    (LEO) dv=c*ln[(m_leer 44.101 10.450)/(m_leer 10.450)]
    (GTO) dv 2457=c*ln[(m_leer 44.101 4.540)/(m_leer 4.540)]
    daraus lässt sich die Leermasse und das dv-Vermögen der Oberstuffe berechnen (was mir an dieser Stelle von Hand aber zu aufwändig erscheint).

    Ich habe bei dieser Rechnung zwei Annahmen getroffen:
    Zum Einen dass Verluste beim Aufstieg (gravitatv und aerodynamisch) in beiden Fällen gleich hoch sind. Das sind sie in der Tat aber nicht, da aufgrund der niedrigeren Nutzlast für den GTO die Rakete beim Start etwas leichter ist und damit schneller beschleungt. Die Aufstiegstrajektorie wird dementsprechend auch anders aussehen. Zum anderen dass die erste Stuffe jeweils den selben dv-Beitrag leistet, wobei sie beim GTO wegen des niedrigeren Startgewichtes einen etwas höheren Beitrag leisten wird.

    So, ich hoffe, ich habe jetzt keinen Leichtsinnsfehler gemacht. Würde mich freuen wenn jemand die Zahlen einsetzt und die Gleichungen auflöst.

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